Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Ясно, что второй член правой части равенства (4.9.3) уменьшается до нуля, если система устойчива. Далее заметим, что втп(ьтт) = —,(ет — е ~ ) 1 2у' (4.9.4) Следовательно, реакция системы на гармонический входной сигнал (частотная характеристика) может быть вычислена объединением реакции на е" с ао = уы и е" с ао = — альт. Заметим, что вычисление Н(в) при а = тот дает комплексную величину, которая может быть представлена амплитудой и фазой в полярных координатах: Н(т'от) = (Н(унт) 1етит~т (4.9.5) Тогда установившаяся реакция на гармонический входной сигнал получается из (4.9.3), (4.9.4) и (4.9.5): 1 9($) = —, ~НЦто)ет — Н( — унт)е У т 2у 1 = —, ~1Н(~' ИФ '+тц И вЂ” !Но )!~-Я '+4~ )] 2у ~ =Ф(у )~зтп( 1+4( )) (4.9.6) (4.9.7) (4.9.8) и пусть входной сигнал системы зкспоненциальный — е'т, Для простоты мы предположим, что полюсы различны и что ни один из них не равен а,. Тогда преобразование Лапласа реакции системы можно вычислить, используя декомпозицию с помощью дробно-рационального разложения: 112 Глава 4.
Непрерывные сигналы и системы Таким образом, мы делаем следующий вывод: Гармонический входной сигнал вызывает гармонический выходной сигнал той же частоты. Кроме того, амплитуда выходного сигнала изменяется по отношению к амплитуде входного сигнала на множитель, равный модулю частотной характеристики Н(~от), а фаза сдвигается на величину, равную фазе Н(у'ьт).
Интересное наблюдение: если Н(т)о) известна по крайней мере для д различных частот, отличных от нуля, где о = 1 + часть целого числа 1(т + и)/2], тогда характеристика Н(з) однозначно определена для всех других частот. Замечание 4.3. Если систпема содержит запаздывание, то естпь если передапючная функция изменена таким образом, чтпо Н( ) = ' '= ' (4 9.9) зп+ ~~~~~ ~ а„за то может быть доказано, что уравнение (4.9.8) будетп иметпь вид у й) = ~НЦ ))в1 ( 1+ф( ))» ~~~ С ехьр г) ес т 1)т и х т- (4 9.10) где ф(ьт) теперь включает дополнительное слагаемое -ты. Последнее слагаемое в (4.9.10) определяется собственными движениями, а констпантпы Ст, зависят от начальных условий.
ППП Частотная характеристика — очень полезный инструмент для всех аспектов анализа, синтеза и проектирования регуляторов и фильтров. Из-за их важности используются специальные графические характеристики. Они обычно изображаются или в форме графиков амплитуды и фазы (обычно называемыми диаграммами Боде) или в форме годографа (обычно называемым годографом Найквиста).
Более подробно о годографах Найквиста будет сказано в гл. 5. Поэтому здесь мы о них говорить не будем. Сейчас же кратко рассмотрим диаграммы Боде. 4.9.1. Диаграммы Боде Диаграммы Боде состоят из пары графиков. Один из них изображает модуль частотной характеристики как функцию угловой частоты; другой изображает аргумент этой же характеристики', тоже как функцию угловой частоты.
Обычно диаграммы Боде изображаются в специальных осях: 4.9. Частотная характеристика 113 ° Ось абсцисс линейна относительно 1я(ы), где используется десятичный логарифм. Это дает компактное представление частотной характеристики в широком диапазоне частот. Единица на этой оси— декада, где декада — расстояние между ыт и 10ыт для любого значения шь ° Модуль частотной характеристики измеряется в децибелах дБ, т. е. в единицах 201я ~Н(уи) ~. Это имеет ряд преимуществ, включая хорошую точность для малых и больших значений ~Н(ую)~, возможность получать простые аппроксимации для 2019~Н(ую)~ и 'тот факт, что частотная характеристика системы из последовательного соединения элементов может быть получена суммированием частотных характеристик отдельных элементов. ° Фазовый сдвиг измеряется в линейном масштабе в радианах или градусах.
Пакеты программ типа МАТ1 АВ содержат специальные команды для вычисления частотных характеристик и построения диаграмм Боде. Однако некоторые простые правила позволяют делать приближенный набросок амплитудной и фазовой характеристик. Рассмотрим передаточную функцию в следующем виде: Н(,) К П*= (Р*'~М) (4.9.11) ьП;= (ся +1) Тогда 201я~Н(оси)! = 2019(~К~) — 20ИбЦ+~201к ~Душ+ Цв т=1 201я ~сады+ Ц (4.9.12) и1 и 1(Н(уо)) = ~(К) — й-+ ,') ~(Дую+1) — ,'~ ~(аДш+1) (4.9.13) 2 а=1 з~т Таким образом, мы видим, что диаграмма Боде любой передаточной функции может быть получена сложением или вычитанием амплитуд (вдБ) или фаз отдельных простых сомножителей.
При этом нужно учесть следующее: е Простое усиление К имеет постоянную амплитудную и фазовую характеристики Боде. Амплитудная характеристика — горизонтальная линия, имеющая значение 201я~К~ дБ, а фазовая характеристика— горизонтальная линия либо имеющая значение 0 рад (когда К Е И+ ), или я рад (когда К Е Ж ).
114 Глава 4. Непрерывные сигналы и системы ° Сомножитель з" имеет амплитудную характеристику, которая является прямой линией с наклоном, равным 20Й дБ/дек и постоянную фазовую характеристику, равную 1гк/2. Первая из этих линий пересекает горизонтальную ось (О дБ) при го = 1. ° Сомножитель аз+ 1 имеет амплитудную характеристику, которая может быть асимптотическн приближена следующим образом: о Для ~аго) (( 1, 20 18 (ауге + Ц = 20 1я(1) = 0 дБ — то есть для низких частот, эта амплитудная характеристика †горизонтальн линия.
Она называется низкочастотной асимпгпотой. о Для (аго~ )) 1, 20!я~ауге + Ц = 2018(~аго~) — то есть для высоких частот эта амплитудная характеристика — прямая линия с наклоном 20 дБ/дек, которая пересекает горизонтальную ось (О дБ) на частоте го = ~а~ '.
Она называется высокочастогпной асимпгпоптой. о Фазовая характеристика более сложна. Грубо говоря, она изменяется примерно в диапазоне двух декад. На декаду левее частоты ~а~ г фаза примерно равна нулю. На одну декаду правее частоты )а( ~ фаза примерно равна з1яп(а)0.5к рад. Соединяя точки (О.Ца~ ~,0) и (10(а! ~,0) прямой линией, получим на частоте го = (а( г значение фазы з18п(а)0.25к. Это довольно грубое приближение. ° Для а = аг+уаг фезовая характеристика Боде для сомножителя аз+1 соответствует аргументу комплексного числа с вещественной частью 1 — ьгаг и мнимой частью атш Пример 4.8. Рассмотрим передаточную функтгию Н(з) = 640 (з+ 4)(з+ 8)(з+ 10) (4.9.14) Чтобы изобразить асимптотическое поведение характеристик, сначала предстпавим Н(з) в форме уравненил (4.9.11); это дасгп Н(з) — 2 (0.25з + 1) (0.125з + 1) (0.1з + 1) (4.9.15) Таким образом, мы имеем один постпоянный сомножитель (К = 2) и четыре сомножителя глина аз+ 1.
Используя правила, описанные выгае, мы получаем асимптотическую амплитудную характеристику и асимпгпотическую фазовую характерисгпику. Обе они показаны на рис. 4.7 вместе с гпочными диаграммами Боде. 4.9. Частотная характеристика 115 ~о х о и и й -1о и Р ~ -го -оо, 1о' 1о' -оо о й е -!Оо -гоо и' 1о' 1о' 1о' Частота (род/с) Рис.
4.Т. Точные (толстые линии) я асимптотические (тонкие линии) диа- граммы Боде Замечание 4.4. Хотя в недалеком прошлом существенные усилия затрачивались на построение асимптотпических приближений описанного выше типа, появление мощных пакетов программирования сделало их не особенно вазтсными. Тем не менее, фундаментальное понимание воздейстпвия полюсов и нулей на характеристики Боде часто дает ценную информацию для инженера по системам управления.
4.9.2. Фильтрация У идеального усилителя частотная характеристика (НЦьт) = К) была бы постоянной для любых частот, то есть каждая частотный компонент пройдет через систему с одним и тем же коэффициентом усиления и без каких-либо фазовых сдвигов. Однако все физические системы и устройства имеют конечную скорость, с которой они могут реагировать на воздействия и это в первую очередь подразумевает, что Н(уы) не может быть постоянной для всех ы. Один из способов интерпретировать тот факт, что НЦсо) не равна константе для всех ы, состоит в том, что система фильтруетп входные сигналы различных частот, чтобы получить выходной сигнал, то есть система поступает с различными гар- 116 Глава 4.
Непрерывные сигналы и системы моническими компонентами селективно в соответствии с их частотами. В этом контексте обычно выделяют три набора частот: ° полоса проиускаиия, в которой все частоты передаются через систему приблизительно с одним и тем же усилением (или затуханием) и с фазовым сдвигом, примерно пропорциональным ы; ° полоса подавления, в которой все частоты подавляются, значение ~Н(уы)! здесь мало по сравнению со значением )Н(уы)) в полосе пропускания; ° переходная полоса(ы) является промежуточной между полосой пропускания и полосой подавления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
