Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 25
Текст из файла (страница 25)
корни с неположительными вещественными частями), называются полиномами Гурвица. Если мы ограничимся, случаем, когда корни имеют отрицательные вещественные части, то такой полинам называется строгим по Гурвицу. 152 Глава 5. Анализ замкнутых 3130-систем управления Свойство 3.. Чтобы все корни р(а) имели отрицательные вещественные части, меобходилто чтобы а; > О, 1 Е (0,1,..., тт — 1). Доказательство этого свойства проведем следующим образом. а) Корни р(з) или вещественные, или комплексные и, если какие-то из них комплексные, то эти комплексные корни будут образовывать сопряженные пары (это является следствием того, что р(з)— поливом с вещественными коэффициентами).
б) Таким образом, без потери общности можно предположить, что имеются тт1 вещественных корней и тзз пар комплексно сопряженных. При этом пч + 2пз = тт. в) Если все эти корни имеют отрицательные вещественные части, они могут быть представлены следующим образом: Л; = — ~ст;) 1=1,2,...,пч (5.5.5) Ли,+; = Л,*„„,; = — ~о;./+чтит. 1= 1,2,...,тзз (55б) г) Следовательно, р(а) =П(а+~а;~)Ц((з+~сг~!) +ыД (5.5.7) где во втором произведении мы сгруппировали комплексные пары в квадратичные сомножители. д) Из (5.5.7) мы видим, что р(з) соответствует произведению полиномов первого и второго порядка, все из которых имеют вещественные и положительные коэффициенты. Коэффициенты р(з) являются суммами произведений коэффициентов этих полиномов первого и второго порядка, что доказывает свойство.
Заметим, что это свойство необходимое для полиномов, строгих по Гурвицу, но не достаточное, за ттсключениам свучаее, когда тт = 1 и тт = 2, когда это условие и необходимое и достаточное. Свойство 4.. Если какой-либо из коэффициентов полинома неположительный (отрицательный или равен нулю), тогда один или более корней имеют неотрицательную вещественную часть.
Это свойство — прямое следствие предыдущего свойства. 5.5.3. Алгоритм Рауса Одним из наиболее распространенных алгоритмов определения, является ли полипом строгим по Гурвицу, можно назвать алгоритм Рауса. 5.5. Устойчивость и анализ полиномов 153 Приведем его здесь без доказательства. Снова рассмотрим полипом р(8) степени и, определенный следующим образом: р(а) = ~~> а;81 (5.5.8) Алгоритм Рауса основан на следующей числовой таблице Таблица 5.1 Таблица Рауса 7»-гз 7 -г,г 7п-1,1 7п,1 аг 1 о где 'Уо, = ап+г-г~", 2 = 1,2,...,то и У1 4 = оп+1-г", 2 =1,2,...,т1 (5.5.9) с то = (тт+ 2)/2 и тп1 = то — 1 для четных и и т1 = то для нечетных п. Заметим, что элементы уо,з и у1,4 — коэффициенты полинома, дополняющие друг друга. Далее 7й-1,17й-г,г+1 — 7й-гд 7й-1,1+1 7й,т 7й-1,1 й = 2,...,п у = 1, 2,...,тг (5.5.10) где т = птах(т 1,тг 21 — 1 и где нужно считать нулевыми коэффициенты 7й 1о~и1, если их нет в таблице Рауса (см.
табл. 5.1). Заметим, что коэффициенты (5.5.10) могут быть представлены с помощью детерминантов: 7йб =— 72-2,1 72-2,1+1 7й-1,1 7й-1,1 7й-1а +1~ (5.5.11) Основное утверждение выглядит следующим образом: и 8 и-1 В и-2 8 и-3 В и-4 7ов 7од 71Л 71,2 7гп 72Л 7зл 'узл 74л 74л 7о,з 7о,4 71,2 71,4 72,2 72,4 7з,з 7з,4 74„з 74,4 154 Глава 5. Анализ замкнутых 8!80-систем управления Из таблицы мы замечаем, что в первом столбце нет изменений знака. Согласно критерию Рауса этпо означает, чтпо р(з) — полинам, строгий по ГУ~рвицу. ППП Пример 5.4.
Пусть р(з) = зз+ бз4+ 12зз+ 13зг+ Зз+ 6. Заметпим вначале, что все коэффициенты этпого полинома больше нуля, следовательно, мы не можем исключитпь возможностпь, что он является полиномом Гурвица. Чтобы проверить этпо, посптроим тпаблицу Рауса.
за 1 12 3 ва 5 13 6 47 5 566 47 8160 235 6 вз вз в1 о Из эшой таблицы мы замечаем, что есть два изменения знака в первом столбце. Согласно критерию Рауса это означает, что р(з) имеетп два корня с положительной вещественной частью. Следовательно, р(з) не явллетпся полиномом Гурвица. ППП При использовании таблицы Рауса возможны некоторые особые случаи, которые требуют приложения дополнительных усилий. Например, мы видим, что при построении таблицы нельзя двигаться дальше, если один из элементов первого столбца равен нулю. Здесь можно пойти следующими путями. Случай 1 Сначала рассмотрим случай, когда первый элемент строки, соответству- ющий з" ", равен нулю, но в этой строке есть по крайней мере один ненулевой элемент.
Рассмотрим далее несколько примеров Пример 5.3. Пустпь р(з) = за+ за+ Ззз+ 2з+ 1. Непосредстпвенное исследование полинома не позволяетп нам сказать, являетпся ли он полиномом Гурвица. Воспользуемся таблицей Рауса. ве 1 3 1 вз 1 2 вз 1 1 в1 1 во 5.5. Устойчивость и анализ полиномов 155 вз в4 вз 82 1 2 3 3 6 3 2 6 — Д 3 2+ Т) г()т( 3 вз 1 2 3 в4 3 6 3 аз О 2 вз 1 о (5.5.12) 1 о Отсюда видим, что при ~е~ -+ О+ естпь два изменения знака, т. е.
р(з) не являетпся полиномом Гурвица, потому "опо имеет два корня с положительными вещестпвенными частями. ППП Случаи 2 Рассмотрим теперь случай, когда все элементы строки, соответствующей з, нулевые, т. е. 7ь1 = "~ад = ... = О. и-й В этом случае из исходного полинома можно выделить полипом р„(з) = .~ь цтз" "+'+ уь, цзз" " '. + уь цгз" " з+" . Заметим, что это полипом только четных или только нечетных степеней з, где коэффициенты соответствуют членам строки таблицы, находящейся непосредственно над строкой с нулями.
Таким образом, полипом р (з) и, соответственно, р(з) не являются полиномами, строгими по Гурвицу. Пример 5.6. Рассмотприм полинам р(з) = зз+бзз+2з4+бзз+4зз+15з+3. Соответстпвующая ему тпаблица Рауса равна вв 1 2 4 3 вв 5 5 15 в4 1 1 3 вз вз вз зо Тогда ра(з) = з~+ аз+ 3. Разделив на него исходный полинам, получим, что р(з) =ра(з)(зг+5з+1). Заметпим, что корни полинома р„(з) равны ~0.7849 ~ 11.0564. ППП В этом случае заменим элемент уь1 величиной е, где е,— очень маленькое число с тем же знаком, что и элемент уь т т, т. е. используем либо )е), либо — )е).
Тогда таблицу можно завершить, а критерий Рауса, позволяющий определить, является ли полипом строгим по Гурвицу, используется для случая )е~ -ь О+. Пример 5.5. Рассмотрим полинам р(з) = аз+ Зза+ 2зз+ бзг'+ Зз+ 3; Для него имеем таблицу Рауса: 166 Глава 5. Анализ замкнутых 8180-систем управления Алгоритм Рауса можно применить к знаменателю передаточной функции, чтобы определить, является ли система устойчивой, однако его можно использовать для изучения влияния изменения параметров на устойчивость системы. Для иллюстрации этого рассмотрим следующий пример. Пример 5,7. Пусть в замкнутом контуре управления Св(з)С(з) = —,(;+ р. Мы хотим определитпь, какие значения К соответствуют К устойчивому замкнутому контуру.
Сначала определим характеристический полипом замкнутпой систпемы, котпорый равен р(з) = за+ 2зг+ э+ К, а загнем постпроим таблицу Реуса. в в 1 зо 1 1 2 К 1 — 0.5К К Мы можем видеть, что неустойчивых полюсов у замкнутпой системы не будет тогда и тполько тпогда, когда 1 — 0.5К > 0 и К > О. Обвединяя эти'требования, заключаем, ото замкнутпая система устойчива тогда и тполько тогда, когда 0 ( К < 2.
ППП Критерий Рауса можно также использовать для изучения, как быстро затухают процессы в системе. Пример 5.8. Замкнутая система управления имеет передаточную функцию в разомкнутом состоянии Са(з)С(з) = —,~,+47;. Нужно узнатпь, имеетпся ли какой-то диапазон значений К, при которых все процессы в замкнутой системе затухании быстрее, чем е т.
Другими словами, нужно, чтобы все полюсы замхнутпой системы имели вещественные части меньше -1. Стпратегия решения этой задачи заключается в том, чтпобы рассмотретпь вертикальную линию з = -1 в качестпве новой границы устойчивости на сдвинутой комплексной плоскости. Если мы назовем эту сдвинутпую плосхостпь ю-плоскостью, то в примере мы просто делаем подстановку ю = э+ 1. Далее применяем критерий Реуса к этой новой комплехсной плоскости.
Длл расслтатривасмого примера получим харахтеристпический полинам замкнутой системы: р(з) = зз+8зг+16з+К. Для новой комплексной переменной он стпанетп р„,(ю) = р(ю — 1) = юз + бюз + Зю+ К вЂ” 9. Далее таблица Рауса для р (ю) даст з 3 туз 5 К вЂ” 9 тгз 4.8 — 0.2К о К 9 5.6. Корневой годограф 157 5.6. Корневой годограф Другим классическим инструментом, который обычно используется для изучения устойчивости уравнений типа (5.4.1), является метод кориевого годографа.
Корневой годограф может использоваться, чтобы исследовать расположение корней характеристического полииома при изменении одного параметра. Предположим, например, что иомииальиая модель объекта задана передаточной функцией Со(з), а регулятор— передаточной функцией С(з) = КС„(з), где С„(з) — известное частное двух нормированных полииомов от з, а К вЂ” положительная, ио иеизвестиая константа. Тогда полюсы замкнутой системы являются корнями уравнения 1+ КС,(з) Со(з) = О (5.6.1) Множество всех точек иа комплексной плоскости, которые удовлетворяют уравнению (5.6.1) для различных положительных значений К, называется корневым годографом. Эту конкретную задачу можно рассматривать как часть более общей задачи.
Рассмотрим следующее уравнение где г'(з) =— М(з) Р(з) 1+ Лг'(з) = О, (5.6.2) сЛ>Ои М(з) = 3 + Ьт дз + + Ьдз+Ье = Ц(з — с;) д=д Р(з) =з" +а„дз" '+" +аде+аз=Ц(з — рд) (5.6.3) (5.6.4) где коэффициенты полииомов М(з) и .0(з) являются вещественными числами. Тогда задача корневого годографа связана с нахождением множества всех точек иа комплексной плоскости, являющихся решением уравнения (5.6.2) для всех неотрицательных значений Л.
Мы видим, что длл того, чтпобы полинам р (ш) был стпрогим по Гурвицу, нужно, чтобы 9 < К < 24. Следовательно, мы делаем вывод, что этот диапазон К соотпветпствуетп полюсам замкнутой системы, у которых вещественные части меньше — 1, как и требовалось. ППП 158 Глава 5. Анализ замкнутых 3!30-систем управления Мы видим, что решение уравнения (5.6.2) является одновременно и решением уравнения и т ь (в)+ ЛМ(в) = П(в — р;)+ ЛП(в — с;) = 0 (5.6.5) в=в в=1 До появления современных компьютеров метод корневого годографа , был важным инструментом, который позволял опытному пользователю определить, как один параметр (обычно коэффициент усиления регулятора) влияет на устойчивость и динамическое поведение замкнутого контура.
Сегодня корневой годограф любой системы легко получить с помощью удобного программного обеспечения типа МАТ1 АВ. Однако понимание основных принципов поведения корневого годографа все еще дает ценную информацию. Правила построения корневого годографа включают следующее: 1. Число корней уравнения (5.6.5) равно шах(т,п). Таким образом, корневой годограф' имеет шах(т,п) ветвей. 2. Из уравнения (5.6.2) следует, что во принадлежит корневому годографу Л > 0 тогда и только тогда, когда выполняется условие агяР(во) = (2й+1)к для й Е Ж. (5.6.6) 3. Из уравнения (5.6.2) следует также, что если во принадлежит корневому годографу, соответствующее значение Л, которое обозначим через Ло, будет равно — 1 Ло=— (5.6.7) Р(во) 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
