Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Асзв?еш?с Ргезз, четв гог?с. 3. Ь1пп8, Ь. (1999). ЯувФет 14еп1тВтсазтоп, ТЛеоту вот 1Ле $йет. Ргепв?се-На?1, Еп81еттоод С11??з, Ь?.1., 2"в ег?1в1оп. 4. Ь)ип8, ?. апд Бодегвзгбш, Т. (1983). ТЛвоту ап4 Ртасз?се о7' Яеситв1ие Иеп111тсагтоп. М1Т Ргевз, СагпЬгЫ8е, Мазе. 86 Глава 3. Моделирование 3.2.3. Получите модель в приращениях для Ьо„($) = ьа($)-под, Ью;($) = пв(1) — и;о, где (о;О,о„д) — любая точка, удовлетворяющая модели (3.14.3).
Покажите, что эта модель в приращениях зависит от выбора пары (и;<),о„.>). Сравните это с результатом в задаче 3.1 и обсудите результат. Задача 3.3. Система имеет модель входа-выхода у(1) = 2[и(Ф) [ (3.14.4) 3.3.1. Постройте модель для малых сигналов в окрестности по = 5. 3.3.2. Обсудите, почему это не может быть сделано относительно иц = О. Задача 3.4. Дискретная система с входом и[/с] и выходом у[)в] описываетгя разностным уравнением у[)в] — 0.8у[й — 1]+ 0.15р[)в — 2] = 0.2и[й — в] (3.14.5) 3.4.1.
Постройте модель пространства состояний для г' = О. 3.4.2. Повторите это для 1 = 1. Задача 3.5. Рассмотрим сберегательный счет, выплачивающий 5% годового дохода. Предположим, что открывающийся депозит — 200 долларов США и что годовой депозит 4[в] сделан в конце 1-го года. Постройте модель, которая описывает изменение баланса этого счета в конце )в-го года, для 1=1,2,3,... Задача 3.6. Рассмотрим механическую систему на рис. 3.6, где п($)— внешняя приложенная сила, о(в) — скорость массы М относительно инерционной системы, связанной со стеной и р(1) — смещение от стены. иО) Рис. 3.6. Динамическая механическая система Найдите дифференциальное уравнение, описывающее связь между входом и($) и переменными о($) и р(1).
Задача 3.7. Рассмотрим систему с входом и(в) и выходом у(в), имею- щую эталонную (нелинейную) модель, определяемую выражением + (2+ 0.1 (у(8)) ) у(Ф) = 2и(1) (3.14.6) 3.!4. Задачи для читателя 87 Пусть мы связываем с этой системой номинальную (линейную) модель, определяемую формулой — + 2у($) = 2и($) ФИ) й (3.14.7) Смоделируйте эти две системы и получите ошибку модели для и(1) = Асов(0.51) при А = 0.1, 1.0 и 10. Обсудите, почему ошибка моделирования растет, когда А становится больше.
Задача 3.8. Рассмотрим следующую нелинейную модель пространства состояний Постройте линеаризованную модель в окрестности рабочей точки, заданной значением ио = 1. Задача 3.9. Рассмотрим нелинейный объект, имеющий модель — + [1+ 0.2вш(у($))1 — + 0.5уЯ = Зп(1) — атдтт(и($)) (3.14.11) 4'у( ) 3.9.1. Найдите примерную инверсию для этого объекта, используя структуру, показанную на рис.
2.7, с преобразованием Ь(о), представляющим линейное нединамическое усиление. 3.9.2. Настройте моделирование, как показано на рис. 3.7, где У(о) представляет нелинейную динамическую систему, описанную в (3.14.11). 3.9.3. Оцените характеристики инверсии, исследуя е с помощью 81М1~ЫМК на основе рис. 3.7. Используйте синусоидальные колебания с частотой в диапазоне от 0 до 0.5 рад/с. х1(1) = -2х1(1) + 0.1хг($)хз(1) + и(8) хз(Ф) = -хт(Ф) — 2хг($) (хт(1)) у($) = х1($) + (1+ хз($)) Рис. 3.7. Схема оценки параметров инверсии (3.14.8) (3.14.9) (3.14.10) 88 Глава 3. моделирование Задача 3.10.
Рассмотрим нелинейную систему, имеющую модель г + 3(д®+ О 2(у®) 1 + 2уф = 2 — +и(1) (3.1412) РИ~) з Ф(1) 1н($) Постройте линейную модель для малых сигналов в окрестности точки, определяемой постоянным входным сигналом и = 2. Задача 3.11. Рассмотрим механическую систему, показанную на рис. 3.8. Внешняя сила Д1) приложена к одному концу рычага и уравновешена пружиной, связанной с другим концом. Рычаг вращается вокруг своего центра, где момент трения пропорционален угловой скорости.
УО) рычага: иг рычага: 3 Рнс. 3.8. Рычаг 3.11.1. Без формирования какой-либо модели скажите, как много со- стояний имеет система. 3.11.2. Постройте линейную модель входа-выхода для системы с входом ЬГ"($) и выходом ЬО(в). Примите Ое — — О. 3.11.3. Постройте линейную модель пространства состояний. Глава 4 Непрерывные сигналы и системы 4.1. Введение Преимущество представления задачи моделирования в линейном приближении состоит в том, что последующий анализ, а также проектирование регулятора, могут использовать богатую информацию относительно функционирования линейных систем.
В этой главе мы рассмотрим основные принципы этой теории для линейных моделей непрерывных процессов. Основные темы, которые будут исследованы, следующие: ° модели в виде линейных дифференциальных уравнений произвольного порядка; ° преобразования Лапласа, которые конвертируют линейные дифференциальные уравнения в алгебраические уравнения, намного упрощая таким образом их изучение; ° методы для оценки устойчивости линейных динамических систем и ° частотные характеристики. 4.2. Линейные непрерывные модели Линейная модель общего вида является линейным вариантом общего дифференциала произвольного порядка, кратко описанного в разд.
3.8. Линейная форма этой модели: — +а„1 +'' +аоу(1) =Ь 1 — „1 ~иЯ+ +Ьди11) (4.2.1) Предлагаем читателю вспомнить модель простого двигателя, заданную уравнением (3.6.15). Эта модель была в форме (4.2.1). 90 Глава 4. Непрерывные сигналы и системы Иногда удобно использовать операторную форму, чтобы обозначить действие дифференцировании. Поэтому мы введем оператор дифференцирования или оператор Хевисайда р(о), определяемый как р(У(1)) = И(1) =' р"(уИ)) =а"у(о) =а(а" '(уИ))) = д,„ Ф" И) (4.2.2) (4.2.3) В терминах этого оператора модель (4.2.1) может быть записана: р"у($) + а„тр" у($) + .. + аоу(1) = бп 1р" ~и(1) + + боя(1) (4.2.4) 4.3.
Преобразования Лапласа Изучение дифференциальных уравнений описанного выше типа — богатый и интересный предмет. Из всех методов, используемых для изучения линейных дифференциальных уравнений, один, особенно полезный, обеспечивается преобразованиями Лапласа. Мощное достоинство этого преобразования — то, что оно преобразовывает линейные дифференциальные уравнения в алгебраические, что очень полезно для целей анализа. Главное для линейных систем — это то, что для них справедлив принцип суперпозиции. Как сказано в разд.
3.6.2, это подразумевает, что если два входных сигнала приложены одновременно, то реакция на них — просто сумма реакций на действие каждого из них в отдельности. Это имеет широкий диапазон применения. Например, можно получить реакцию на сложный входной сигнал, используя разложение его на элементарные компоненты. Прискорбно, что этот принцип несправедлив для нелинейных систем и это означает, что нельзя анализировать реакцию системы по частям, а приходится сразу рассматривать весь входной сигнал. Таким образом, можно глубже проникнуть в суть линейных систем (например, рассматривая эталонные входы), чем, в общем случае, это можно сделать для нелинейных систем.
4.4. Преобразование Лапласа. Свойства и примеры 91 Определение преобразования Лапласа Рассмотрим непрерывный сигнал у($), О < 8 < оо. Пара формул преобразования Лапласа, связанных с р($), определяется следующим образом: 1'(а) называется преобразованием Лапласа от у(8). Пара преобразований определена, если существуют а Е К и положительная константа Й < со, такие, что ) р(с) ! < Йе~', 'оз > О (4.3.3) Область Я(з) ) <т известна как область сходтамоспти (конвергенции) преобразования.
Рассмотренная выше пара преобразований может использоваться для получения таблицы преобразований. Примеры преобразований, часто используемых в приложениях теории управления, даны в табл. 4.1. Предлагаем читателю получить некоторые из результатов на основе исходных формул. Имеется много интересных свойств, которые вытекают из определения преобразования. Некоторые из них перечислены в табл. 4.2. Снова предлагаем читателю проверить эти свойства или получить их из исходных формул. 4.4. Преобразование Лапласа. Свойства и примеры Уравнения (4.3.1) и (4.3.2) дают способ переводить описания сигналов и систем в з-область и назад во временную область.
Однако уравнение (4.3.2) редко используется, чтобы получить обратное преобразование Лапласа, потому что прямое преобразование Лапласа большинства интересующих нас сигналов дает дробно-рациональное выражение относительно з. Обычно и используется это дробно-рациональное выражение для определения обратного преобразования путем сравнения со стандартными результатами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
