Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 27

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 27)

° Если система в разомкнутом состоянии неустойчива и имеет Р полюсов в открытой ППП, то для внутренней устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы не было никаких компенсаций неустойчивых полюсов и чтобы диаграмма Найквиста для С,(з)С(з) охватывала точку ( — 1,0) Р раз против часовой стрелки. ° Если диаграмма Найквиста для С (з)С(з) проходит через точку (-1,0), то существует ьт„Е К, такая, что Р(уы„) = О, т.

е. замкнутая система имеет полюсы, расположенные точно на мнимой оси. Такая ситуация называется условием критической устойчивости (гранью устойчивостпи)в. Осталась еще одна важная проблема, а именно, как применить теорию Найквиста, когда имеются полюсы разомкнутой системы точно на мнимой оси. Основная трудность здесь может быть видна нз рис. 5.4 а. Если точка с расположена точно на,кривой С„то изменение угла вектора з — с невозможно определить. Чтобы разобраться с этой задачей, используется модифицированный контур Найквиста, как показано на рис. 5.6. Модификация показана для простого случая, когда имеется один полюс разомкнутой системы в начале координат. Контур Найквиста С, теперь состоит из трех составляющих: С„, С и См Окончательная замкнутая кривая Сн будет отличаться от предыдущего случая только тогда, когда з перемещается по Са.

Это— полуокружность радиуса е, где е — бесконечно малая величина. (Таким образом, охваченная область — все еще вся ППП за исключением бесконечно малого участка.) Используя анализ, разработанный выше, мы видим, что необходимо вычислить изменение угла вектора (з — р), когда з перемещается вдоль Сз 5.7. Определение номинальной устойчивости 155 Рис. 5.6. Модифицированный контур Нзйквиста при р = О.

Это дает +х рад, т. е. сомножитель з т отображает кривую Сь в полуокружность бесконечного радиуса с направлением по часовой стрелке. Чтобы определить число и направление охватов, необходимо рассматривать эти полуокружности бесконечного радиуса, потому что они являются существенной частью диаграммы Найквиста. Этот анализ может быть расширен, чтобы включить любое конечное число полюсов С,(з)С(з) на С,. Преобразованная форма теоремы Найквиста, приспособленная к вышеупомянутым изменениям, проиллюстрирована на рис. 5.6.

Сама же модифицированная теорема будет выглядеть следующим образом. Теорема 5.2 (Теорема Найквиста). Дана передатпочная функция разомкнутой систпемы Со(з)С(з) с Р полюсами в открытой ППП. Тогда замкнутпая систпама содержит Я полюсов в открытой ППП в том и тпольхо том случае, когда диаграмма С,(з)С(з) охватывает тпочку ( — 1,0) по часовой стпрелке Ф = Я вЂ” Р раз, когда з пераметцается тю модифицированному контпуру Найхвиста, Замечание 5.1. Чтобы использовать теорему Найквиста для оценки внутренней устойчивости, нужно иметь дополнительную информацию о шом, что между С(з) и Сь(з) не происходитп никакой компенсации неустойчивых полюсов. Это следуетп из того фактпа, чтпо тпеорема Найхвистпа применима только к произведению С„(з)С(з), в то время как внутренняя устойчивостпь зависитп тпахже от факта, чшо нет компенсации неустпойчивых полюсов и нулей (см.

лемму 5.1). 166 Глава 5. Анализ замкнутых 8)80-снстем управления 5.8. Относительная устойчивость: запасы устойчивости и максимальная чувствительность Мд — — -20 Ща() М,йф (5.8.1) (5.8.2) Таким образом, запас устойчивости по амплитуде определяет дополнительное усиление, которое приведет замкнутую систему в состояние критической устойчивости. Запас устойчивости по фазе определяет чистый фазовый сдвиг, который следует добавить, чтобы достигнуть того же критического состояния. Рисунок 5.7,5 дает другой показатель для относительной устойчивости. Сначала напомним, что вектор из точки ( — 1;О) к кривой СвЦм1)С(уьл) при ы = ю1 соответствует 1 + С,(уы1)С(уьн), т.

е. )ов(уш1)~ 1 (величине, обратной номинальной чувствительности). а.оы)СЦы) С~Цы)СЦы) в) б) Рис. 5.7. Запасы устойчивости и максимальная чувствительность При проектировании систем управления часто недостаточно только исследование устойчивости в замкнутом состоянии. В частности, обычно желательно получить некоторые количественные оценки того, как далеко номинальный контур управления находится от границы устойчивости, т. е. определить относительную устойчивость.

Это достигается введением количественных оценок, описывающих расстояние от частотной характеристики разомкнутой системы до критической точки (-1; О), определяющей устойчивость. На рис. 5.7 изображены два варианта показателей относительной устойчивости для случая, когда разомкнутая система не имеет полюсов в открытой ППП.

Рисунок. 5.7, а изображает запас устойчивости по амплитуде Мд и запас устойчивости по фазе Му, которые определяются следующим образом: 5.8. Относительная устойчивость 187 Диаграммы Боде Ю е и й чм ф -ча о. -ме 6 й гг -ме !е !а ' н' Частота (рад/с) и' Рис. 5.8. Запасы устойчивости на диаграммах Боде Таким образом, радиус т) окружности, касающейся характеристики Со(,уы)С(асс), есть величина, обратная максимуму номинальной чувстпеишедсности.

Чем больше максимальная чувствительность, тем ближе замкнутая система к границе устойчивости. Максимальная чувствительность — более компактный показатель относительной устойчивости, чем запасы устойчивости по амплитуде и по фазе. Предлагаем читателю найти пример, где запасы устойчивости по амплитуде и фазе достаточно велики, однако очень большая максимальная чувствительность предупреждает о необходимости более внимательно подойти к условиям устойчивости.

Обратное неверно: обеспечение нужной чувствительности подразумевает минимальные величины запасов устойчивости по амплитуде и фазе. Это точно описывается следующим соотношением: Му ) 2агсвш Я 2 (5.8.3) Запасы устойчивости могут быть также описаны и количественно оценены с помощью диаграмм Боде. Рассмотрим диаграммы Боде на рис. 5.8; здесь отр — частота, на которой амплитуда равна 0 дБ. Это позволяет вычислить запас по фазе Му, как показано на рис. 5.8. Вторая частота — ыр соответствует ситуации, когда фаза равна -180'. Это позволяет определить запас по амплитуде Мр, как показано на рис. 5.8. 168 Глава 5.

Анализ замкнутых 8180-систем управления 5.9. Робастность Пока мы только рассмотрели функционирование регулятора в номинальном замкнутом контуре, который включает номинальную модель объекта. Практически, однако, нас интересуют не только номинальные характеристики, но также и истинные характеристики, когда регулятор взаимодействует с истинным объектом.

Это — так называемая проблема «ошибкоустойчивости» (робастности). Ниже мы покажем, что номинальные чувствительности действительно сообщают нам кое-что относительно истинных или реальных чувствительностей. 5.9.1. Реальиые чувствительности Мы противопоставляем полученным ранее номинальным функциям чувствительности реальные (или истинные) функции чувствительности, когда регулятор С(з) взаимодействует с некоторой эталонной моделью С(з).

Такой подход приводит к следующим эталонным функциям чувствительности. где передаточная функция эталонной модели равна С(з) =— В(з) А(з) (5.9.5) В дальнейшем мы будем использовать термин «исп»имммй обеекпз» для эталонной модели, однако читатель должен вспомнить комментарии, сделанные в равд. 3.9, относительно возможных причин, почему эталонная модель не может описать истинное поведение объекта.

Заметим, что обычно С(з) ~ С,(з), так что Т, 4 Т и т. д. Трудность, которую мы рассмотрим позже, состоит в том, что С(з) обычно точно не известна. Таким образом, мы должны говорить относительно реальной чувствительности на основе только наших знаний о номинальной чувствительности и информации относительно вероятных ошибок модели. Это рассмотрено ниже. 5.9. Робастность 169 5.9.2. Робастиая устойчивость Обратимся к случаю, когда номинальная модель и истинный объект отличаются друг от друга. Тогда необходимо, чтобы в дополнение к номинальной устойчивости мы проверили, что устойчивость сохраняется, когда истинный объект управляется тем же самым регулятором.

Мы называем это свойство робастной устойчивостью. Достаточные условия того, чтобы контур обратной связи был робастно устойчивым, задаются следующим положением. Теорема 5.3 (Теорема о робастной устойчивости). Рассмотрим обвект с номинальной передаточной функцией С (з) и истпинной передатпочной функцией С(з). Предположим, чтпо С(з) — передатпочная функция регулятора, котпорый обеспечиваетп номинальную внутпреннюю устойчивость. Предположим также, что С(з)С(з) и С,(з)С(з) имеют одно и то же число неустойчивых полюсов. Тогда достатпочное условие устойчивости истинного контура обратпной связи, получаемого при взаимодействии регулятора с истинным обвектом, следующее: ~Т,ЦыЯСд(~ы)~ = ',, ~Са(уы)~ < 1 Жо (6.9.6) С,(уы) С(уы) 1+С.(у )СО ) где Са(уы) — частотная характеристика мультипликативной ошибки моделирования (МОМ).

Доказательство сц Рис. 5.9. Диаграммы Найквиста для номинального и истинного контуров ь т0 Глава 5. Анализ заыкнутых 8!30-снстеы управления Сначала вспомним, что, в соответстпвии с предположением, номинальный контур устойчив и что С(з)С(з) и С„(з)С(з) имеют одно и шо же число неуспьойчивых полюсов. Это означает, что реальный контур будет устойчив шогда и только тпогда, когда диаграмма Найквиста для С(уса)С(унт) охватпывает точку (-1,0) пьо же число раз (и в тном же направлении), чшо и диаграмма Найквиста для С„(уы) С(1ат). Мы тпакже имеем, чтпо (5:9.7) С(з)С(з) = С,(з)С(з) + С,(з)С(з) т.

Характеристики

Список файлов книги