Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Мы удаляем неустойчивые полюсы, используя произведение Блатаке, определяя [Я„(з)),птр следующим образом: Б,(з) = (Б,(з)), „В„(з) , где ~Б (з))т р — устпойчивая и минимально-фазовая. (9.4.5) на следующие произведения Блашке (а иногда и обратных величин этих произведений): М лт В (з) = Ц „В,(з) =Ц „' (9.4.1) ;=1'+ ° 2Б8 Глава 9. Ограничения проекта в частотной области Заметим, что — 1п]Вр(св)] > О и что он неограниченно возрастает при приближении одного из неминимзльно-фазовых нулей разомкнутого контура к одному из неустойчивых полюсов разомкнутого контура.
Выражение (9.4.2) говорит, что независимо от того, как спроектирован регулятор, должна быть достигнута взвешенная компенсация областей высокой и низкой чувствительности. Обратим внимание, что функция веса уменьшается с ростом частоты, означая, что эта компенсация должна по существу быть достигнута на конечном диапазоне частот. Из (9.4.2) мы видим, что весовая функция в этих интегралах 7ь И (вьюг)— (9.4.6) Мы также видим, что Иг(сы от)йи = тг (9.4.7) Кроме того, мы можем определить взвешенную длину оси часгпогп: 2) Иг(вьюг)йз = 2агс18 ~ ) +2агсгй ~ — ) = й(сь,гз,) (9.4.8) Г ~ыв-дь Ль~ т~ о т.
7ь ) 7ь Заметим, что если ого > гог > О, то гав 2 / И"(вьюг)дог = Цсыотз) — й(сыотг) (9.4.9) Щ Аналогично для вещественных неминимально-фазовых нулей, т. е. когда бь = О, мы имеем Й(сыот,) = 2агс18 ~ — '~1 'ч7гт/ гос й(сь, оо) = 2 11ш агсвй ~ — ) = тг ОЗ,-+00 (9.4.10) (9.4.11) Это можно интерпретировать как задание длины (меры), равной я, для оси частоты. Чтобы лучше понять результат, полученный в лемме 9.5, рассмотрим два специальных случая. Для простоты мы предположим, что неминимально-фазовые нули являются вещественными, т.е. Юь = О. Результата (9.4.2) тогда следует из применения леммы С.1, взяв з = з, д(з) = [Я,(з)], р и д(з) = Я,(з). Выражение (9.4.3) получается из (9.4.2), учитывая, а) что Бь = О и б) сопряженную симметрию Я (уог), ППП 9.4. Ограничение на чувствительность, определяемое интегралом Пуассона 269 Частотная характеристика чувствительности Е о, то' 'г 1о' 1О' Частота [раа/с] 10 Пример 9.1.
Пустль птехнические требования тпаковы, чтпо [Яо(тот)[ < е < 1 в диапазоне частпотп [О,отг). Найдем нижнюю границу максимума чувстпвитпельностпи Я ах. Чтпобы получить этну границу, мы используем лемму 9.5 и выитеупомянутпые определения. Тогда, после расщепления интпервала интпегрирования [О,со) на [О,отг) 0 (отнсо) получим Гос Гм 2/ 1п[Яо(Уот)]Иг(се,го)йо=2/ ]и[Во(Уго)[Иг(св,го)дот+ О О 2 / 1п [Яо(тсо) [Иг(сь, со)йо гол = — тг 1п [Вр(сл) [ Затпем мы подстпавим верхние границы для [Яо(усе)[ в обоих интперволах.
Используя (9.4.8)-(9.4.11), получим 2 1п фо(уго) [Иг(сь, от)йо = -тг 1п]Вр(са) [ (9.4.13) IО < 1п(е) / 2Ит(сь,го)йо + 1пЯ , / 2Ит(се,го)йо (9.4.14) /0 гол = 1п(е) Й(сь, гог) + (тг — Й(сь, отг) ) ]п Я„,ах (9.4.15) чпто приводитп к 1 1п Явах > [[тг1п[Вр(сь)[[+ [(1пе)Й(сь,отг)[) (9.4.16) тг — Й(св, отг) где мы использовали пто, что [Вр(сь)[ < 1 4=о 1п([Вр(сь)[) < О для любого сь > О. т.в о.е Рис. 9.2.
Технические требования для ]Я,(тот)] 270 Глава 9. Ограничения проекта в частотной области Обсуждение 1. Рассмотрим график чувствительности в зависимости от частоты, показанный на рис. 9.2. Пусть нам нужно, чтобы полоса пропускания замкнутого контура была больше чем модуль нуля (вещественного), находящегося в ППП. В терминах обозначений, используемых выше, для этого должно быть атт > 'уа. Мы можем тогда показать, что обязательно имеется очень большой пик чувствительности, возникающий за ать Чтобы оценить этот пик, предположим, что атт = 27ь и г = 0.3. Тогда, не рассматривая влияние каждого возможного неустпойчивого полюса разомкнутого контура, мы можем сказать, что пик чувствительности будет ограничен снизу (см.
выражение (9.4.16)). 1пЯ ак > [~(1п0.3)й(сг,2сь))] (9.4.17) 1 тг — й(сы 2сь) После использования (9.4.10) мы получим й(сь,2са) = 2агсФ6(2) = 2.21, что приводит к Ял,ак > 17.7. Заметим, что это, в свою очередь, дает ограничение снизу пика дополнительной чувствительности значением Я,лак — 1 = 16.7. 2. Наблюдение, сделанное в п. 1, совместимо с анализом, выполненным в разд.
8.6.5. В обоих случаях можно сделать заключение, что полоса пропускания замкнутого контура не должна превышать модуля самого маленького неминимально-фазового нуля разомкнутого контура. Цена невыполнения этого требования такова: появится очень большой пик чувствительности, приводящий к хрупким контурам (неробастным) и большим недорегулированию и перерегулированию.
3. В присутствии неустойчивых полюсов разомкнутого контура задача решается через сомножитель ~ 1п ~Вр(са) )~. Этот сомножитель неограниченно растет, когда какой-либо неминимально-фазовый нуль приближается к неустойчивому полюсу разомкнутого контура. ГНПП Пример 9.2. Рассмотприм графики, приведенные на рис. 9.3. Пусть в дополнение к требованиям в предыдущем примере мы требуем, чтобы ~Тв(уьт)~ был меньше г для всех частот, больших ать > атг и 0 < г « 1. Это условие обычно возникает из потребности гарантпироватпь шумовую устпойчивостпь и робастпностпь отп ошибок моделирования (см. гл.
5). Снова найдем нижнюю границу пика чувствительности. Сначала заметим, чтпо требование ~Те(уьт)~ < г подразумеваетп ~Вв(альт)~ < 1 + г~ поскольку Яе(з) + Те(з) — 1 9.4. Ограничение на чувствительность, определяемое интегралом Пуассона 271 Частотные характеристики чувствительностей „ т.в х 0.5 с е, го' ч то' ыл го' Частота [рад/с) Рис. 9.3. Технические требования для фо(зьг)] н Ро(зьг)] Следуя тому же подходу, что и в предыдущем примере, мы расщепим интервал интеерирования [О, оо) на [О,огг] 0 (огг,гол] 0 (огь,оо).
Гсо Гел 2 / 1пфа(рог)]Иг(сь,го)йэ = 2 / 1п]ЯеЦгэ)]Иг(сыаг)йэ+ О О рыл Гос 2 / 1п ]$е(уог) [Иг(сь, аг) дго+ 2 / 1п]Я,(уго) ]И'(вы го)йо ль ыл = — тг !и [Вр(сь)] (9.4.18) В каждом интервале мы далее заменим ]Я (аког)] его максимальной величиной, как показано киже: е гэ Е [О, аг(] шах]ое(уы)[ = о;нех ог Е [огГ, огв] (9.4.19) 1+с ог Е [огь оо] После этих замен и использования выражений (9.4.8) и (9.4.9) получим СтПП Мы можем видеть, что в дополнение:к компромиссу, проиллюстрированному в предыдущем примере, в этом случае появляется новый компромисс. Резкие переходы. на частотной характеристике, т. е.
когда ьгг близка к озь, приведут к большим пикам чувствительности. 272 Глава 9. Ограничении проекта в частотной области 9.5. Ограничение на дополнительную чувствительность, определяемое интегралом Пуассона Аналогично тому, как было сделано в равд. 9.4, мы можем получить ограничения для дополнительной чувствительности. Результат, соответствующий лемме 9.5, следующий. Лемма 9.6 (Интеграл Пуассона для Тв(ты)).' Рассмотрим контпур управления, имеющий запаздывание т > О, а тпакже содержащий как неустойчивь~е полюсы в разомкнутом состоянии, расположенные в точках рт,рг, '.,рк (где р; = ая + урт), так и нули в разомкнутпом состоянии, находящиеся в открытой ППП и расположенные в тпочках см сг,..., см. Доказательство Вышеуполтянутый результат — почти прямое применение леммы С.1.
Если запаздывание отлично от нуля, то 1п~Т„(альт)~ не удовлетпворяетп граничным условиям 4 в лемме С.1. Итак, мы сначала определяем Тв(з) = Т,(з)е' =ь 1п~Т (уо)! = 1п~Т,(альт)~ (9.5.2) Результат тогда следует из применения леммы С.1 к Т,(з) и после учетна, что 1п(Т,(р;)) = О т = 1,2,...,Ф (9.5.3) 00П Последствия этого результата иллюстрируются в следующем примере. Для простоты мы предполагаем, что неустойчивый полюс вещественный, т.
е. Д = О. Пример 9.3. Пусть технические тпребования тпаковы, что 1ТЯитЯ < е < 1 для всех частот, больше шь. Это тпребование определяет полосу пропускания замкнутого контура и могло бы бытпь получено из рассмотрения робастпностпи и шумовой устпойчивостпи.
Мы ищем нижнюю 9.5. Ограничение на дополнительную чувствительность 273 границу пика чувсгпвитпельности Т . Этот пик будет лежать в области частот, ниже гол. Для получения этой границы можно использовать лемму 9.6. Растцепим интервал интегрирования [О,оо) на [О,щ,] 0 (год,оо). Тогда из выражения (9.5.1) мы имеем | 2сц 1п[Т (тот)[ 2 ' 'дго= — тг1п[В,(сц)[+ктсц 0 О стг+гог Гьтл 2ст, Гсо, 2сц 1П[Тв(уьт)[ 2 2 дго + 1П [Та(арго)[ < й(гт;,гол)1пТ„,в„+(1пе)(к — й(ст;,ьтл)) (9.5.4) где функции й(о, о) были определены в (9.4.6)-(9.4.11).
Переставляя члены в (9.5.4), мы получим 1пТ в„) [тг[1п[В (сц)[[+ктсц+[1пе[(тг — й(аъатл)) (9.5.5) 1 (стт | ьта) Обсуждение 1. Мы видим, что нижняя граница пика дополнительной чувствительности больше для систем с чистым запаздыванием и что влияние запаздывания увеличивается для неустойчивых полюсов, которые находятся далеко от мнимой оси, то есть для больших ст;. 2. Пик Т неограниченно растет, когда неминимально-фазовый нуль приближается к неустойчивому полюсу, потому что тогда [1п[В,(р;)[[ становится неограниченным. 3. Пусть нам нужно, чтобы полоса пропускания замкнутого контура была намного меньше, чем модуль полюса (вещественного) в ППП.
В терминах обозначений, используемых ранее, мы тогда имеем ьтл « оц. При этих условиях значение й(р;,гол) будет очень маленьким, приводя к очень большому пику дополнительной чувствительности. Заметим, что это совместимо с результатами в равд. 8.6.5, основанными на анализе во временной области. Там показано, что при выполнении этого условия возникает большое перерегулирование. ППП Существование больших пиков чувствительности имеет интерпретацию во временной области, а именно, что переходная характеристика замкнутого контура имеет большие отклонения и медленное нарастание. В частотной области эта нежелательная особенность будет обычно отражаться в небольших запасах устойчивости.
274 Глава 9. Ограничения проекта е частотной области Результаты, представленные выше, устанавливают компромиссы проектирования, происходящие из природы систем с обратной связью в присутствии неминимально-фазовых нулей и неустойчивых полюсов в разомкнутом состоянии. Конечно, подобные ограничения возникают и из-за полюсов и нулей в регуляторе. Если желательно иметь ограничения, которые независимы от регулятора, то знак равенства в выражениях (9.2.9), (9.2.10), (9.4.2), (9.4.3) и (9.5.1) следует изменить на знак >, потому что компоненты в этих уравнениях должны также включить и влияние неустойчивых полюсов или неминимвльно-фазовых нулей регулятора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
