Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Можно также записать приближенные уравнения в терминах приращений Ьх($) = хЯ вЂ” хоЯ, Ьи($) = и(8) — ио(~). Из (3.10.7) и (3.10.6), используя (3.10.3) и (3.10.4) мы получим ИАх($) й = АЬх(1) + ВЬи(8) Ьу(в) = СЬх(в) + 13Ьи(в) (3.10.14) (3.10.15) для аппроксимации модели мы используем первые члены разложения в ряд Тейлора. Это приближение дает х($) ~(х0,ио) + — ~ (х(1) — хо) + — (и($) — ио) (3.10.6) дУ1 дУ дх ~*=*. ди *=*а и=иа и=иа у(8) = д(хо,ио) + — (х(1) — хо) + — (и(Ф) — ио) (3.10.7) дд дд и=иа и=иа Здесь мы использовали обозначение 3,;, чтобы обозначить матрицу, дг имеющую в качестве ф-го элемента й -'.
Заметим, что производные выдб Э числены для номинальной траектории. В случае фиксированной точки равновесия, эти матрицы производных будут матрицами констант. Уравнения (3.10.7) и (3.10.6) имеют следующую форму: 3.10. Линеаригация 79 Проиллюстрируем все двумя примерами. Пример 3.6. Рассмотрим непрерывную систему, имеющую следую- щую истинную модель (3.10.16) Предположим, что вход и(1) колеблетпся отпноситпельно значения и = 2. Найти рабочую точку при ит1 = 2 и линеаризованную модель в ее окрестностпи. Решение 1. Рабочол тпочка вычисляется из формулы (3.10.16) с ит1 = 2 и при — 3(ти = О. Это даетп ,,/жд — — = 0 =ь х0 =— )г 16 3 Я (3.10.17) 2. Тогда, преобразуя (3.10.16) с помощью разложения в ряд Тейлора, получим следующую линеаризованную модель: йХх(1) 1 2и1з аг 2,/хс1 Ьх(г) + — Ьи($) (3.10.18) 3 Используя числовые значения для рабочей тпочки, мы получаем следующую линеаризованную модель: дгХх($) 3 4 дг 8 3 = --Ьх(г) + -Ли(1) (3.10.19) 'Чтобы оценитпь качестпво приближения, мы рассмотрим исходную систпему и ее линеаризованную модель и запустим моделирование, где вход системы — константа, равная 2, плюс последоватпельностпь импульсов с увеличивающейся амплитудой.
Результпаты показаны на рис. 3.4. Здесь мы видим, что ошибка отп линеаризации увеличиваетпся, если система отходитп от рабочей точки, для котором была рассчитпана линеаризованная модель. 1:1С1С1 Замечание 3.1. Процедура линеаризации, предстпавлепная выше, дает модель, которая являетпся линейной для приращений входов и выхо- дов относительно выбранной рабочей тпочки (т, е. модель для малых сигналов).
80 Глава 3. Моделирование 25 2.Е 2.4 1.5 1.4 О 1 2 Э 4 5 6 7 Е 9 1О Время (с) Рис. 3.4. Выходы нелинейной системы у„1(г) н лннеарнзованной системы у~(5) для входа в виде прямоугольных импульсов увеличивающейся амплитуды и($). В качестве несколько более сложного примера рассмотрим следующий.
Пример 3.7 (Перевернутый маятник). Многие читагпели знакомы с возможностью балансирования метлы (или палки) на конце пальца. Простой опыт показываетп, что это — труднал задача управления. Многие универсигпеты по всему миру создали системы с перевернутым маятником, чтобы демонстрировагпь результаты управления. Фотография одной из них, построенной в Университете Ньюкасла, Австралия, показана на УУеб-войте книги. Причина того, что э7па задача интересна с точки зрения управления, заключаетсл в тном, что она иллюстрируетп многие из трудносгпей, связанных с реальными задачами управления.
Например, модель очень похожа на систему стабилизации качки судна с помощью перекладки руля. Последнял задача буде7п рассмотрена в гл. 23. Схема тпипичной сис7пемы с перевернуть57и миятпником показана на рис. З.б. Рис. 3.3. Перевернутый маятник 3.10. Линеаризациа 81 На рис 3.5 используютпся следующие обозначения: у(с) — расстояние отп опорной точки; В(с) — угол маятника; М вЂ” масса тпележки; т — масса маятника (считается, что она сосредоточена на верхнем конце); — длина маятпника; Д$) — силы, приложенные к маятпнику.
Использование физики Ньютпона в этой систпеме приводитп к следу- ющей модели у= . ~ — +О (1)вешв(1) — дсоев(1)ешв(с) ГУ(~) 'г (3.10.20) л +е( гв(Ф) ~ В= . г ~- — соев(1)+О (1)еешв(с)соев(с)+(1+Л )дешв(1) 1 Г Г(г) с[Л +е(пгв(1)] ~ (3.10.21) где Л,„= (М/т). Этии уравнения нелинейны. Однако для малых отклонений В отп вертикального положения мы можем выполнить линеаризацию около значений Ва = О, Оь = О.
Используя метподы, рассмотпренные вьпие, получим: у = — — — дв(1) (3.10.22) (3.10.23) в'= — ~- — +(1+л )дв(г) 1 Г У(1) -гл.~ щ 0 1 0 0 О О =У 0 0 0 0 1 0 0 ( — ф~г 0 0 1 я 0 1 мг С = '(1 0 0 0] (3.10.24) А= В= В дальнейшем будет дополнитпельно сказано о проблемах управления, связанных с этой системой. ППП Теперь мы можем преобразовать это в форму пространства состояний с входом и(1) = Г(8) и выходом у(с), вводя хт(с) = у(с) хг(с) = у(с) х,(с) = О(г) х4 (с) = О(с) Это приводит к линейной модели простпранства состпояний, как и в (3.6.5)-(3.6.6), где 82 Глава 3.
Моделирование Замечание 3.2. Современные вычислитавьные пакеты включают специальные команды, чтпобы вычислитпь линеаризованные модели относитпельно определенной пользоватпелем (заранее определенной) рабочей точки. В случае МАТ1АВ-Б1МШ1ИК соотпветствующие команды— этпо 11птод (для непрерывных систем) и тйвптпод (для дискретпных и гибридных систпем). Замечание 3.3. Очевидно, что линеаризованные модели являются приближенными моделями. Таким образом, эти модели должны использоватпься с соотпветствующей остпорожностью (как, разумеется и все другие модели).
В случае линеаризованных моделей, следующий член разложения в ряд Тейлора может часто использоваться, чтобы сообщить нам кое-чтпо отпноситпельно величины связанной с линеаризацией оитибки моделирования. Линейные модели часто дают глубокое понимание и ведут к простым стратегиям управления. Они могут быть получены линеаризацией нелинейной модели вблизи рабочей точки. Нужно быть осторожным с неизбежными ошибками моделирования. 3.11.
Изучаемые задачи Ограниченность места не дает нам возможности представить более детальное изучение моделирования. Обычно оно относится к сфере других курсов, которые посвящены непосредственно этой теме. Тем не менее, простые модели для всех изучаемых задач будут представлены при их обсуждении. Отсылаем читателя к следующим задачам: ° Отслеживание спутника (гл. 22). ° Управление значением рН (гл. 19 и ттеЬ-сайт). ° Непрерывное литье (гл. 2, 8 и %еЬ-сайт). ° Сахарный отжимной пресс (гл. 24 и ттеЬ-сайт). ° Дистилляционная колонна (гл. 6 и %еЬ-сайт). ° Синтез аммиака (гл.
20). ° Оценка массы цинкового покрытия (гл. 22). ° В1БНА-измеритель (гл. 8 и ЪтеЬ-сайт). а Эксцентриситет валков (гл. 10, 22 и ЪтеЬ-сайт). ° Эффект затягивания у прокатных станов (гл. 8, 10 и ЪЧеЬ-сайт). ° Управление толщиной полосы при прокатке стали (гл. 21 и %еЬ- сайт). 3.12. Резюме 83 ° Управление вибрацией (гл. 22). ° Двигатель постоянного тока (гл. 3). ° Оценка уровня жидкости в резервуаре (гл. 18 и ЪЧеЪ-сайт).
е Четыре соединенных резервуара (гл. 21, 24 и ЖеЬ-сайт). ° Устройство из плоскости и шара (%еЬ-сайт). ° Теплообменник (гл. 4). ° Перевернутый маятник (гл. 3, 9, 24 и ЖеЬ-сайт). ° Стабилизация качки судна с помощью перекладки руля (гл. 23).
3.12. Резюме ° Чтобы методично проектировать регулятор для конкретной системы, нужно формальное, по возможности простое описание системы. Такое описание называется моделью. ° Модель — набор математических уравнений, которые предназначены для учета влияния некоторых переменных системы на некоторые другие переменные этой же системы. ° Выделенные выше курсивом фрагменты должны пониматься следующим образом: о некоторые переменные системы: обычно и невозможно и не нужно моделировать действие каждой переменной на каждую же другую переменную; поэтому ограничиваются некоторым подмножеством.
Типичными примерами здесь могут быть влияние входа на выход, влияние возмущений на выход, влияние изменения эталонного сигнала на управляющий сигнал или влияние различных внутренних неизмеряемых сигналов системы на всякие другие сигналы. о учет: модель никогда не бывает совершенной, поэтому она всегда связывается с ошибкой моделирования. Слово «учет» выдвигает на первый план существование ошибок, но точное определение их типа и влияния не производится.
о предназначены: это слово — напоминание, что не всегда можно найти модель с желаемой точностью, и, следовательно, может потребоваться некоторый итеративный процесс уточнении. о набор математических уравнений: имеются многочисленные способы описания поведения системы, например, с помощью линейных или нелинейных дифференциальных и рвзностных уравнений. 84 Глава 3. Моделирование ° Модели классифицируются в зависимости от свойств уравнений, которыми оии описываются. Примеры классификации включают следующее: Противоположные свойства Свойства модели Означает, что... С одним входом и одним выходом Со многими входами и многими выходами ... уравнения модели имеют только один вход и один выход (имеет несколько входов и/или несколько вьгходов) Линейная Нелинейная ...уравнения модели линейны по отношению к переменным системы (уравнения нелинейны) Изменяющаяся во времени Инвариаптная во времени ...
параметры модели переменные (параметры постоянные) Непрерывная Дискретная ...уравнения модели описывают поведение системы в каждый момент времени (только в дискретные моменты времени) Вход-выход Пространство состояний ...уравнения содержат только входы и вьгходы (включают так называемые переменные состояния) Сосредоточен- ные параметры ...уравнения модели — обык- новенные дифференциальные уравнения (дифференциальные уравнения в частных производных) Распределенные параметры ° Во многих случаях нелинейные модели могут быть линеаризованы относительно выбранной пользователем рабочей точки. 3.13. Литература для последующего чтения Моделирование 1. СахпрЬей, Э.Р. (1958).
Ргосеза !Уупат!сз. байеу, г!езч гог1с. 2. Саппоп, Н. (1967). !купат!сз оу' РЬуз!са! Яуз!ели. МсОгаъ-Н 1. 3. 08а!а, К. (1998). Яузгет Рупат!сз. Ргепбсе-НаП, 0ррег БасЫ!е Мчег, 3!.3., 3'а ес(111оп. 4. БсерЬапороп!ов, С. (1984). СИет!са! Рюсезз Соп!юй Ап упгю4исг!оп !о ТЬеогу аЫ Ргасясе.
РгепФ!се-НаП, Еп81етеооб С!ИЬ, Х.Л. 3.14. Задачи для читателя В5 3.14. Задачи для читателя Задача 3.1. Рассмотрим электронный усилитель с входным напряже- нием ог(1) и выходным напряжением о,(1). Предположим, что ео(1) =8сч(Ф)+2 (3.14.1) 3.1.1. Покажите, что усилитель не удовлетворяет строго принципу суперпозиции. Таким образом, эта система не строго линейна. (Лучший термин для этой системы был бы «аффиннаяв.) 3.1.2. Заметьте, что систему можно также описать следующим образом: оо(1) = 8ов(1) + 2г?;(1) (3.14.2) где 4($) — постоянное смещение (равное единице). Покажите, что принцип суперпозиции справедлив для вектора входа [о;(Ф) г?т(1))~.
3.1.3. ПолУчите модель в пРиРащениЯх длЯ в1оо(г) = ео(1) — пот?, в1о;(г) = сч(1) — о;д, где (о;д,о,д) — любая точка, удовлетворяющая модели (3.14.1). Покажите, что эта модель в приращениях одна и та же для любых паР (о;г1, еог7). Задача 3.2. Рассмотрим электронный усилитель, схожий с усилителем из задачи 3.1, но имеющий входное напряжение о;(1) и выходное напряжение ьо($), связанные соотношением оо(1) = 8(о;($)) (3.14.3) 3.2.1. Покажите, что усилитель нелинейный, убедившись, что если мы представим ет($) в виде двух компонентов, например, и;(г) = ип($) + егв(в), то реакция на ов($) не равна сумме реакций на пц(Ф) и еьз(г). 3.2.2. Предположим, что е;($) = 8+ сов(1001).
Каким будет выход? Идентификация 1. ВоЫш, Т. апд СгаеЬе, 8.Р. (1996). 1взпев 1п поп1шеаг з$осЬвз11с агеу Ьох Ыепв?йсас?оп. 1п$етпаБопа?,?оитпа! о7'А4арйее Сепг о? апН Я?упа1 Ртосеввтпу, 9(6):465-490. 2. Соог?ттш, С.С. апг? Раупе, В..Ь. (1977). Рупаштс Яувгета 1т?епгфсазвоп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
