Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Другая ситуация для МОМ вЂ” эта ошибка очень мала для низких частот, но есни ы увеличивается, возникают колебания между О и 2. Вышеприведенные выражения также показывают, что большей абсолютной ошибкой (измеренной в ~т — т,~) раньше (по частоте) становится МОМ. 4.14. Резюме 129 5 йз ю г 100 Нормализованная частота ю/иь, 1О Рис. 4.10. Частотная характеристика МОМ для неучтенного резонанса при различных значениях коэффициента демпфирования зр противоположность этому МОМ представляет фильтр высоких частот с резонансным пиком, который может быть очень большим в зависимости от величины коэффициента демпфирования зд.
На рис. 4.10 показаны модули частотных функций для различных значений 1Р. 4 13. Границы ошибок моделирования ~СаО )! <с(ы) (4.13.1) где е(со) — некоторая заданная положительная функция 1о. 4.14. Резюме ° В конечном счете, все физические системы обладают некоторой степенью нелинейности. При проектировании систем управления часто желательно тем или иным способом оценить ошибки моделирования.
К сожалению, ошибки моделирования редко известны точно. Однако рассмотрение примеров в равд. 4.12 указывает, что обычно МОМ имеет модуль, который мал на малых частотах и увеличивается до 1 или 2 на высоких частотах с пиками, вызываемыми неучетом резонансных явлений и других явлений в полосе пропускания. Таким образом, неплохо иметь некоторую информацию о МОМ в форме ограничений.
Типичным ограничением здесь могло бы быть 130 Глава 4. Непрерывные сигналы и системы ° Однако имеются серьезные причины использовать модель, которая о линейна и тем не менее о достаточно точна для наших целей. Эти причины обусловлены следующими свойствами линейных моделей: о Теория и практика линейных систем существенно более просты и легче в применении.
о Имеется большое количество разработанных решений и легко используемых программных средств. о Суперпозиция позволяет, в частности, представить реакцию на одновременно действующие изменения уставки и возмущения как сумму реакций на эти воздействия, рассматриваемые отдельно. о Мощными средствами исследования в частотной области являются полюсы, нули, передаточные функции, а также диаграммы Боде и Найквиста со связанными с ними свойствами и характеристиками. о ДЛя линейных систем легче определить и проанализировать относительную степень, инверсию, устойчивость и устойчивость инверсии. ° Средства аппроксимации физических систем линейными моделями включают следующее: о преобразования типа, замены переменной; о приближения типа ряда Тейлора в окрестности рабочей точки и идентификация с помощью черного ящика.
е Эти моменты объясняют причину предположения о линейности, используемого в нескольких последующих главах; в следующих же за ними главах представлены методы для существенно нелинейных систем. ° Имеются два основных подхода к линейным динамическим моделям: о так называемая временная область и о так называемая частотпная область. ° Хотя эти два подхода в значительной степени эквивалентны, каждый из них имеет свои собственные специфические преимущества и поэтому важно хорошо владеть каждым. ° Во временной области о системы моделируются дифференциальными уравнениями, о системы характеризуются изменением своих переменных (выход и т. д.) во времени и о изменения переменных во времени определяются решением дифференциальных уравнений.
4.14. Резюме 131 Определяет Показатель Как система после переходного процесса усиливает или ослабляет постоянный сигнал Усиление для устано- ' вившегося режима Как быстро система реагирует на изменение на своем входе Время нарастания Как быстро у системы затухает переходный процесс Время регулирования Насколько реакция может превысить установившееся значение во время переходного процесса Перерегулирование Недорегулирование Насколько переходный процесс может опуститься в направлении, противоположном установившемуся значению ° В частотной области можно получить следующее: о Моделирование использует ту основную особенность линейных систем, что установившаяся реакция на гармонический сигнал тоже является гармонической той же самой частоты; система изменяет амплитуду и фазу по отношению к входному сигналу; зти изменения определяются только характеристиками системы на соответствующей частоте.
о Системы моделируются передаточными функциями, которые учитывают зти влияния как функции частоты. ° Показатели, которыми обыкновенно характеризуются системы в частотной области, включают следующее: Определяет Показатель Полоса пропускания Диапазон частот, где система имеет минимальное воздействие на амплитуду спнусоидлльного входного сигнала Полоса подавления Диапазон частот, где система существенно подавляет синусоядальные входные сигналы Переходная полоса Диапазон частот между полосой пропускания и полосой подавления Ширина полосы пропускания Диапазон частот полосы пропускания системы Граничная частота Частота, обозначающая (несколько произвольно) границу между полосой пропускапия и переходной полосой системы ° Устойчивые временные реакции обычно характеризуются следующими показателями: 132 Глава 4.
Непрерывные сигналы и системы Характеристика Частотные диаграммы Назначение Графическое представление влияния системы на амплитуду и фазу синусоидального входного сигнала как функции частоты Полюсы Корни полинома знаменателя передаточной функции; они определяют устойчивость и, совместно с нулями, характеристики переходного процесса Нули Корни полннома числителя передаточной функции; они не влияют на устойчивость, но определяют инверсную устойчивость и недорегулирование, а также, совместно с полюсами, существенно воздействуют на характеристики переходного процесса системы Относительная степень Число полюсов минус число нулей; определяет, является ли система строго собственной, бисобственной или несобственной Система имеет больше полюсов,чем нулей; это допустимо и, следовательно, реализуемо; она имеет несобственную инверсию н нулевой коэффициент усиления на высокой частоте Строго собственная система Система имеет равное число полюсов н нулей; она реализуема, имеет бисобственную инверсию н имеет прямую передачу сигнала, т.
е. ненулевое и ограниченное усиление на высоких частотах Бисобственная система Система имеет больше нулей, чем полюсов; она недопустима, не может быть реализована, имеет строго собственную инверсию и имеет неограниченное усиление на высоких частотах Несобственная система ° Особо важными линейными моделями являются следующие: о усиление; о модель первого порядка; о модель второго порядка; о интегратор; о чистое запаздывание (иррациональное) и его рациональное приближение. ° Важность этих моделей определяется следующим: о Онн часто встречаются на практике.
о Более сложные системы можно разбить на эти компоненты с помощью разложения на простейшие 'дроби. ° В частотной области обычно используются следующие характеристики. '4д4. Резюме 133 ° Вычисление передаточной функции на любой частоте дает соответствующее комплексное число. о Его модуль определяет усиление на этой частоте. о Аргумент же этого числа дает фаЗовый сдвиг системы на этой частоте. ° Относительно важной характеристики непрерывной системы— устойчивости — можно сказать следующее: о система устойчива тогда и только тогда, когда вещественные части всех полюсов строго отрицательны; о система на границе устойчивости, если, по крайней мере, один полюс находится на мнимой оси комплексной плоскости и нет полюсов, имеющих строго положительную вещественную часть; о система неустойчива, если вещественная часть по крайней мере одного полюса строго положительна и о система неминимально-фазовая, если вещественная часть, по крайней мере, одного нуля строго положительна.
° Реакция линейных систем на произвольный входной сигнал может быть представлена в виде суммы двух составляющих: о собственная составляющая, являющаяся функцией начальных условий и не зависящая от входного воздействия; если система устойчива, собственная составляющая стремится к нулю; о вынужденная составляющая, являющаяся функцией входного воздействия, но не зависящая от начальных условий. ° Следующие модели являются эквивалентными модели на основе передаточной функции: о модель преобразований Лапласа системы дифференциальных уравнений; о преобразование Лапласа реакции системы на дельта-импульс; о модель, полученная непосредственно из экспериментального наблюдения.
° В принципе, время регулирования может быть получено из передаточной функции с помощью обратного преобразования Лапласа выхода системы; однако на практике, почти всегда предпочитают перевести передаточную функцию во временную область и решать дифференциальные уравнения численными методами. ° Основные преимущества моделей во временной области следующие: о они особенно удобны для моделирования и решения на цифровом компьютере; о они могут быть расширены на более общие классы моделей, типа нелинейных систем; о они играют фундаментальную роль в теории пространства состояний, рассматриваемой в последующих главах.
134 Глава 4. Непрерывные сигналы и системы ° Основные преимущества моделей в частотной области (передаточных функций) следующие: о они подчиняются простым алгебраическим правилам; так, например, можно легко вычислить передаточные функции для параллельного, последовательного соединения и для структур с обратной связью; о свойства типа инверсии, устойчивости, инверсной устойчивости и даже качественное понимание переходных процессов легко получаются из знания полюсов и нулей.
° Модели временной и частотной области легко могут быть преобразованы друг в друга. ° Все модели содержат ошибки моделирования. ° Ошибки моделирования могут быть представлены как адцитивные ошибки моделирования (АОМ) или мультипликативные (МОМ). ° Ошибки моделирования неизвестны и часто оцениваются верхними границами. ° Некоторые виды обычно встречающихся ошибок моделирования, типа числовой погрешности, пропущенных полюсов, неучтенных резонансных пиков или запаздывания, имеют некоторые характперные особенноспти. ° Можно вообще предполагать, что ошибки моделирования увеличиваются с частотой; МОМ обычно обладают характеристиками фильтров высоких частот.
4.15. Литература для последующего чтения Преобразование Лапласа 1. ВоегвсЬ, С. (1971). Сасйе !о йв арр!ссапопз о7' Ьар!асе апг! 8-2ггапз7оггл. В. тгап 1с1овггапс!. Уап ХовФгапс1-Ве!пЬо16, Ьопс!оп, 1с!ест гог1с, 2"4 Еп8!!вЬ ес!!с!оп. 2. ЬаСЬ1, В. (1965). Я!уоа!з, Ярз!втаз ап4 Сотппиипсаеоп. %11еу, четв Уаттс. 3. ОррепЬе!ш, АХ., %!1в1су, А.Я., апс! Наса!с1, Х.Я. (1997). Ятутта!з ап4 Ярзсепм. Ргевйсе-Нвй, 1!ррег ЯвсЫ1е Н1гег, !т'.з., 2"4 еб!Ф!оп. Влияние нулей на переходный процесс 1. М!сЫ1есоп, К.Н.
(1991). тгабе-ойв !и 1!певг сопсго! вув!етв дев!8п. Аи!опта!сев, 27(2):281-292. 2. М!сЫ1егоп, К.Н. апс! СгвеЬе, Я.Р. (1999). 81отг вваЪ|е ореп-1оор ро!ев: Со сансе! ог по! !о сапсе1. Аа!оптабса, 35:877-886. 4.16. Задачи для читателя 13$ 4.16. Задачи для читателя Задача 4.1. Передаточная функция системы имеет вид Н(з) = 2 (4.16.1) 4.1.1. Определите условия, при которых переходная характеристика протекает быстрее, чем е 41.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
