Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 43
Текст из файла (страница 43)
2. Соойтчсп, С.С., %оойуасс, А., М!йй1есоп, Н.Н., апс1 ЯЬип, Л. (1999). Вшйагпеп!а! 11ийгаг!опв йпе Со Лы-ах1в весов сп 8180 вувгешз. Аизоптансо„ 35(5):857-863. 3. Копйо, К., М1ваЬа, тч 01сагпаво, М., Магвшпог1, У., апс1 М!уад1, Т.
(1988). А петч аисогпас!с даиде сои!го! вувсеш !ог а гечегвпщ со!й пи11. 7!апз. ЛЯЛЛ, 28: 507-513. 8.12. Задачи для читателя Задача 8.1. Рассмотрим те же самые условия, что и в лемме 8.2. 8.1.1. Докажите, что для ступенчатого входного возмущения и с ) 2 с (т)йт й! = 0 !е(!)й! = О о (8.12.1) (8.12.2) 8.1.2. Изобразите ограничения (8.12.1) графически.
Задача 8.2. Рассмотрим те же самые условия, что и в лемме 8.3, за исключением факта, что полюс з = т!о и нуль з = в, — многократные. 8.2.1. Докажите, что для единичного ступенчатого эталонного сигнала или единичного ступенчатого, возмущения на выходе объекта справедливо следующее: | !е(Ф)е " й! = О о (8.12.3) Управление прокатным станом 1. Вгуапг, 6. (1973). Аиготас!оп о7 сапйепг ппИз. 1гоп апй Я!ее! 1пвг!Сиге. 2. Вепй)е, В. (1978).
Нуйгап11с роз!1!оп-сои!го!ей ии11 зпй аигошас!с дасще сопсго!. Г!аг го!1шд — а сошрапвоп о1 го1Ьпд-ш!11 !урез. 1п Ргосеесяпдв ол 1псегпанопа! Соп~егепсе Иеи Иу !Ие Мега! Яоссе!у, Сп!иегз!!у СоИеде, Еопйоп, радев 26-29. 3. ЕсЬчагс1в, %.Л. (1978). !Лев!дп оГ епсгу вспр уЫс1спевв сопсго1 !ог сапйеш со1й шшз. Апзоша!!са, 14(5):429-441'. 4. Ейчсагйв, т!!.Л., Соойчс!п, С.С.;. Сбшев, 6,, апй ТЬошвз, Р. (1995). А геч1етч о! сЫс1спевв сои!го! оп гечегвшд со!й го11ищ,пи1!. ЕЕ. Аиз!.
Сои!го!, радев 129-134. 5. Кшд, Ж. (1973). А петч арргоасЬ со со16 пп11 даиде сои!го!. 1гоп апй Я!ее! Епд!пееппу, радев 40-51. 256 Глава 8. Фундаментальные ограничения 8180-управления (8.12.4) Задача 8.3. Номинальная модель объекта включает неминимальнофазовый нуль при а = хо. Характеристики системы управления требуют, чтобы ошибка управления при единичном ступенчатом эталонном сигнале удовлетворяла условию /е(й)~ < е-ай — 61 ст > 0 ~ >Уд > 0 (8 12 5) 8.3.1. Оцените нижнюю границу для Е = шах е(1) (8.12.6) тегэдП 8.3.2.
Проанализируйте зависимость вычисленной границы от параметров а и $т. Задача 8.4.' Номинальная модель объекта дана в виде 5(а — 1) 1Уо(д) = ( (8.12.7) Этот объект должен управляться в замкнутом контуре с одной степенью свободы. 8.4.1. Определите ограничения во временной области для входа объекта, выхода объекта и ошибки управления в контуре. Считайте, что при ш = 0 имеется точная инверсия, а эталонный сигнал и возмущения по форме близки к ступенчатым.
8.4.2. Почему управление этим номинальным объектом особенно трудно? Обсудите результаты. Задача 8.5. Рассмотрим замкнутую систему управления с устойчивым объектом, имеющим неминимально-фазовый нуль (единственный) при а = — (а Е К+). Предположим также, что соответствующий регулятор может быть спроектирован так, что дополнительная чувствительность дается выражением — аа+ 1 ' ' =,э+1.3,+1 (8.12.8) 8.5.1.
Вычислите реакцию на единичную ступеньку для различных значений а в диапазоне 0 < а < 20. 8.5.2. Для каждого случая вычислите максимальное недорегулирование М и нарисуйте график зависимости М„от а. Обсудите результаты. 8.2.2. Докажите, что для единичного ступенчатого эталонного сигнала и «е в ППП справедливо следующее: 8.12. Задачи для читателя 257 Задача 8.6. Рассмотрим объект, имеющий номинальную модель в виде 12(-а+ 2) (а+ 3)(а+ 4)г (8.12.9) Предположим, что контур управления должен быть спроектирован таким образом, чтобы доминирующие полюсы замкнутой системы являлись корнями многочлена а + 1.3атяа+ тоя.
2 2 8.6.1. Используя назначение полюсов, синтезируйте регулятор для различных значений атя. 8.6.2. Протестируйте ваш проект для ступенчатого эталонного сигнала и ступенчатого входного возмущения. 8.6.3. Сравните с реализацией ПИД-регулятора, настроенного по критерию Коэна — Куна. 8.6.4. Проанализируйте недорегулирование, полученное в переходной характеристике. Задача 8.7. Рассмотрим управление с обратной связью неустойчивым объектом. Докажите, что выход регулятора тт(2) обладает недорегули- ровалием для любого ступенчатого эталонного сигнала и для любого ступенчатого выходного возмущения.
Задача 8.8. Рассмотрим два объекта, имеющих устойчивые номиналь- ные модели С и Сы заданные выражениями Са(а) =; Са(а) =— И(а) ' сна) (8.12.10) где а Е К+ и тт(а) — устойчивый полипом. Далее предположим, что эти объекты находятся в замкнутом контуре управления, доминирующие полюсы которого имеют вещественные части меньше, чем — а. Сравните фундаментальные ограничения проектирования для двух контуров управления. Задача 8.9.
Рассмотрим эксперимент с шариком и перекладиной, рассмотренный на Ч~еЬ-сейте книги. Известно, что эта система неминимально-фазовая. Объясните физически, что это справедливо. (Подсказка: рассмотрите центростремительную силу, когда перекладина вращается.) Как вы думаете, что случится с шариком, если вы повернете перекладину внезапно, когда шарик около ее конца? Отсюда дайте физическую интерпретацию ограничению на время реакции, наложенному неминимально-фазовым нулем. Глава 9 Ограничения проекта в частотной области 9.1. Введение В главе 8 с помощью элементарных рассуждений во временной области, основанных на преобразовании Лапласа, было показано, что у достижимых характеристик 'линейных систем управления существуют фундаментальные ограничения. В частности, было показано, что вещественные нули объекта разомкнутого контура, лежащие в ППП, всегда приводят к недорегулированию в переходной характеристике замкнутой системы.
Кроме того, степень этого недорегулирования увеличивается вместе с уменьшением времени переходного процесса замкнутой системы. Это означает, что нули объекта, лежащие в ППП, неизбежно задают верхний предел достижимой полосы пропускания замкнутого контура, если следует избежать чрезмерного недорегулирования. Точно так же было показано, что вещественные полюсы объекта в разомкнутом состоянии, лежащие в ППП, всегда приводят к перерегулированию в замкнутых системах с одной степенью свободы".
Цель данной главы состоит в том, чтобы разработать эквивалентные ограничения в частотной области и исследовать их интерпретацию. Результаты, которые будут представлены здесь, имеют давнюю и богатую историю, начинающуюся с оригинальной работы Боде, опубликованной в 1945 г. в его книге по синтезу цепей.
Начиная с того времени, результаты были украшены исследованиями многих авторов. В этой главе мы суммируем результаты для 81ЯО-систем. В главе 24 мы расширим результаты на случай М1МО-систем. Все результаты следуют из предположения, что функции чувствительности являются аналитическими в замкнутой ППП (т. е.
требуется, г Напомним, что все вто справедливо при наличии у системы интегрирующего ввена.— Прим. иерее. 9.2. Интегральные ограничения Боде, накладываеыые на чувствительность 259 чтобы они были устойчивы). Аналитическая теория функций тогда подразумевает, что функции чувствительности не могут быть определены произвольно, а должны удовлетворять некоторым точным интегральным ограничениям. Основой, необходимой для оценки этих результатов, является элементарная теория аналитических функций.
Возможно, не все читатели раньше встречались с этой теорией, поэтому мы представляем ее краткий обзор в приложении С, находящемся на туев-сейте книги. Данную главу можно читать одним из двух способов. Или математика может считаться сама собой разумеющейся, тогда акцент будет на интерпретации результатов, или, что предпочтительней, читатель может получить полное понимание, рассмотрев вначале результаты, приведенные в приложении С.
Ключевой результат здесь — интегральная формула Коши и ее прямое следствие — формула Пуассона — Йенсена. Данная глава делает частые ссылки на эти и другие результаты приложения С. Поэтому полезно было бы открыть приложение С на вашем компьютере, чтобы его можно было читать одновременно с чтением этой главы. Большинство результатов, которые будут обсуждены ниже, основано на общих характеристиках (т. е. интегрированных или суммированных) 1п (Яо(уог) ~ и 1п )Т,(уот) 1 Амплитудные логарифмические характеристики функций чувствительности изменяют знак, когда эти величины пересекают единичное значение. Напомним, что 1 — ключевая величина в анализе чувствительности.
9.2. Интегральные ограничения Боде, накладываеыые на чувствительность Боде был первым, кто установил, что интеграл логарифма чувствительности должен быть нулевым (при некоторых умеренных условиях). Это означает, что если чувствительность достигает малых значений в некотором диапазоне частот ((Я,(уот) ) < 1 =й 1й (Я,(уот) ! < 0), тогда она где-нибудь должна иметь большие значения, чтобы сохранить нулевое значение для интеграла логарифма. Гюнтер Стейн в лекции, посвященной памяти Боде на Конференции 1ЕЕЕ по принятию решений и управлению, назвал его принципом сохранения массы чувствительности. Это представление рассматривает область функции чувствительности наподобие какого-то количества массы. Если часть массы удалить из некоторой области (т.
е. уменьшить чувствительность в какой-то полосе частот), то она накапливается где-нибудь еще (т. е. увеличивается чувствительность на других частотах). Формальное определение этого результата следующее. 260 Глава 9. Ограничения проекта в частотной области Лемма 9.1. Рассмотрим устойчивый контур управления с одной степенью свободы и передатпочной функцией в разомкнутом состоянии Са(з)С(з) = е 'тНы(з) т > О (9.2.1) где Н ~(з) — дробно-рациональная передатпочная функция с относитпельной степенью (см. равд. 4.5.2) и„> О и пусть параметр к определлется следующим образом к= оп зН,г(з) т'.т (9.2.2) (9.2.6) Доказательство Сначала рассмотрим случай т = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
