Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 38
Текст из файла (страница 38)
е. что комбинация объекта и регулятпора имеегп т' полюсов в начале координатп. Тогда для ступенчатого выходного возмущения или сту- пенчатпой усгпавки ошибка управления е(Ф) удовлегпворяет условиям 1пп е(г) = 0 % > 1 (8.6:11) т-+оо | е(1)ат = 0 % > 2 (8.6.12) О Аналогично для отрицательного линейно меняющегося (с коэффициентом наклона — 1) выходного возмущения или положительного линейно меняющегося (с козффициенгпом наклона 1) згпалонного сигнала Конкретными передаточными функциями, которые нас здесь будут интересовать, станут различные номинальные функции чувствительности. Чтобы мы могли применить лемму 4.1, предположим, что полюсы замкнутой системы лежат левее — о для некоторого о > О, которое всегда существует для устойчивых замкнутых систем.
Сначала исследуем влияние интеграторов. Чтобы сделать эту тему более интересной для читателя, сошлемся на небольшую историю одного из наших коллег, чья первая работа в промышленности была проектированием регулятора с одной степенью свободы; обеспечивающего компенсацию линейно изменяющихся возмущений, который обладал бы также нулевым перерегулированием на переходной характеристике. Уравнение (8.6.12), которое будет приведено ниже, показывает, что эти характеристики проекта нарушают фундаментальные законы систем с обратной связью.
Ясно, что большое потраченное впустую время можно было бы сэкономить, зная, что это невозможно (т. е. оценивая фундаментальные ограничения проекта). 8.6. Структурные ограничения 229 (8.6.13) (8.6.14) для 1=1 %>2 | е(т)й = 0 о (8.6.15) %>3 Доказательство Сначала напомним, что ошибка управления удовлегпворяет равенству Е(з) = ~,(зНЛ(з) — П,(з)) (8.6.16) Тогда выражение для 1ппт + е(4) является следствием 'гпеоремы о конечном значении преобразования Лапласа. Интегральные же ревультагпы следуюгп из леммы 4.1, где Ь(~) должна быть заменена на е(8) и го =О.
аппп В случае входных возмущений получится подобный же результат. Однако следует сделать предостережение, что числитель Я;о(з) равен Во(з)Цз), а не Ао(з)Цз), как имело место для Яо(з). Это подразумевает, что интеграторы обеекта не влияютп на установившуюся компенсацию входных возмущений. Таким образом, мы должны изменить лемму 8.1 следующим образом: Лемма 8.2.
Предположим, что регулягпор удовлетворяет условиям 1>1 Сам регулягпор имеет т' полюсов в начале координат. Тогда для ступенчатого входного возмущения ошибка управления е(2) удовлетворяегп условиям Чт'>1 (8.6.20) 1пп е($) = 0 т-+оо | е(й)й = 0 % > 2 о (8.6.21) ошибка управления е(8) удовлегаворяет условиям 11т е(т) =— со т-+оо с1 1пп е(Ф) = 0 г-+ Цз) = з'(Ь(з))' 1пп(Т'(з)) — 1г т- О 11гп(Р(з)) =ро ~0 (8.6.17) (8.6.18) (8.6.19) 230 Глава 8. Фундаментальные ограничения 8180-управления 1пп е(т) =— 1т ре 11ш е(т) =О т-+оь (8.6.23) %>2 е(ь)ат = О о Чт') 3 (8.6.24) Доказательство В этпом случае ошибка управления удовлетворяетп равенстпву Е(з) = -Вт,(з)Рт(з) (8.6.25) Оставшаяся частпь дохазательстпва аналогична лемме 8.1.
ППП Замечание 8.1. Заметим, что, когда интпеграл отп ошибки равен нулю, то из этого следует, чгпо ошибка имеетп равнуто площадь вьпие и ниже нуля. Следовательно, перерегулирование на выходе объекпш неизбежно. В частностпи, ясно, чтпо невозможно спроектпироватпь замкнутую систему с одной стпепенью свободы, с двумя интегратпорами у регулятора (дающими нулевую устпановившуюся ошибку при линейно изменяющемся входном сигнале), которая бы не имела перерегулирования при ступенчатпом эталонном сигнале. Это объясняетп невыполнимость тпехничесхих тпребований в небольшой истории, приведенной несколько ранее. 8.6.$. Более общие влияния полюсов и нулем разомкнутой системы Вышеприведенные результаты зависят от нулей различных функций чувствительности, расположенных в начале координат; однако оказывается, что нули в ППП имеют даже более серьезное воздействие на получаемые переходные характеристики замкнутых систем. Мы покажем это ниже.
Как прелюдия к этому, мы обращаем внимание, что лемма 4.1 применима к любым нулям. Этот факт используется ниже, чтобы разработать ряд общих ограничений переходной характеристики замкнутых систем, имеющих различные комбинации полюсов и нулей в разомкнутом состоянии. Лемма 8.3. Рассмотрим контур управления с обратпной связью, имеющий в замкнутом состоянии усгпойчивые полюсы, расположенные левее Аналогично, для отрицатпельного линейно меняющегося входного возмущения (с коэффициентам — 1) ошибха управления е(г) удовлетворяет условиям для т'=1 (8.6.22) 8.6. Структурные ограничения 231 1. Для положительного единичного ступенчатпого этпалонного сигнала или отприцатпельного единичного ступенчатого выходного возмущения справедливы соотношения е(г)е "~~И =в | 1 «о о | е(~)е '"'г<Ц= О о (8.6.26) (8.6.27) 2.
Для положительного единичного ступенчатого этпалонного сигнала и длл «о, расположенного в ППП, имеем | у(г)е *'таг = 0 о (8.6.28) 3. Для отприцатпельного единичного стпупенчатпого входного возмущения имеем е(г) е *"й = 0 ~ я С о | е(г)е "'тки = ЧоР(чо) о (8.6.29) (8.6.30) Доказательство Доказательсгпво определяетпся основным моментом, чтпо полюсы и нули разомкнутпой системы, которые мы рассматриваем,.находятся в областпи сходимостпи.преобразования, т.
е. они лежатп справа отп полюсов замкнутпой системы. Это подразумевает, что даже если е .'т (или е ™) растпетп экспоненциально, произведение ефе г асимптотически зат ухаста. 1. В этпам случае ошибка управления удовлетпворяетп выражению Е(з) = Бе(з)(Я(з) — Пе(з)) (8.6.31) -ст для некоторого сг. > О. Предположим тпакже, что регулятпор имеет, по крайней мере, один полюс в начале координат.
Тогда для нескомпенсированного нуля объекта «о или нескомпенсированного полюса объектпа т1о, расположенных правее полюсов замкнутой систпемы, т. е. удовлетпворяющих условиям Я1«о1 > — гг или Я(туо) > — сг соответственно, мы имеем следуютцее. 232 Глава 8. Фундаментальные ограничения 8!80-уяраеления т (з) — То(з)ть(з) (8.6.32) с В(з) = 1,. Заметим тиахже, что Т,(ге) = О. Результат тогда следует ив леммы 4.1, где Ь(т) заменена на у(т). 3. В этом случае ошибка управления удовлгтиворяет выражению Е(з) = -Ято(з)Рг(з) (8.6.33) с -Рг(з) = ~.
Заметим также, чтпо Я;о(ге) = О, Я;о(т1с) = ~~' . Результат тогда следует из леммы 4.1, где Ь($) заменена на е(т). ПС1П Вышеупомянутые результаты важны, потому что они обеспечивают связь между характеристиками объекта в разомкнутом состоянии и переходной характеристикой замкнутой системы. Следующие качественные наблюдения связаны с выводами из этих результатов.
(Читатель может сначала вспомнить разд. 8.6.3.) 1. Из.уравнения (8.6.26), мы видим, что, если ге — отрицательное вещественное число (т. е. ге — фактически минимально-фазовтяй куль), то ошибка должна изменить знак, потому что первоначально она положительна, а интеграл отрицателен.
Это подразумевает, что реакция объекта должна иметь перерегулирование. Кроме того, величина перерегулирования увеличивается, когда величина нуля уменьшается. Величина перерегулирования порядка (т,~ге~) ~, где т,— время регулирования (см. лемму 4.3). С другой стороны, если го — положительное вещественное число (т. е. зе — неминимально-фазовый нуль), тогда ошибке не нужно менять знак; однако, если го — небольшой, то интеграл от ошибки будет большой и положительный.
Кроме того, для го, находящегося в ППП, мы видим из уравнения (8.6.28), что при ступенчатом изменении уставки реакция должна иметь недорегулирование. Это подразумевает, что ошибка достигнет максимума по величине больше, чем ее начальное значение. Действительно, максимум ошибки и величина недорегулирования имеют порядок (го~го~), где го — время регулирования (см. лемму 4.2).
2. Из уравнения (8.6.27) мы видим, что любой полюс разомкнутой системы, который находится правее всех полюсов замкнутой системы, должен привести к изменению знака ошибки, а, следовательно, к перерегулированию. Кроме того, для большого положительного или для Л(з) = 1,, или для — Р (з) = ~. Заметпим тиахже, что Зо(гю) = 1, Зо(т1е) = О.
Тогда результиати следует из леммы 4.1, если Й(г) заменитпь на е($). 2. В этом случае выход объехтпа удовлетворяетп выражению о.6. Структурные ограничения 233 т)о относительно местоположения полюсов замкнутой системы, экспоненциальная добавка затухает быстрее, чем время переходного процесса замкнутой системы. Следовательно, для получения нулевого интеграла от ошибки необходимо, чтобы выполнялись или оба следующих условия, или одно из них: ошибка быстро изменяет знак в начале переходного процесса, или ошибка имеет большую отрицательную величину, чтобы скомпенсировать начальную положительную величину.
Мы видим из уравнения (8.6.29), что возмущения будут вести к ошибке, которая изменяет знак, и, следовательно, вызывать перерегулирование для любых вещественных нулей разомкнутой системы, которые лежат правее всех полюсов замкнутой системы. Имеются тонкие взаимодействия между различными ограничениями. Например, перерегулирование, вызванное полюсами разомкнутой системы, которые лежат правее полюсов замкнутой системы, обычно связано с устойчивыми нулями, которые введены в регулятор при назначении полюсов. Эти виды проблем автоматически включены в ограничения, потому что они используют тот факт, что сумма числителей чувствительности и дополнительной чувствительности равна знаменателю, и, следовательно, имеется необходимая связь влияния полюсов разомкнутой системы, нулей разомкнутой системы и полюсов замкнутой системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
