Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 17
Текст из файла (страница 17)
табл. 4.2) показывает, что установившаяся реакция (если она существует) на ступеньку равна 1пп у(4) = у,е = Пш вС(з)- = С(О) 1 $-+ао а-+О в (4.7.2) Если система устойчива, то переменная часть переходной характеристики будет зкспоненциально затухать до нуля и, следовательно, у, будет существовать. Заметим, что если С(в) имеет один или более нулей приз=О, то у„= О. Полезно определить ряд показателей, которые кратко описывают некоторые характерные свойства динамики системы.
Чтобы ввести зти определения, мы рассмотрим устойчивую передаточную функцию и переходную характеристику системы, показанную на рис. 4.3. Тогда определим следующие показатели. !00 Глава 4. Непрерывные сигналы и системы 'Установившееся значение усс: конечное значение переходной характеристики. (Этот показатель не имеет смысла, если система обладает полюсами в правой полуплоскости комплексной плоскости.) Время нарастания С,: время до момента, когда переходная характеристика впервые достигает значения гсгрс,. Константа й„у разных авторов равна 0.9 или 1. Перерегулирование Мр..
максимальная величина, на которую переходная характеристика превышает установившееся значение. (Оно обычно выражается в процентах от усс.) Недорегулирование М„: максимальная величина (абсолютное значение), на которую переходная характеристика опускается ниже значения для нулевого момента. Время регулирования $,: время до того момента, когда реакция на ступеньку попадаег (без дальнейшего выхода) в полосу отклонений Ы от установившегося значения. Это отклонение Б, как правило, определяется в процентах от у<„„обычно от 2 % до 5%. Уси Рис.
4.3. Показатели переходной характеристики 4.8. Полюсы, нули и временные характеристики Далее мы исследуем ряд фундаментальных свойств полюсов и нулей передаточных функций. При этом мы пока не будем интересоваться тем, как эти передаточные функции получаются. Позже эти результаты мы свяжем с передаточными функциями, которые получаются в системах с обратной связью.
4.8. Полюсы, нули н временные характеристики 101 Рассмотрим сначала передаточную функцию общего вида КП;=т(з — А) П"=(- т) (4.8.1) 4.8.1. Полюсы Читатель может вспомнить, что любая скалярная рациональная передаточная функция может быть разложена на сумму дробей, каждое слагаемое при этом содержит либо единственный вещественный полюс, либо пару комплексно-сопряженных полюсов, либо многократные комбинации для кратных полюсов. Таким образом, понимание влияния 1 Иногда, злоупотребляя языком, неминимально-фазовые нули также называются иеусвкжчпеммк нуламн, потому что они лежат в области з-плоскости, где находятся неустойчивые полюсы. где со Е С и ое Е С. Если мы снова предположим, что нет значений 1 и 1 таких, что сгг =,8б тогда Д„йз,...„й и сумсгз,...,суп — нули и полюсы передаточной функции соответственно.
Относительная степень Ь тогда пг = и — тп. Нас будут особенно интересовать те нули, которые лежат на мнимой оси и в ее окрестности, а также те полюсы, которые находятся в правой половине комплексной плоскости. Полюсы и нули, расположенные подобным образом, играют фундаментальную роль в динамическом поведении систем. Можно выделить специальный класс передаточных функций, у которых все полюсы и нули лежат в ЛПП з-плоскости. Обычно такие передаточные функции называются минимально-фазовыми передатаочными функциями. Однако в дальнейшем мы будем использовать этот термин по отношению к передаточным функциям, у которых нет нулей в правой полуплоскости (ППП), независимо от того, имеют ли они там полюсы.
Будем говорить, что нуль неминимально-фазовый, если он находится в замкнутой ППП комплексной плоскости, иначе будем называть его мияимально-фазовым нулем. Передаточная функция называется устойчивой, если все ее полюсы находятся в открытой ЛПП комплексной плоскости; передаточная функция называется неустойчивой, если она имеет, по крайней мере, один полюс в замкнутой ППП комплексной плоскости.
Сами полюсы также называются уснтойчивмми или неусптойчивмми полюсами в зависимости от того, лежат ли они в открытой ЛПП или в замкнутой ППП комплексной плоскости . Далее мы исследуем переходный процесс в зависимости от расположения полюсов и нулей. 102 Глава 4. Непрерывные сигналы и системы О.О32 Рис. 4.4. Переходная характеристика системы первого порядка з=ю Л вЂ” Ф2 (4.8.5) Эта система имеет два комплексно-сопряженных которые определяются следующим образом: З 2=-Рында=ЮАНЕМ(™ ПОЛЮСа Зт И З2, (4.8.6) где Р— угол, такой, что соб13 = тР.
полюсов на переходный процесс сводится к пониманию переходных процессов для полюсов первого и второго порядка и их взаимодействий. Обычный полюс первого порядка дает Нт(з) =— К (4.8.2) та+1 Переходная характеристика для этого случая может быть вычислена следующим образом: у(1)=С- ~ К 1 . ,(К К 1 ~ ='.С ~ — — — ~ =К(1-е .) (4.8.3) '1з(та+1)) ~ з тз+1~ Сигнал у(1) из уравнения (4.8.3) может быть представлен так, как на рис. 4.4. Из рнс. 4.4 видно, что параметры Х (= у, ) и т (постоянная времени) могут быть определены графически.
Для случая пары комплексно-сопряженных полюсов обычно изучают каноническую систему второго порядка с передаточной функцией ю2 где Ф (О < Ф < 1) называется козффиииентом демпфирования (коэффициентом затухания) и атп — собственной или недемпфираванной собственной частотой. На будущее определим также демп4ированную собственную частпотпу: 4.8. Полюсы, нули и временные характеристики 103 Рис.
4.5. Расположение полюсов и переходная характеристика канонической системы второго порядка Для этой системы преобразование Лапласа переходной характеристики имеет вид: ,„г 2 ( 2+211, е+„,г) ~( +11, )2+„,2~ 8 Разлагая на простейшие дроби, получим 2 2 8 (8+ 4а)2+ о12 (е+ фю„)2+ ыг (4.8.8) (4.8.9) Используя обратное преобразование Лапласа, окончательно получим Е '"ы"1 у(с) = 1 — 81п(о14$+ 19) ф т1,2 (4.8.10) Время нарастания Для этого случая используем 1с„= 1 (см. рис. 4.3); тогда имеем, что е ""'"'" 81П(О14тт + ~В) = 0 у1 ~г (4.8.11) Основные характеристики этой реакции показаны на рис. 4.5.
На этом рисунке уоо = 1 и Те = 2я/о14. Мы можем также вычислить некоторые показатели, показанные на рис. 4.3. 104 Глава 4. Непрерывные сигналы и системы Отсюда получаем (4.8.12) Перерегулиреваиие Максимальное перерегулирование Мр и момент, в который оно достигается, йр, можно вычислить, дифференцируя у(г) и приравнивая производную нулю. Ыуф е ~"""' ж —,~~:~~ — (-фгдп ап(гддд+ ф) + гид сов(гддГ+ Я~ (4.8.13) Таким образом, приравнивая эту производную нулю, мы получим, что игдир — — тг и время достижения максимального перерегулирования $р равно к Тд ьгд 2 В свою очередь, перерегулнрование определяется выражением лйиа Мр = у(~р) — 1 = — в1п(тг+,В) = е '~-"' (4.8.15) (4.8.14) Вышеприведенные выражения говорят, что небольшой коэффициент демпфирования тр приводит к небольшому времени нарастания за счет большого перерегулирования. Мы можем также видеть, что скорость затухания и, следовательно, время переходного процесса определяются произведением вагди.
Каждый полюс генерирует специальную составляющую нли собсгпвенное движение в составе реакции системы на импульсный сигнал. Эти виды движения присутствуют в реакции системы на любой заданный входной сигнал (за исключением очень специфичных случаев, когда полюсы совпадают с нулями). Обычно мы будем называть быспгрыми полюсами те полюсы, которые расположены намного дальше от границы устойчивости, чем другие полюсы системы.
Это эквивалентно ° высказыванию, что переходные процессы, связанные с быстрыми полюсами, затухают быстрее, чем те, которые связаны с другими полюсами. С другой стороны, мы будем использовать выражение дамнннруютций или медленный полюс(ы), принадлежащий совокупности полюсов, находящихся в открытой ЛПП комплексной плоскости, если он (они) ближе к границе устойчивости, чем остальные полюсы системы.
Это эквивалентно высказыванию, что переходные процессы, связанные с доминирующими полюсами, затухают медленнее, чем для остальных полюсов. 4.8. Полюсы, нули и временные характеристики 105 Если, например, полюсы системы — ( — 1; — 2 ~ уб; — 4; — 5 ~ уЗ), мы можем назвать доминирующим полюсом — 1, а быстрыми полюсами— — 5 ~ у'3. 4.8.2. Нули Влияние нулей на реакцию передаточной функции несколько более хитрое, чем полюсов. Одна из причин заключается в том, что, в то время как полюсы связаны с отдельными независимыми состояниями, нули являются результатом добавочных взаимодействий этих состояний, связанных с различными полюсами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
