Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 13
Текст из файла (страница 13)
(3.6.1)) часто, облегчает численные решения различных задач управления. Это особенно верно в линейном случае, где существенные усилия были посвящены мощным цифровым методам решения этих задач управления. Мы посвятим гл. 17 более глубокому рассмотрению линейных моделей пространства состояний. Здесь же мы даем краткий обзор.
3.6. Модели пространства состояний 7т — = Ах(т) + Вн(1) Ых(г) ~й у(1) = Сх(т) + Ои($) (3.6.5) (3.6.6) где А, В, С и Р— матрицы соответствующих размерностей. Проиллюстрируем вышесказанное построением модели пространства состояний для электрической цепи. Пример 3.3. Рассмотрим простую электрическую цепь, показанную на рис. 3.1. Предположим, что мы желаем смоделироватпь напряжение о(1). Рис. 3.1.
Электрическая цепь — модель пространства состояний Применял основные законы электрических цепей, получим следующие уравнения: о(1) =Ь— й(т) а'г У() () =Ф)+с ()+ () (3.6.7) (3.6.8) Эти уравнения могут быть преобразованы в следующие: (3.6.9) (3.6.10) Уравнения (3.6.9) и (3.6.10) имеют форму векторных уравнений (3.6.1), если в качестве переменных состояния выбрать хт(Ф) = т'(Ф) н хг(Ф) = о(Ф), т. е. вектор состояния имеети вид х(Ф) = [хт(1) хз(1))~ . Говорят, что система инвариантна по времени, если реакция на сдвинутый по времени вход просто является сдвинутой по времени исходной реакцией, т.
е. если вход ит(в) (тй Е К) вызывает реакцию дт(1) (т( Е Ж), то вход нг($) = ит($ + т) (И Е И) вызывает реакцию дз($) = дт(Ф+ т) (т'1 Е К). В линейном, стационарном (инвариантном по времени) случае, уравнения (3.6.1) и (3.6.2) будут 3.7. Решение непрерывных моделей пространства состояний 73 хс($) = В(3) х,(г) = д(4) (3.6.16) (3.6.17) Модель (3.6.15) можетп быть переписана в виде: с(г хг(с) 6 Ж хг(т) Ь (3.6.18) Это кажется очень простым, однако читпатель может быть удивлен, как часто простпые сервомоторы типа, показаккого ка рис.
3.2 испавьзуютпся ка практпике. Оки — осковкой элемент многих следящих систпем и роботов. 000 3.7. Решение непрерывных моделей пространства состояний Поскольку модели пространства состояний описываются системой дифференциальных уравнений первого порядка, их относительно легко решить. Ключом к нахождению решения уравнений состояния является экспокект(иалькая матприца, определенная как ОО еА' = 1+ — Асгс сс сжс (3.7.1) Это утверждение может быть проверено прямой подстановкой (3.7.2) в (3.6.5).
Чтобы выполнить необходимое дифференцирование, заметим, что ( Ас — = Аеяс = еАсА (3.7.3) ссс а также напомним правило Лейбница: д гг(с) ег(С) и — / Н(с, т)дт = Н(с,д(с))д(т) — Н(й, „с (й))7(й) + )с — Н(с, т)бт «см ~ ™ „су(с) дс (3.7.4) Мы можем легко преобраэоватпь этпу модель в пространство состпоякий, вводя 74 Глава 3. моделирование Использование (3.7.4) и (3.7.3) в (3.7.2) дает гв х($) Аеде-и)хо + Ви(1) + А/ едО т)Ви(т)дт е. = Ах(1) + Ви(й) (3.7.5) (3.7.6) Заметим, что решения для состояния (3.7.2) и для выхода (3.7.7) состоят из двух членов каждое, а именно, реакции на начальные условия х«и принудительной реакции, которая зависит от входа и($) в интервале (в„, 8).
Приглашаем читателя проверить, что принцип суперпозиции справедлив для результата, данного в (3.7.7). Мы будем использовать модели пространства состояний в частях 1-П1 этой книги достаточно редко. Однако всякий раз, когда это удобно, мы будем делать побочные комментарии, чтобы показать, как различные результаты имеют отношение к этим моделям. В частях же Ч вЂ” ЧП1, где представлен более продвинутый материал, мы будем использовать модели пространства состояний часто, потому что они упрощают многие представления.
3.8. Модели с дифференциальными и разностными уравнениями произвольного порядка Альтернативной моделью, которая часто используется, является дифференциальное уравнение произвольного порядка, которое непосредственно связывает входы с выходами. Эти модели обычно называются моделями входа — выхода. В случае непрерывного времени эти модели имеют форму 1 „,", (й), „д,",и(1) =О (3.8.1) где 1 — некоторая нелинейная функция. Простой пример такой модели дан уравнением (3.6.15). как и утверждалось. Заметим, что если и($) = О ~й > Фв, то матрица едО ) определяет переход от х(т) к х(в) ~й > т.
Этот вывод объясняет название «матприца переходов», которое обычно дается матрице ел~. Выход модели у(1), полученный из (3.6.6) и (3.7.2), будет у(1) = Седр в )х, +С 1 ело )Ви(т)дт+Ри(в) (377) lс. 3.9. Ошибки моделирования 75 Аналогично для дискретного случая мы можем написать тп (у[й+ и], у[й+ и — 1], ".,у[й], и[й+ и — 1], ".,и[й]) = О (3.8.2) 3.9. Ошибки моделирования Мы говорили ранее, что модели для реальных процессов неизменно содержат некоторый уровень приближения. Желательно, если возможно, включать знание степени приближения в процедуру проектирования. Пусть истинный объект и его номинальная модель описываются, соответственно, формулами у=д(и) у.
= до(и) (3.9.1) (3.9.2) где д и д, — преобразования общего вида (см. разд. 2.5). Так называемая аддитпивная ошибка моделирования (АОМ) в этом случае определяется преобразованием д,: у=у +де(и) (3.9.3) Сложность с АОМ заключается в том, что она не нормирована параметрами номинальной модели. С другой стороны, преимуществом так называемой мультипликативной ошибки моделирования (МОМ) дл является то, что она определяется следующим образом у = до(и+ да(и)) (3.9.4) Пример 3.5.
Пусть выход обеектпа точно описывается формулой у = 7(вас~(и)) (3.9.5) вде ~(о) — линейное преобразование, а вас означаетп оператпор а-насыщенияс ст х(с) > ст ваФ (х) = х ]х(с)] <ст — св х(с) < — ст (3.9.6) Если номинальная модель выбрана на основе соотаношения д„(о) = ,т(о) (т. е. не учитываетася насыщение), следует определитпь аддитивнуто и мультипликативную ошибки.
где тп — нелинейная функция и где мы используем обозначение (у[й]) для задания последовательности (у[й]: й = О, 1,...). Мы опишем этот вид модели более детально в гл. 4. 76 Глава 3. Моделирование Алдитивиая ошибка моделирования Мультилликативиая ошибка моделирования Рис. 3.3. АОМ я МОМ для насыщения Решение у =.Г" (и+ за~а(и) — и) = Г" (и) + 7" (еаФо(и) — и) = у(и)+д,(и) = у(и+заФ (и) — и) =У(и+да(и)) (3.9.7) АОМ и МОМ в этпом случае иллюстприруютпся рис. 3.3., ППП Конечно, точные ошибки модели редко известны, поскольку сам истинный обьект точно ие известен. Однако некоторую информацию относительно величины ошибок можно было бы получить. Обычно зто выражается в терминах граничных оценок АОМ и МОМ между номинальной моделью и некоторой другой (более сложной) эталонной моделью.
Например, мы могли бы дать зто описание в виде: Йда)) ( е, где (! о (! — соответствующая норма. Поскольтеу у' — линейное преобраэование, тпо оно являетпся дисшрибу- тпивным и вддитпивным. Следовательно, выход обеектпа Здэ. лииеаризация 77 3.10. Лииеаризация х(1) = Дх(3), м($)) Ы1) =й( Р),пй)) (3.10.1) (3.10.2) Пусть (х0(1), иц(М), у~1($); $ Е И) — множество траекторий, которые удовлетворяют предыдущим уравнениям: хднф = У(х0(1),пц(1)); хд(1е) дано (3.10.3) 1К1(8) = д(х~($), и~(1)) (3.10.4) Траектория (хсзр(й),ид(й),уц(й);й Е яЩ может соответствовать точке равновесия модели в пространстве состояний.
В этом случае х0, пц, уц не будут зависеть от времени, а (хо, уд) будет удовлетворять условию хо = О, т. е. У(х3,п3) =О (3.10.5) Пусть теперь мы хотим описать траекторию (х(1),и(1),у(й);й Е м), где х(1), и(1) и у(1) близки к (х<р(й),ис1($),у<..>(Ф);1 Е ЙЦ. В этом случае Хотя почти каждая реальная система включает нелинейные особенности, много систем могут быть с достаточной точностью описаны, по крайней мере, в пределах некоторых диапазонов функционирования линейными моделями.
Стимулом попытаться приблизить нелинейную систему линейной моделью является то, что наука и искусство линейного управления являются более завершенными и более простыми, чем в нелинейном случае. Полезный способ получить эти линейные модели— начать с нелинейной модели и затем построить линейное приближение в окрестности выбранной рабочей точки. Этот подход не специфичен только для анализа, синтеза и проектирования систем управления, но является ключевым инструментом моделирования в других областях, например, в аналоговой электронике. Стратегия линеаризации может применяться одинаково хорошо к моделям с непрерывным и дискретным временем, а также к моделям пространства состояний и моделям входа-выхода (дифференциальные и разностные уравнения произвольного порядка).
Для простоты мы дальше дадим набросок процесса линеаризации в пространстве состояний. Итак, рассмотрим 78 Глава 3. Моделирование х(Ф) = Ах(1)+Ви(1)+Е у($) = Сх(1) +Пи(1)+Р (3.10.8) (3.10.9) где ду' дх и=иа и=на дд дх *=*а и=на В=— д7' ди в=ха и — иа дд ~ О=— ди ~ *=*а и=иа д~ ~ ду" 1 ил дх~х=ва ~ ди~х=ва и=на и=на дд~ дд~ хо — — и дх ~*=*а ди ~ в=ее и=иа и=на А= (3.10.10) (3.10.11) Е = ('(х0, ио)— (3.10.12) Р = д(х~р, и0)— (3.10.13) Обычно А, В, С, П, Е и Г зависят от времени. Однако в случае, когда мы производим линеаризацию в окрестности точки равновесия, они будут независимы от времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
