Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 16
Текст из файла (страница 16)
92 Глава 4. Непрерывные сигналы и системы Таблица 4.1 Таблица преобразований Лапласа Г(с) (с > о) С (Г(с)) Область сходимссти Предлагаем читателю проверить следующий ключевой результат (см. табл. 4.2) относительно преобразования производной от функции: Е ~ — ~ =аУ(а) — у(0 ) Ыу(1) ) ~а~ (4.4.1) где Е[у($)] = У(а). Этот результат можно использовать для преобразования дифференциальных уравнений в алгебраические относительно переменной а.
4.4. Преобразование Лапласа. Свойства и примеры 93 Таблица 4.2 Свойства преобразования Лапласа у(с) су(с)1 Названия Линейная комбинация ~ ас,гс(с) с=1 ду(г) ас асрс(з) зУ(з) — у(0 ) Закон дифферен- цирования Производная произвольного порядка 1"у(г) дга - а 1, 111 у(г) с=1 11-1 с=о- с у(т)дт у(с — т))с(г — т) 1 -У(з) е-итУ(з) сП'(з) Ф гс( У(з) Иза Р1 (з)рг(з) Закон интегриро- вания Задержка гу(1) гву(г) / ,11 (т) 1г (с — т) йт о- Свертка Теорема о конечном значении 1пп у(г) йт зУ(з) Теорема о начальном значении 1пп у(с) 1цп зУ(з) 8-Ф со Произведение во временной области с с+Эсо ° / Р1 (0Рг (з О~К 2 г,/.,„ Рс (з — а) Л (г) уг (8) еасЛ(1) Сдвиг частоты ОбозначениЯ: К(з) = Е [гс(с)]; У(з) = Е [У(г)]; Й Е (1,2 3,...) н Л(г) = Ь(г) = О 'й < О. Проиллюстрируем зто примером.
згО(з)+2з6(з) — (з+2)д(0 ) — В(0 ) = тв(з) (4.4.2) Пример 4.1. Рассмотрим задачу с двигатпавгм постоянного тока, оттсанную в примере 3.4. Пусть, для примера, а1 = 2, Ьо = 1. (Заметим, что в этом примере ао = О.) Тогда, используя (4.4.1) и взяв преобразо- вание Лапласа модели, получим 94 Глава 4. Непрерывные сигналы и системы Пусть начальные условия д(0 ) = О, д(0 ) = 0 и входной сигнал— единичное ступенька, приложенная в момент 1 = О. Тогда (4.4.3) (4.4.4) Раскладывая на просгпейшие дробит, получим 1 1 1 0(з) = + — —— 4(з+ 2) 2зг 4з (4.4.5) 4.5. Передаточные функции 4.5.1. Модели в виде дифференциальных уравнений произвольного порядка Рассмотрим снова модель в виде линейного дифференциального урав- нения произвольного порядка (4.2.1).
Использование преобразований Лапласа переводит дифференциальное уравнение в следующее алгеб- раическое уравнение: з" У(з) + а„та" У(з) +... + аоУ(з) и- П(з)+ ° "+Ь щ )+Ых ) (45.1) где Г" (з, х,) обозначает функцию, зависящую от начальных условий.
В случае нулевых начальных условий мы имеем (4.5.2) У(з) = а(з)ьг(з) т Используя команду гевыпе пакета МАТЬАВ. Следовательно, используя резульгпаты из табл. 4.1, реакция на выходе для 1 > 0 будет д(с) = — е + — 1 —— -гт 4 2 4 (4.4.6) ППП 4.5. Передаточные функции 95 где С(з) =— В(в) .4(в) (4.5.3) А(в) во+пи тзн-1+ +ао В(в) =5„1в" +5„з" ~+ +5в (4.5.4) (4.5.5) С(з) называется передаточной функцией. Представление (4.5.3) очень полезно для проникновения в суть различных вопросов проектирования систем управления.
Пример 4.2. Передапточная функция дяя систпемы в примере 4.1 равна 2 1 (4.5.6) 4.5.2. Передаточные функции для непрерывных моделей в пространстве состояний Мы можем использовать преобразование Лапласа для решения диффе- ренциальных уравнений, получаемых из модели пространства состоя- ний. Использование преобразования Лапласа в (3.6.5) и (3.6.6) дает зХ(в) — х(0) = АХ(з) + ВУ(з) У(з) = СХ(з) + 1ЭУ(в) (4.5.7) (4.5.8) н, следовательно, Х(з) = (в1 — А) ~х(0) + (в1 — А) ~ВУ(в) (4.5.9) У(в) =1С(з1 — А) ~В+ав]У(з)+С(з1 — А) ~х(0) (45.10) Фактически, эти уравнения могут быть использованы для получения формул решения модели пространства состояний.
В частности, уравнение (3.7.7) может быть получено, используя обратное преобразование Лапласа и, учитывая что (4.5.11) У(з) = С(в)У(в) С(з) =С(в1-А) 'В+Р (4.5.12) (4.5.13) Таким образом С(в) — передаточная функция системы. Мы видим, что при нулевых начальных условиях преобразование Лапласа выходного сигнала У(в) связано с преобразованием Лапласа входного сигнала У(з) следующим образом: 96 Глава 4. Непрерывные сигналы и системы С(з) = С(з1 — А) 'В 1 (з2 — Ь2) М з2(з2 — а2) (4.5.14) (4.5.15) ПОП Определим некоторые термины, используемые в связи с передаточными функциями. Рассмотрим передаточную функцию, данную уравнениями (4.5.3)- (4.5.5). Для простоты будем пока считать, что В(з) и А(з) не имеют одновременно нулей для одного и того же значения з.
Пусть также степени А(з) и В(з) равны и и гп соответственно. (Это положение будет далее в гл. 17 разъяснено в связи с управляемостью и наблюдаемостью.) При этих условиях определим следующие термины. 1. Корни уравнения В(з) = О называются нуллми системы. 2. Корни уравнения А(з) = О называются полюсами системы. 3. Если уравнение А(з) = О имеет пг корней при з = Лы то говорят, что полюс Лг имеет краганосгпь пм 4. Различие в степенях полиномов А(з) и В(з) называется относигпельной степенью.
5. Если т < и, мы говорим, что модель строго собственная. Это означает, что относительная степень положительна. 6. Если т = и, мы говорим, что модель бисобственная. Это означает, что относительная степень нулевая. 7. Если ш < и, мы говорим, что модель собственная. 8. Если т ) и, мы говорим, что модель несобственная (или имеет отрицательную относительную сгпепень). Замечание 4.1. Реальные сисгпгмы почши всегда строго собственные.
Однако некоторые методы проектпирования регуляторов приводят к бисобственным или даже к несобственньдм передагпочным функциям. Чтпобы быть реализуемыми, зти регуллторы обычно делаюгасл бисобственными, например, дополнял А(з) сомножителями типа (стдз+1), где сц к г1+. Замечание 4.2. Часто реальные системы имеют запаздывание между входным и выходным сигналами. Это обычно связывается с транспоргаировкой вещества из одной шочки в другую. Например, если Пример 4.3. Рассмотрим снова перевернутый маятник из гл. 3. Ьсяи мы хошим получить передаточную функцию от У к У, то 4.5.
Передаточные функции о7 имеется лента конвейера или труба, соединяющая риличные части обеектпа, то это непременно введет запаздывание. Передаточная функция чистпого запаздывания имеет следующий вид (см. табл. 4.2): Н(з) =е 'Т' где Тд — постоянная запаздывания (в секундах). Тд обычно изменяется с изменением скорости тпранспортпировки. Пример 4.4 (Система нагревания). В качестве простпого примера системы, имеющей чистпое запаздывание, рассмотрим систему, пока- занную на рис. 4.1.
Мотор Пропеллер Рис. 4.1. Система передачи тепла Передаточная функция от входа (напряжение, прикладываемое к нагревательному элементу) к выходу (температура, измеряемая термопарой) примерно равна К -ать е (те+ 1) (4.5.17) Заметим, что К, Тд и т зависят от скорости вращения пропеллера, которая изменяетп время транспортировки от нагреватпеля к измеряемому выходу, а также от различных коэффициентов передачи тепла. Хотпя это очень простой пример, модель, заданная форм улой (4.5.17) чрезвычайно распространена в приложениях. ППП Наши выводы относительно передаточных функций могут быть суммированы следующим образом: Передаточная функция описывает свойства системы от входа к выходу в алгебраической форме.
98 Глава 4. Непрерывные сигналы и системы 4.6. Устойчивость передаточных функций Р па р У(з) = С(з)сг" (з) + ~~т ~~т ь=тв=т (4.6.1) где каждый Д; является функцией начальных условий и где, для полноты, мы считаем, что каждый полюс при з = Аь имеет кратность пь. Это последнее предположение подразумевает что пт+пг+".+пр — — п. Мы говорим, что система устпойчива, если любой ограниченный входной сигнал вызывает ограниченный же выходной сигнал при всех ограниченных начальных условиях.
В частности, мы можем использовать разложение на сумму рациональных дробей, чтобы разбить всю реакцию системы на отдельные реакции, связанные с каждым полюсом. В этом случае мы видим, что устойчивость требует, чтобы полюсы имели строго отрицательные вещественные части: они должны быть в открытой левой полуплоскости (открытой ЛПП) комплексной плоскости (далее мы часто будем называть комплексную плоскость з-плоскостью). Это также говорит о том, что'для непрерывных систем граница устойчивости — мнимая ось. Пример 4.5.
Рассмотрим систему примера 4.1. Полюсы этой передаточной функции — -2 и О. Они не лежат в открытой левой половине комплексной плоскостпи (О находится в замкнутой левой половине комплексной плоскости). Таким образом, система не устпойчива. Действитпельно, читатель может проверить, что постполнный входной сигнал, отлличный от нуля, приведет к неограниченно возрастающему выходному сигналу. 4.7.
Реакция линейных систем на импульсные и ступенчатые сигналы Особый интерес в изучении линейных систем представляет реакция на дельта-функцию Дирака (импульсная характеристика). Ее можно рассматривать как предел при Ь -+ О импульса, показанного на рис. 4.2. Преобразование Лапласа дельта-функции Дирака равно единице (см. табл. 4.1). Следовательно, если бы мы могли приложить такой входной сигнал к системе с нулевыми начальными условиями, тогда реакция Мы выше показали, что реакция системы, имеющей передаточную функцию С(з), имеет вид: 4.7. Реакция линейных систем на импульсные и ступенчатые сигналы 99 системы будет просто У(з) = С(в)У(в) = С(з). Мы можем подытожить эти наблюдения следующим образом: Рнс.
4.2. Дискретный импульс Из-за идеализации, неявно заложенной в определение рассмотренного выше импульса, более приемлемо изучать динамическое поведение системы при ступенчатом воздействии, то есть когда У(з) = 1/з. Это приводит к так называемой переводной характеристике (реакции на ступеньку) 1'(в) =С( )- 1 (4.7.1) Применение предельной теоремы (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
