Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Точка на вещественной оси, во Е Ж, тогда и только тогда принадлежит корневому годографу (для Л > О), когда она расположена левее нечетного числа полюсов и нулей (что следует из (5.6.6)). 5. Когда Л близко к нулю, тогда и корней уравнения (5.6.1) располагаются вблизи полюсов Р(в), т. е. у рз, рз,...,рл, и если и ( т, оставшиеся т — и корней стремятся к бесконечности (более подробное исследование мы проведем ниже).
6. Когда Л стремится к оо, т корней уравнения (5.6.1) стремятся к нулям Г(в), т. е. к сг, сз,...,с и если п > т, оставшиеся и — т корней стремятся к бесконечности (более подробное исследование мы проведем ниже). 7. Если п > т и Л стремится к оо, то и — т корней стремятся к оо, приближаясь к асимптотам, пересекающимся в точке (г,О), где т~п тч~л р; — ~; ~с; (5.6.8) 5.6. Корневой годогрзф 159 Углы этих асимптот Оы пг,...,ц„н, определяются выражениями (2й — 1)к гуг = 1 и — гп В=1,2,...,и-т (5.6.9) 8. Если и ( т и Л стремится к нулю, то т — и корней стремятся к оо, приближаясь к асимптотам, пересекающимся в точке (о,О), где (5.6.10) Углы этих асимптот пм пз,..., гь„„определяются выражениями (2й — 1)к Ой = ! и — т й = 1,2,..., т — п (5.6.11) 9. Когда годограф пересекает мнимую ось, например, в точках з = ~угоо, тогда ю, можно вычислить либо используя алгоритм Рауса — Гурвица, либо учитывая тот факт, что за+ног делит нацело полином В(з) + ЛМ(з) для некоторого положительного значения Л.
С,(з) = (з — 1Нз+ 2) и С(з) =4— з (5.6.12) Мы хошим узнать, как изменяется расположение полюсов замкнутой системы при изменении,а в Ге+. Заметим сначала, что полюсы замкнугпого контура являнлпся корнями уравнения 1+4 з+ а з(зг. + з — 2) + 4з+ 4а — 0 = з(зг + з + 2) + 4а = 0 з(зг+з — 2) з(зг+з — 2) (5.6.13) После деления на з(за+ з+ 2) получим уравнение (5.6.2), если Л=4а и Р(з) = 1 (5.6.14) з(за + в+ 2) Если мы используем описанные выше правила, гпо получим следующее: 1. Корневой годограф имеегп три ветви (гп = 0 и и = 3).
4. Огприцательная чаешь вещественной оси принадлежигп годографу. 5. Для а близких к нулю, т. е. Л близких к нулю, корнями являюгпся полюсы Р(з), ш. е. значения 0,-0.5 х у0.5чГ7. Пример 5.9. Рассмотрим,обвекгп с передагпочной функцией Со(з) и регулятор обрашной связи с передаточной функцией С(з), где 160 Глава 5. Анализ замкнутых 8130-систем управления 1 3 н ао й -1 -3 -г -1 о ! г з Действительная ось Рис.
5.3. Годограф для полюсов замкнутого контура, когда изменяется нуль регулятора 7. Когда а'стремится к со, ш. е. когда Л стремится к оо, три корня стремятся к 'оо, следуя асимптотам, которые пересехаютпся на вещественной оси в тпочке (о,О), где о = — 1. Углы наклонов этих . 'асимптот — к, и/3 и 2к/3. Это означает, чтпо две ветви попадаютп в правую полуплоскость. 9. Характеристический полинам — за + а~+ 2з+ Л.
Когда две ветви пересехаютп мнимую ось, этот полинам должен нацело делишься на зг + ю~~, даваЯ частное з+ 1 с остпатпком (2 — шсг)з+ Л вЂ” юсг. Если мы приравняем остаток нулю, тпо получим юс = ~(2 и Л, = 2, Вытаеупомянутые правила позволяютп сделать эскиз корневого годографа. Его можно также получить, используя команду г1осив пакета МАТЮКАВ; результпатп показан на рис. 5.3. Мощная оболочка гаоо1 пакета МАТЮКАВ позволяетп провестпи разностпоронний анализ корневого годографа, включал изменение и добавление полюсов и нулей.
ППП 5.7. Определение номинальной устойчивости с помощью частотной характеристики Классический и давно используемый инструмент для оценки устойчивости замкнутых систем — теория устойчивости Найквиста. Здесь устойчивость замкнутой системы предсказывается по виду частотной характеристики разомкнутой' системы. Для этого изображается годограф 5.7. Определение номинальной устойчивости 161 а-плоскость а) б) Рис. 5.4. Функция с единственным нулем и анализ Найквиста произведения С,(э)С(е) и затем подсчитывается число охватов этой характеристикой точки ( — 1, 0). Ниже мы покажем, как это выглядит.
Сначала рассмотрим произвольную передаточную функцию Р(в) (не обязательно связанную с замкнутой системой управления). Теория устойчивости Найквиста основана на отображении одной комплексной плоскости в другую: ° плоскости независимой переменной в, ° плоскости зависимой переменной Р. Основная идея анализа устойчивости Найквиста состоит в следующем. Предположим, что имеется замкнутая ориентированная кривая С, в э-плоскости, которая охватывает Я нулей и Р полюсов функции г'(в). Предположим также, что нет никаких полюсов, непосредственно лежащих на кривой С,. Если мы будем перемещаться вдоль кривой С, в определенном направлении, то функция Р(в) отобразит кривую С, в другую ориентированную замкнутую кривую Ср на Г-плоскости.
Ниже мы покажем, что число охватов кривой Ср начала координат Р-плоскости определяется разностью Р и Я. Если Со(в)С(в) будет изменяться, мы можем наблюдать, как будут изменяться эти охваты или как близко мы находимся к их изменению. Впоследствии будет полезно вспомнить, что каждый охват переменной на комплексной плоскости начала координат по часовой стрелке (протвпв часоеой стрелки) приводит к тому, что аргумент переменной изменится на — 2я рад (2тг рад). Сначала рассмотрим случай простой функции Р(в) = в — с, когда с находится енутпрп области, охватываемой кривой С,. Это проиллюстрировано на рис.
6.4, а. 162 Глава 5. Анализ замкнутых 8!80-систем управления Тогда полное изменение аргумента Р(з) равно сумме изменений аргумента за счет сомножителей (з-с;) минус сумма изменений аргумента за счет сомножителей (з — рв). Это приводит к следующему результату. Рассмотрим функцию Р(а), заданную выражением (5.7.1) и замкнутую кривую С, в з-плоскости. Предположим, что Р(з) имеет Я нулей и Р полюсов внутри области, охваченной кривой С,. Тогда при перемещении параметра з вдоль кривой С, по часовой стрелке результирующая кривая Ср охватит начало координат Р-плоскости 2 — Р раз по часовой стрелке. Пока этот результат кажется довольно абстрактным; однако как мы намекали ранее, это имеет прямую связь с проблемой устойчивости замкнутой системы.
Конкретно, чтобы, использовать этот результат, рассмотрим специальную функцию Р(з), .связанную простым соотношением с передаточными функциями объекта С„(з) и регулятора С(з) разомкнутой системы: Р(з) = 1+ Со(з)С(а) (5.7.2) Заметим, что нули Р(а) являются полюсами замкнутой системы управления с единичной обратной связью.
Полюсы же функции Р(а) Видно, что при перемещении з вдоль кривой С, по часовой стрелке аргумент Р(а) изменяется на — 2я рад, т. е. кривая Ср охватит начало координат Р-плоскости один раз по часовой стрелке. На рис. 5.4,6 изображен случай, когда с находится вне области, охватываемой кривой С,. В этом случае аргумент Р(з) не изменит своего значения, когда а пройдет вдоль кривой С„ и, следовательно, никакого охвата начала координат Р-плоскости не произойдет.
Используя подобное рассуждение, мы видим, что для функции Р(з) = (з-р) т (где полюс р находится внутри области, охватываемой кривой С,) угол изменяется на +2я рад, когда з движется по часовой стрелке вдоль кривой С,. Это эквивалентно утверждению, что кривая Ср охватывает, начало координат Р-плоскости против часовой стрелки. Изменение аргумента нулевое, если р находится вне области, охватываемой кривой Ср,; это опять приводит к тому, что начало координат Р-плоскости не охватывается.
Рассмотрим теперь случай, когда Р(а) имеет следующий, более общий, вид: , ПЙп( — с;) (5.7.1) Пь"= ( -рь) ой устойчивости 1БЗ Рис. 5.5. Контур Найквиста являются полюсами обьекта и регулятора разомкнутой системы. Пред- положим, что функция Со(з)С(з) строго собственная, так что Р(з) в (5.7.2) удовлетворяет условию 1пп Р(з) =1 )в(-+ос (5.7.3) В контексте оценки устойчивости нас особенно интересует число полюсов замкнутой системы (если они есть), которые находятся в правой полуплоскости, поэтому мы выберем в качестве специальной кривой С, кривую, которая полностью охватывает правую полуплоскость (ППП) в з-плоскости по часовой стпрелке.
Эта кривая включает мнимую ось С; и кривую возврата С, (полуокружносгь бесконечного радиуса), как показано на рис. 5.5. Такая кривая С, называется контуром Найквиста. Далее определим замкнутую кривую Ср на Р-плоскости, которая получается при вычислении Р(з) для каждого з Е С,. Р(з) удовлетворяет уравнению (5.7.3), так что вся кривая С„стягивается в точку (1,0) на Р-плоскости. Таким образом, следует определить только отображение кривой С;, т.
е. нам нужно лишь изобразить часпюпттфю характиерисптпхр Р(ун) на Р-плоскости. Эта диаграмма для частотной характеристики называется диаграммой Найквиста. Мы выбрали Р(з) = 1+ С„(з)С(з) так, что нули Р(з) соответствуют полюсам замкнутого контура. Кроме того, мы видим, что Р(з) и Со(з)С(з) имеют одни и те же полюсы (полюсы разомкнутого контура). Видно также, что начало координат Р-плоскости соответствует точке ( — 1,0) С,С-плоскости.
Таким образом, диаграмма Найквиста для Р может быть заменена диаграммой для СоС просто путем подсчета 164 Глава 5. Анализ замкнутых 8130-систем управления охватов точки — 1. Основная теорема Найквиста, которая вытекает из предыдущего анализа, выглядит следующим образом: Теорема 5.1.
Если собственная передаточная фуюсция разомкнутой систпамы Са(з)С(з) имеетп Р полюсов в открытой ППП и ни одного полюса на мнимой оси, тпо замкнутый тсонтур имеет Я полюсов в описрытой ППП пюгда и только тогда, тсогда амплитуднофазовая характеристпика С,>(ун)С(альт) охватпывает точку ( — 1,0) по часовой стрелке Ф = Š— Р раз. Из этой теоремы можно сделать следующие выводы. ° Если система в разомкнутом состоянии устойчива, то для внутренней устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы не было никаких компенсаций неустойчивых полюсов и чтобы диаграмма Найквиста для Св(з)С(з) не охватывала точку (-1,0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
