Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 23
Текст из файла (страница 23)
4.1.2. Определите полосу пропускания системы. Задача 4.2. Передаточная функция системы имеет вид -в+1 зт'(з) = ( (4.16.2) Определите момент времени !„, при котором переходная характеристика достигает своего максимального перерегулирования. Задача 4.3. Переходная характеристика системы при нулевых началь- ных условиях равна ® 3 2е-гз е-зз 'й > 0 (4.16.3) 4.3.1. Определите передаточную функцию системы. 4.3.2. Определите реакцию системы на единичный Ю-импульс.
Задача 4.4. Нелинейная система имеет модель входа-выхода, заданную уравнением — +у(В) (1 — 0.2(у($)) ) =2и($) (4.16.4) 4.4.1. Определите передаточную функцию линеаризованной модели как функцию рабочей точки. 4.4.2. Найдите рабочую точку, для которой линейная модель неустойчива.
Частотные характеристики н преобразование Фурье 1. О!з!е$апо, Л., ЯтпЬЬегиг1, А., ап4 Ж!!!взпз, 1. (1976). Рзайасй апИ Соп!гз! Яуз!епм. МсОгаи-НН1, !чу Уог!г. 2. Раропйз, А. (1977). Я!упа! Апа!уз!я. МсОгаи-Н61, 1чеиг гог!с 3. !!У!!!епгз, 1.С. (1970). 3таЬ!!агу ФЛеогу о7' г!упатп!са! зуз!езпз. Хе1зоп, Ьопбоп. 136 Глава 4. Непрерывные сигналы и системы 4.5.1. Определите доминирующий полюс(ы). 4.5.2. Если коэффициент усиления на нулевой частоте равен 5, запишите передаточную функцию.
Задача 4.6. Передаточная функция системы имеет вид з+ 1+с (з + 1)(з + 2) (4.16.5) 4.6.1. Определите переходную характеристику. 4.6.2. Проанализируйте результаты для е Е (-1,1]. Задача 4.7. Модель входа-выхода системы имеет вид — + 7 — + 12у(1) = Зи($) азу(1) ануй) сМ~ сЮ (4.16.6) 4.7.1. Определите передаточную функцию системы. 4.7.2. Определите переходную характеристику при нулевых начальных условиях. 4.7.3. Повторите это же при начальных условиях у(0) = -1 и у(0) = 2.
Задача 4.8. Пусть преобразование Фурье сигнала Г'($) равно 7[У(1))=Р(у )= „„< ' (4.16.7) Покажите, что если Г" (с) — реакция системы на единичную ступеньку, то система беспричинная, т. е. система начинает реагировать до того, как приложен входной сигнал. Задача 4.9. Передаточная функция устойчивой линейной системы имеет вид ( ) -з+4 (4.16.8) Если вход системы и(1) = 2соз(0.51), найдите выходной сигнал в установившемся режиме. Задача 4.10. Определите сигнал у(1), который имеет преобразование Фурье г(,"тат) г з где об К 1 (4.16.9) ы2 + о2 Задача 4.5. Передаточная функция системы имеет полюсы -2, -2 и — 1 ~11 и нули, равные 1 и — 3.
4.16. Задачи для читателя 137 Задача 4.12. Рассмотрим функцию Г„(в) = 1 ( у'з)гл (4.16.10) 4.12.1. Найдите полюсы функции Е„(з). 4.12.2. Найдите устойчивую функцию Н„(в), такую, что Н„(в)Н„(-в) = Г„(з). Задача 4.13. Проанализируйте для ~3 Е К частотную характеристику АОМ и МОМ, если истинная и номинальная модели даны передаточными функциями ,6в+ 2 2 (в+1)(в+2) и ~о(з) (в+1)(в+2) (4.16.11) соответственно. Задача 4.14. Рассмотрим линейную систему с истинной моделью, заданной передаточной функцией г ~() () г 2 г (4.16.12) вг+ 2фшив+юг где 0 < тд < 1.
Определите МОМ для номинальной модели „г О(в) ~(~) г г (4.16.13) вг+ 2т~ ь~ в+ ~2 в следующих ситуациях: 1) атло = ати> но тд то тдо~ 2) Ф = Фо, тто отио Ф ~ои Задача 4.15. Рассмотрим структуру, показанную на рис. 2.7. 4.15.1. Найдите линейные преобразования 5(о) и У(о) такие, что структура дает устойчивую приближенную инверсию для системы, имеющей модель с'(з) = (в+4) (4.16.14) 4.15.2.
Найдите ошибку моделирования по отношению к точной инверсии. Задача 4.11. Определите преобразования Фурье следующих сигналов (если они существуют): ~т(8) = 2+ сов(2$) ~г($) = (2+ соз(28)) и(т) ~з(1) = д($) — д(1 — У) Ят) =е ~~сов(0.5$)д(1) Ят) =1е ' Ят) =ведя(1) Задача 4.16.
Рассмотрим следующие две передаточные функции: 0.250 вг+О 707з+О 250 (4.16.15) 0.0625 ' (4.16.16) в4+ 1 3066зз + 0.8536зз + 0 3266в+ 0.0625 4.16.1. Постройте диаграммы Боде для этих систем и проверьте, что каждая из них обладает свойствами фильтра низких частот. Вычислите полосу пропускания для каждого фильтра 4.16.2. Определите переходные характеристики для каждого случая и 'показатели, приведенные на рис. 4.3. Сравните и обсудите полученные результаты. Н1(в) = Нг(з) = (4.16.17) 4.17.1.
Для каждого случая определите полюсы системы. 4.17.2. Для каждого случая получите график зависимости модуля частотной характеристики от частоты. Определите характеристики фильтрации. 4,17,3. Используйте 81МСЫХК для получения переходной характеристики каждой системы. Задача 4.18. Найдите импульсную и переходную характеристики для следующих передаточных функций: 138 Глава 4.. Непрерывные. сигналы и системы Задача 4.17.
Рассмотрим следующие передаточные функции: С(з) = 1 вз+2з+1 10-в ~() †.. 0.1 — в за+ 2з+ 1 1 за + 0.2в+ 1 Прокомментируйте наблюдаемые различия. (4.16.18) (4.16.19) (4.16.20) (4.16.21) 4.16. Задачи для читателя 139 Задача 4.19. Вычислите установившуюся реакцию на единичную сту- пеньку для следующих систем: Задача 4.20. Переходная характеристика системы (первоначально на- ходящейся в покое) имеет вид: (4.16.24) Задача 4,21. (Инициирована вопросом коллеги из промышленности.) Переходная характеристика системы изображена ниже.
1.2 р о.о и о.о о.г о 0 0.1 02 0.3 Ов 0.0 О.В ОЛ О.В 0.0 1 ВРемЯ (О) Рис. 4.11. Переходная характеристика Как может получиться, что мы можем иметь перерегулирование на переходной характеристике без каких-либо колебаний? Как вы думаете, какую форму имеет модель? Задача 4.22. На рнс. 4.12 показано параллельное соединение двух систем. У(о) 1 С(в) = вв+ Звг+ Зв+ 1 02+ 2в вв+ Звг+ Зв+ 1 Прокомментируйте наблюдаемые различия.
у($) =1 — О.бе ' — О.бе ~' Какой передаточной функцией обладает система? Рис. 4.12. Параллельное соединение двух систем (4.16.22) (4.16.23) 140 Глава 4. Непрерывные сигналы и системы 4.22.1. Какова передаточная функция от и до р? 4.22.2, Каковы полюсы системы? 4.22.3. Каковы нули системы (если оии есть)? 4.22.4. Вычислите переходную характеристику системы и прокоммеитируйте результат.
Введение В предыдущей части книги говорилось о моделях систем. Это элементы, в терминах которых инженер по системам управления осмысливает контур управления. Теперь мы сосредоточим наше внимание на свойствах самого контура управления. В частности, мы обратимся к проблемам чувствительности, устойчивости и синтеза контура управления. Эти кирпичики проектирования и будут основной темой следующей части книги. 144 Глава 5.
Анализ замкнутых 3)30-систем управления в хл,(о) пауз) Рис. 5.1. Простая система управления с обратной связью связь может сделать устойчивую систему неустойчивой, добавить колебательность в ранее гладкую реакцию или привести к увеличению чувствительности к шуму измерения. Начнем анализ систем с обратной связью с линейной 31ЯО-системы, показанной на рис. 5.1.
Первоначально рассмотрим так называемый номинальный конптур, т. е. влияние регулятора, взаимодействующего с номинальной моделью в контуре обратной связи; позже, в равд. 5.9, мы вернемся к влиянию ошибок моделирования, которые возникают, когда регулятор взаимодействует с реальной системой, а не с моделью. В контуре, показанном на рис. 5.1, мы используем передаточные функции и преобразования Лапласа, чтобы описать отношения между его сигналами. В частности, С(в) и 0 (в), обозначают передаточные функции регулятора и номинальной модели объекта соответственно, которые могут быть представлены в виде дробей: (5.2.1) (5.2.2) где Р(в), Ь(в), Во(в) и А,(в) — полиномы от в. В(в), У(в) и У(в) обозначают преобразования Лапласа уставки, управляющего сигнала и выхода объекта соответственно; Р;(и), Р,(в) и Р (в) обозначают преобразования Лапласа возмущения, приложенного к входу объекта (в дальнейшем для простоты будем называть входным возмущением), возмущения, приложенного к выходу объекта (также для простоты будем называть его далее выходным возмущением) и шума измерения соответственно.
Используем также х, для обозначения начальных условий модели. 5.2. Структуры систем с обратной связью 14$ Между переменными на рис. 5.1 имеются следующие соотношения: У(в) = 6о(з) Йз) + Ро(в) + Со(з)Рт(з) + (5.2.3) Ао(з) Цз) = С(в)В(в) — С(в)У(з) — С(з)Р„,(з) (5.2А) = С(з) В(з) Рта(в) — Со(з)Н(з) — Ро(в) — Со(в)Рт(в) — ) Пз,*.) ~ о(в) (5.2.5) 1 С()С()~ А ) (5.2.6) и У(')=1 д ( )С( ) ~Со(в)С(в)Я(в) — Р~(в))+Р,(в)+Со(в)Рт(в)+ 1 2 (з,з,) ) А(в) ~ (5.2.7) Конфигурация замкнутой системы, показанной на рис. 5.1, называется структурой с одной сшепенью свободы. Этот термин отражает тот факт, что есть только одна степень свободы, доступная для формирования передаточных функций от В(в) и Р„,(з) к У(в) и от Р,(з) и Р;(в) к У(в).
Следовательно, если передаточная функция регулятора С(з) спроектирована таким образом, чтобы получить конкретную связь эталонного сигнала и реакции системы, например, У(з) Со(в)С(з) зь(з) 1 + Со(з) С(в) (5.2.8) тогда это приводит к однозначной реакции на выходное возмущение: У(в) 1 Р,(в) 1+ С,(з)С(з) (5.2.9) без какой-либо возможности ее скорректировать.
Однако часто желательно иметь возможность формировать реакцию на эталонный сигнал и возмущение отдельно. Это достигается структурой с двумя стлепенями свободы, как показано на рис. 5.2. Первая степень свободы — регулятор обратной связи С(в), а Н(з) — вторая степень свободы, представляющая собой устойчивую передаточную функцию, которая иногда называется фильтром уставки или эталонным фильтром.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
