Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Кроме того, нули передаточной функции зависят от того, где приложено входное воздействие и каким образом формируется выходной сигнал как функция состояний. В то время как расположение полюсов определяет характер видов движений системы, расположение нулей определяет пропорцию, в которой эти составляющие объединены. Эти комбинации собственных движений могут быть совершенно разными. Аналогично определениям для системы полюсов определим быстрые и медленные нули. Быстрые нули — это те, которые расположены намного дальше от границы устойчивости, чем доминирующие полюсы.
С другой стороны, медленные нули — те, которые находятся намного ближе к границе устойчивости, чем доминирующие полюсы системы. Чтобы проиллюстрировать некоторые из обсужденных проблем, рассмотрим следующий пример. Пример 4.6. Рассмотрим систему с передатиочной функцией -в+с с(з + 1)(0.5з+ 1) (4.8.16) Эта стируктура позволяет нам изучитиь влияние расположения изменяющегося нуля, не меняя расположения палюсов и усиления на нулевой частоте. В этой системе мы видим, чтио имеютися две состиавляющие собственного движения е т и е гт, опредсляемые двумя полюсами -1 и -2 соответстивенно. Первое из них практически псрестиаети действоватиь, когда с приближается к — 1. То же повтиорлетися для второй состиавляющсй, когда с приближается к -2. В большей стиспени ситуация может бытиь оценена из рис.4.6.
На этом рисунке соотпветистивующсе значение с указано около каждой из реакций на стиупеньку. Мы можем видеть, что быстрый куль, например, ~с~ >> 1, ке имеет никакого сущестивенного воздейстивия на переходный процесс. Когда нуль медленный и устойчивый, возникасти существенное персрегулирование, в то время как при медленном и 106 Глава 4. Непрерывные сигналы и системы Проблему недорегулирования легко понять, используя следующую лемму, которая является элементарным следствием определения преобразования Лапласа. Лемма 4.1. Пусть Н(з) — строго собсгпвенная функция переменной Лапласа з в обласгпи сходимости Я(з) > -ст.
Обозначим соответствующую функцию времени через Гт(г)г Н(з) = Е[Ц1)) (4.8.17) Тогда для любого значения «о, такого, что Я(«о) > -ст, получим | Ще "та«= 11 Н( ) (4.8.18) о а-+м Доказательство Из определения преобразования Лапласа мы имеем, что для всех з в обласгпи сходимости преобразования, т. е. для Я(з) > — гт Н(з) = Г Ь(1)е-ма« (4.8.19) Огпсюда следует утверждение леммы, поскольку «е из области сходимости преобразования. ППП Проиллюстрируем результат простым примером.
Пример 4.7. Рассмотрим сигнал у($) = е+гг $ > 0 (4.8.20) Тогда У(з) = — длл Я(з) > 2 1 з — 2 (4.8.21) Теперь рассмотприм Х(«о) = е "'у($)а« о (4.8.22) неустойчивом нуле — существенное недорегулирование. Действигпельно, влияние расположения нуля в этом примере может быть весьма впечагпляющим: в зависимости от его местоположения можно наблюдагпь от 400% перерегулирования до 500% недорегулирования. Читатель мог бы проверигпь, чгпо можно достигнуть еще большего эффекта, если нуль переместить еще ближе к границе устойчивости.
Эти свойства фактически являются универсальными, как мы пока'жем ниже. ППП 4.8. Полюсы, нули и временные характеристики 107 6 с= -ОЗ 4 Р с. = -0.25 2 а 0 Ф с=10 г -2 с=0.25 и ~-4 с=оп Й 5 0 0.5 1 Ь5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Время (с) Рнс. 4.6. Влияние расположения нуля на переходную характеристику Ясно, что для го = 3 мы имеем 1(3) = е 'е 'Ж = е 'а2 = 1 о о (4.8.23) Заметим, что это правильно предсказано леммой 4.1, поскольку У(3) = =1 1 (4.8.24) Однако если мы возьмем го = 1, то У(1) = -1. С другой стпороны ясно, что 1(зо) равно оо. Это также находится в соотпветствии с леммой 4.1, поскольку зо = 1 не лежитп в областпи сходимости преобразования. ППП Вышеупомянутая лемма используется дальше для определения количественных соотношений между нулями и некоторыми ключевыми показателями динамики системы.
Ми > 1 — 6 ест — 1 (4.8.28) Лемма 4.2 (Неминнмапъно-фазовые нули и недорегулнрование). Рассмотрим' линейную устойчивую систпему с передаточной функцией Н(з), имеющей единичное усиление на нулевой частоте и нуль при з = с, где с Е К+. Далее предположим, что реакция на единичную стпупеньку, у(2), имеет время регулирования 2е (см. рис..4.3), и. е, 1+ Б > ~у($)~ > 1 — б (б << 1), 'й > 2е. Тогда у(2) обладает недорегулированием М„, которое удовлетворяетп условию 108 Глава 4.
Непрерывные сигналы и системы (4.8.27) | ) Е с ~ а 4 + ~ и Я е е т и 1 > о и с (4,8.28) Далее, используя определение времени регулирования 1„заметпим, чтпо (и(г) ~ < б << 1 1Й > г,. Если мы тпакже заметпим, чтпо шах(и(г)) = У„, =1+Ми > 0 (4.8.29) тпо из (4.8.28) получим <~Г 1г е,дг+ ( б ыг1 тг — е + о т, с с (4.8.30) Окончатпельно, используя (4.8.29), получим тпребуемый результпапт. ППП Если мы дальше рассмотрим случай сг, « 1 (или, перефразируя— б « 1), то из (4.8.25) следует М„>— 1 (4.8.31) Подобный же результат может быть установлен для вещественного нуля, расположенного в левой полуплоскости, когда этот нуль имеет величину (вещественную часть) намного меньше, чем доминирующий полюс (его вещественная часть) системы.
Этот результат приводит к следующей лемме. Доказательство Введем в(1) = 1 — у(1), тпогда У(з) = (1 — Н(з))— 1 (4.8.26) Заметим, чтпо областпь сходимостпи длл У(з) определяетпся соотпношением И(з) > О. Тогда с находится в отпой областпи и мы можем применитпь лемму 4.1, чтпо даетп 1г(с) = = — =( и($)е 'сЫ 1 — Н(с) 1 Г ' с с т'о Разделим интпервал интпегрирования на [О, 1,] П (Ф„со). Тогда (4.8.27) даетп 4.е. Полюсы, нули и временные характеристики 109 1. Система имеетп доминирующий полюс(ы) с вещественной частью, равной -р, р > О.
2. Нуль и доминирующий полюс связаны соотпношением с! т1 = — 1 « 1 р (4.8.32) 3. Значение б, определяющее время регулирования (см. рис. 4.3), выбирается таким, что существует параметпр О < К, который удовлетворяет условию' ~о($)!<Ке "' П>$з (4.8.33) Вывод: переходная характеристика имеет перерегулирование, которое ограничено снизу соотпношением (4.8.34) Доказательство Сначала вычисеим 1 Гоо У(з) = а. (О($)) = (1 — Н(з))- = / о(1)е '~а1 (4.8.35) Заметим, что областпь сходимостпи для У(з) определяетпся соотпношением Я(з) > — р.
Таким образом, с находится внутпри этной области (см. (4.8.32)), следоватпельно, мы можем использовать лемму 4.1, что дает — = / ц(г)е ос<а=( оЯе с'сц+/ о(г)е с'дг (4.8.36) с О О с. Пусть минимальное значение и(г) в диапазоне [О; 1з] равно — Мр, заметим при этом, что о(1) > — Ке и', ~й > 1з. Тогда оба интпеграла в 'Заметим, что зиачеиие й существееио зависит от доминирующего полюса, т.е. тесно связано с и. Лемма 4.3 (Медленные нули н перерегулнрованне). Рассмотрим линейную устпойчивую систему с передатпочной функцией Н(з), имеющую единичный коэффициент усиления на нулевой частотпе и нуль при з = с, с < О. Определим и(1) = 1 — у(с), где у($) — переходная характперистика.
Далее, предположим следующее. 110 Глава 4. Непрерывные сигналы и системы правой части равенстпва (4.8.36) могут бьппь заменены. своими минимальными значениями, что даст М вЂ”,сазе К -(э+с)с г,, О и гс. Гас ( М ' -сто+ К -ив+с)тй (4 8 37) О с, Тогда требуемый результпат (4.8.34) вытекает из этих интегралов и формулы (4.8.32). ППП Заметим, что если с4, « 1 и Кт) « 1, примерная нижняя граница для Мр равна Мр >— 1 (4.8.38) -с1, Мы используем ряд соображений, подобных тем, которые находятся в начале гл.
8, когда будем изучать влияние полюсов и нулей разомкнутой системы на переходный процесс системы управления с обратной связью. 4.9. Частотная характеристика Далее мы изучим реакцию системы на гармонический входной сигнал. Причина этого в том, что реакция на гармонические колебания также содержит богатую информацию 'о реакции и на другие сигналы. Это может быть оценено с помощью анализа Фурье, который позволяет любой сигнал, определенный на интервале [г„, Фу], представить в виде линейной комбинации гармонических сигналов частот О, ат,у, 2ш,у, Зсзсу,..., где Отсу = 2к/($у-$с) называется основной (фундаментальной) частотой. Принцип суперпозиции тогда позволяет нам объединить реакции на отдельные гармонические сигналы, чтобы определить реакцию на сигнал сложной формы.
Рассмотрим линейную устойчивую систему, описанную передаточной функцией ~(,) К К,,Ь1з (4.9.1) зп+ ~~~ 1а г/с 4.9. Частотная характеристика 111 У(а) = — + 1ь(а) Н(ао) ао (4.9.2) где первое слагаемое — реакция, вызванная входным сигналом (вынуж- денная составляющая), а второе — затухающая реакция, определяемая начальными условиями (собственная составляющая). Соответствующая реакция во временной области выглядит следующим образом: д(т) = Н(а,)е" ~ + ~~> Сье~'~ (4.9.3) где Льй = 1,2,...,тт — собственные частоты системы, то есть полюсы Н(а), а величины Сь зависят от начальных условий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
