Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 21
Текст из файла (страница 21)
е. если он удовлетворяет условию (4.10.3) и система устойчива (см., например, преобразования Лапласа и Фурье для единичной ступеньки). Это предупреждение может быть понято в большей степени, рассматривая пример системы с передаточной функцией (по Лапласу) вида 4.11. Часто встречающиеся модели 123 Изменим порядок интегрирования: Дс)д($)й = — Р(доз) стенд($)(М дсз 1 Гоо = — / Р(уот)С(-ую) йо 2к,/ (4.10.12) (4.10.13) ООО Особый случай будет, когда Д$) = д(г); тогда Ц($)) д1 = — ~Рвот)1~ сйе (4.10.14) Замечание 4.5. Читатель может легтсо проверить, что теорема Парсеваля справедлива и тогда, когда Д1) и д(с) — матрииы (векторы) соотпветпстпвующих размерностей.
4.11.. Часто встречающиеся модели те+ 1 о Переходная характеристика — простая растущая экспонента. о Параметр К вЂ” усиление на нулевой частоте. Увеличение К приводит к увеличению конечного значения переходной характеристики. о Параметр т — постоянная времени. Увеличение т увеличивает время нарастания. Многие системы, встречающиеся на практике, могут быть смоделированы сравнительно простыми линейными компонентами первого и второго порядка. Важно уметь выделить эти компоненты. В табл. 4.5 приведены временные и частотные характеристики простых линейных моделей. Предлагаем читателю вычислить некоторые из этих реакций, чтобы проверить результаты, потому что знакомство с этими реакциями может быть полезно при решении задач управления или для оценки моделей, на основании которых может быть сконструирован регулятор.
Для каждого компонента таблица содержит реакцию на ступеньку и диаграммы Боде. Только один параметр одновременно изменяется и все нз них являются положительными. Эффект изменения параметра показан на каждом графике стрелкой, которая указывает направление, по которому параметр увеличивается. Некоторые качественные выводы из табл. 4.5 следующие: К 124 Глава 4. Непрерывные сигналы и системы Таблица 4,о Модели систем и влияние изменений параметров Диаграмма Воде (амплитудная) Диаграмма Боде (фазе еая) Реакция иа ступеньку Система Параметр 2 соп 42 + 2ЕРСоп Е + ГЛп2 о Переходная характеристика — колебания (при Ф « 1).
о Параметр ер — демпфирование. Увеличение ер заставляет колебания затухать быстрее. о Параметр соп — недемпфированная собственная частота. Увеличение юп приводит к колебаниям с более коротким периодом. ае+ 1 (е+ 1)2 4.12. Ошибки моделирования линейных систем 12$ о Переходная характеристика имеет перерегулирование без колебаний (для а ~ < 1). о Параметр -а ~ — минимально-фазовый нуль. При увеличении а увеличивается перерегулирование. — аз+1 (з+ 1)х о Переходная характеристика имеет недорегулирование и не имеет колебаний. о Величина а ~ является неминимально-фэзовым нулем.
При увеличении а увеличивается недорегулирование. Конечно, использование этих простых моделей будет обычно приводить к некоторому уровню приближения. Этот факт нужно иметь в виду при использовании этих моделей для проектирования систем управления. Более подробно описание ошибок моделирования, связанных с аппроксимацией линейных моделей, дано в следующем разделе. 4.12.
Ошибки моделирования линейных систем В рэзд. 3.9 выдвинута идея рассмотрения ошибок между номинальной и эталонной моделями. Если линейная модель используется для аппроксимации линейной системы, то ошибки моделирования из-за ошибок в параметрах и/или сложности могут быть выражены в виде передаточной функции как У(з) = С(з) У(з) = (Со(з) + С,(з))У(з) = С,(з) (1+ Сл(з))У(з) (4.12.1) С,(з) С(з) — С,(з) С,( ) С,(з) (4.12.2) Обычно линейные модели точнее описывают поведение объекта в низкочастотной области — когда входы объекта постоянны или медленно изменяются во времени.
Это иллюстрируется в следующем примере. Пример 4.10. Элементы запаздывания не приводят к рациональнмм функциям в областпи оператора Лапласа. Поэтому обычно стараютпся где С,(з) обозначает аддитивную ошибку моделирования (АОМ), а Са(з) — мультипликативную ошибку моделирования (МОМ), введенные в рззд. 3.9. АОМ и МОМ вЂ” два разных способа задания одной и той же ошибки моделирования. Преимущество МОМ в том, что она дает относительное значение, в то время как АОМ-.абсолютное значение. Это можно видеть из выражения 126 Глава 4.
Непрерывные сигналы и системы аппроксимировапть запаздывание подходятцим рациональным выраже- нием. Одно из возможных приближений (4.12.3) где й определяет точность аппроксимации. Для этой аппроксимации нужно определить МОМ частотной хара ктеристпихи. С(з) =е ™Р(з) Следовательно, Сд(з) = е ' — 1 (4.12.5) с модулем часгпотной характеристики, равным ~бд(у10)) = ~е У вЂ” е 1 р = агсфк — (4.12.6) 2к и л 0.6 о 0 2 4 6 8 !0 12 14 16 18 20 Нормализованная частота 1ыт) Рис. 4.9.
МОМ для всечастотной рациональной аппроксимации запаздывания Результат изображен на рис.4.9, где отт — нормализованная частота. ППП Некоторые типичные ошибки линейного моделирования включают следующие случаи. Решение Мы имеем, что Со(з) = Р(з) (4.12.4) 4.12. Ошибки моделнроввннв линейных систем 12? Числовая неточность в описании полюсов и нулей Рассмотрим в качестве примера объект, описываемый выражениями: С(з) = Р(з) и С,(з) = Р(з) (4.12.7) 1 1 Здесь нет ошибок, связанных со сложностью и усилением на нулевой частоте, но есть ошибка в задании полюса. Тогда бз бз Заметим, что АОМ исчезает и на низких частотах, и на высоких.
Модуль МОМ частотной функции также мал на низких частотах, но он увеличивается до максимального значения, равного —, на высоких з частотах. Числовые погрешности создают довольно специфические структуры Се и Са. Одна из таких ситуаций возникает, когда реальный объект имеет неустойчивые полюсы. Если неустойчивый полюс известен неточно, то и АОМ, и МОМ будут неустойчивы. Пример 4.11. Рассмотприм обвект с С(з) и С„(з) из (4.12.7) при а = — 1, 6 = 0.2; тогда АОМ и МОМ задаются формулами С,(з) = Р(з) и Сд(з) = (4.12.9) 0.2з 0.2з Неустойчивость АОМ и МОМ очевидна.
12 1л 11 Пропущенный полюс Пусть истинный объект и его номинальная модель определяются, соот- ветственно, формулами С(з) = — Р(з) и С,(з) =Р(з) 1 аз+1 где Р(з) — заданная передаточная функция. Здесь снова нет ошибки усиления на нулевой частоте, однако (4.12.10) С,(з) = —.Р( ) аз+1 (4.12.11) Если, как обычно и бывает, ~С,(уш)~ стремится к нулю на высоких частотах, то АОМ снова имеет в частотной области характеристику типа полосы пропускания. Модуль частотной функции МОМ тоже снова будет типа фильтра высоких частот и для очень больших частот будет стремиться к 1.
128 Глава 4. Непрерывные сигналы и системы Ошибка времени запаздывания Пусть реальный объект и его номинальная модель даны, соответственно, выражениями С(з) = е "'Р(з) и сг (з) = е ™'Р(з) (4.12.12) Здесь нет ошибки усиления на нулевой частоте, а ошибки моделирования в частотной области определяются соотношениями Д(.
) 2.е-л1ы - ( )Р(у ) Д ( )=2 е (л-~В~в ( (4.12.13) где 2 (4.12.14) Соответствующие модули равны зш — 1 — — ~Р(уиг) ! з1п — ' 1 —— )а (у' П =2 ~Сд(уы)) =2 (4.12.15) (4.12.16) Неучет аффекта резонанса Неучет резонансных явлений обычен при моделировании некоторых классов систем, таких как руки робота, антенны и другие большие гибкие структуры. Эта ситуация может быть описана следующим образом: г зг+2,ь„„з+„г (з) 0,(з) =Р(з) 0<Ф<1 (4.12.17) Ошибки моделирования тогда определяются выражениями — з(з+ 21хзп) -з(з + 24изп) зг+ 2тлзпз+юг зг + 2ф~~~ + ~~~ (4.12.18) В предположении, что ~С,(уы)~ стремится к нулю при больших частотах, АОМ для частотной функции имеет вид полосового фильтра. В Эти выражения, вместе с предположением, что )Р(гы)~ стремится к нулю на больших частотах (это имеет место в большинстве реальных объектов), указывают, что АОМ также исчезает, когда ы -+ оо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
