Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 47
Текст из файла (страница 47)
17з + 100 9.1.2. Повторите это для С,С(з) = з(в+4) Задача 9.2. Модель объекта дана в виде С(в) = (9.9.2) з + 1 Используйте для запаздывания аппроксимацию Паде второго порядка. Затем, используя лемму 9.5 и результаты примера 9.1 при е = 0.1 и иы = 3, определите нижнюю границу для пика номинальной чувствительности. 9.9. Задачи дяя читателя 281 Задача 9.3. Номинальная модель объекта дана в виде 5(е — 1) (е + 1)(е — 5) (9.9.3) 9.3.1. Допустим, что контур должен удовлетворять условиям (Я„(альт)! <0.2 для ы< 2 (Т„Цьт)! <0.2 для ы> 8 (9.9.4) Используя результаты данной главы (и прилагаемые программы вптах.тп и $гпах.тп пакета МАТЮКАВ), получите возможно лучшую оценку для нижней границы пика номинальной чувствительности и дополнительной чувствительности. 9.3.2.
Почему управление этим номинальным объектом особенно трудноу Обсудите результаты. Задача 9.4. Предположим, что для контура управления с одной степенью свободы и объектом, имеющим номинальную модель, заданную передаточной функций С„(е), неустойчивой и неминимально-фазовой, спроектирован бисобственный регулятор. Определите частотные ограничения для номинальной чувствительности по управлению Ьие. Этот объект управляется в контуре с одной степенью свободы. Допустим, что известны точная инверсия при ьт = О, а эталонный сигнал и возмущения по форме близки к ступенчатым. 10.2. Модели длл детерминированных возмущений и эталонных воздействий 283 Эта модель дает следующее выражение для преобразования Лапласа возмущения: Жз(з)хз(0) (10.2.3) Гз(з) где Гз(8) — полинам, формирующий возмущение, определяемый выра- жением ддг(~) ~ сРг(т) — +Е7' — = Шд ' Жт 1=0 Данная модель приводит к (10.2.7) т(8)хт( ) (10.2.8) Г„(8) где Г,(8) — полинам, формирующий зтпалонный сигнал, определяемый выражением д — 1 Г,(з) = зд+~~т у;з' (10.2.9) т=о Полинам соответствует знаменателю преобразования Лапласа для г(1) и может быть разложен на множители в соответствии с составляющими эталонного сигнала.
Для использования в дальнейшем представим Г,(з) в виде двух сомножителей Г (8) = Го(8)гм(8) (10.2.10) д — 1 Гз(8) йзд+'~~т утзт (10.2.4) 1=0 Этот полипом соответствует знаменателю преобразования Лапласа от дд(т) и может быть разложен на множители в соответствии с составляющими возмущения. Проиллюстрируем это простым примером. Пример 10.1, Возмущение имеетп следующий вид: д~(~) = К1 + Кз 81п(31+ Кз) (10.2.6) где Км Кз и Кз — хонстпанптм. Формирующий навином равен: Гз(з) = 8(з~+ 9) (10.2.6) Заметим, что. К1, Кз и Кз опредаляюптся начальнвтми условиями хз(0) в модели простпранстпва состпояний.
ППП Аналогичным образом мы определяем и эталонные сигналы, т. е. представляем эталонный сигнал как выход динамической системы, имеющей нулевой вход и некоторые заданные начальные условия. Это означает, что эталонный сигнал удовлетворяет однородному дифференциальному уравнению вида 284 Глава 10. Структурные проблемы 8180-систем управления Рис. 10.1.
Контур управления с обобщенным возмущением где Г" ,— полипом с корнями, находящимися строго внутри ЛПП, а Г;.о(8) — полипом с корнями в замкнутой ППП, расположенными в точках 8 = еп т = 1,2,...,тто. Для простоты будем считать эти корни различными. 10.3. Принцип внутренней модели применительно к возмущениям 10.3.1. Входные точки возмущений В предыдущих главах мы делали различие между входным и выходным возмущениями, чтобы выдвинуть на первый план проблемы, связанные с местом приложения возмущения. Здесь мы примем объединенное описание, обобщающее и входное и выходное возмущение. В частности, ДЛЯ НОМИНаЛЬНОй МОДЕЛИ Со(8) СО ВХОДОМ У(8) И ВЫХОДОМ У(8) МЫ пРеДположим, что возмУЩение Рд(8) ДействУет на объект в некотоРой промежуточной точке, т.
е. мы моделируем выход следующим образом: 1(8) =ао2(8НУо1(8)П(8)+Рд(8)) ГДЕ Со(8) =Со1(8)~о2(8) (10.3.1) Эта структура изображена на рис. 10.1. Случай входного возмущения обеспечивается заданием сто1(8) = 1 и С',(8) = 0,2(8). Случай выходного возмущения получается, если а 2(8) = 1 и а (8) = а 1(8). 10.3.2. Компенсация возмущения в установившемся состоянии Заметим, что для приведенного выше обобщенного описания возмущения в предположении, что замкнутый контур устойчив, выход номиналь- 10.3. Принцип внутренней модели применительно к возмущениям 285 ной модели и выход регулятора можно выразить соответственно 1 (з) — Бо(з)Сод(з)Рд(д) (10.3.2) и(в) = — и .С. (з)О,(в) = ' В,( ) (10.3.3) То(в) С,г(з) Из уравнения (10.3.2) видно, что влияние возмущения на выход модели асимптотически затухает, когда, по крайней мере, выполняется одно из следующих условий: дд(~) - 0 при ~- ° полипом Ги(з) является сомножителем числителя Яо(з)С,з(д).
Первый случай неинтересен с точки зрения установившегося состояния реакции, хотя и будет рассматриваться в контексте переходной характеристики. Когда корни Гд(в) лежат в замкнутой ППП, тогда только второе условие гарантирует нулевую установившуюся ошибку из-за возмущения.
Это требование может быть выполнено, если сомножители Гд(з) находятся в знаменателе регулятора С(з) и/или в знаменателе С,т(в). Заметим, что для входного возмущения, т. е. 0,1(з) = 1, единственный возможный вариант — это то, что Гд(з) будет сомножителем знаменателя С(в). Мы видим, что когда Гн(в) является сомножителем знаменателя С(з), неустойчивые компоненты т1д(1) будут асимптотически компенсироваться как в номинальном контуре обратной связи, так и в истинном контуре, при условии, что номинальный контур робастно устойчив. Причина этого сильного свойства в том, что Я,(в) обратится в нуль для неустойчивых корней Гд(д), что вместе со свойством робастной устойчивости гарантирует также и стремление к нулю Я(в) для тех же корней.
Таким образом, мы можем сделать следующий вывод. Компенсация возмущения в установившемся режиме требует, чтобы формирующий полипом был включен как часть знаменателя регулятора. Это известно как нрннцнп внутпренней модели (ПВМ). Корни формирующего полинома, особенно неустойчивые, порождают те же самые компромиссы характеристик замкнутого контура, как если бы эти полюсы были частью объекта. Когда используется принцип внутренней модели, Т,(д) и Т(з) включают корни Гд(з).
Таким образом, из уравнения (10.3.3) мы видим, что выход регулятора и(Ф) будет, вообще говоря, содержать составляющие возмущения. 28Б Глава 10. Структурные проблемы ь(80-систем управлении Принцип внутренней модели может. быть явно использован на стадии синтеза. Далее мы исследуем один путь, которым это может быть достигнуто. 10.3.3. Назначение полюсов (10.3.5) Вспомним теорию, представленную в разд. 7.2. Для номинальной модели объекта и регулятора, заданных выражениями (7.2.2), т, е. Св(з) й =й В в и С(з) = т(:)-, мы имеем, что принцип внутренней модели будет Р(в1 обеспечен, если Цз) является произведением Гз(з)Х(з).
Это приводит к уравнению назначения полюсов: А (з)Гз(з)Цз)+В (з)Р(з) =А,((з) (10.3.4) где Ь(з) = Гз(з)Х(з). Если степень А,(з) — и, то полинам А,((з) может быть произвольно определен тогда и только тогда, когда его степень, по крайней мере, 2п — 1+ 9.
Заметим, что в разд. 7.2.2 эта идея была использована для специального случая Гз(з) = з. Проиллюстрируем процедуру следующим примером. Пример 10.2. Рассмотрим номинальную модель С (з) =,+г и входное возмущение дд(т) = К1 + Кг з1п(2с+ Кг). Требуется постпроить тпакой регулятпор С(з), чтобы принцип внутренней модели удовлетпворялся для этого класса возмущений. Сначала заметим, что 9 = 3, Ге(з) = з(зг + 4) и и = 1. Это означаетп, чтпо А ((з) должен по крайней мере быть стпепени и = 4.
Предположим, что мы выбираем А,((з) = (зг+ 4з+ 9)(э + 5)г. Далее сделаем так, чтпо регулятор будет иметь форму, ,( ) Вгзг+0гзг+(лтз+(ло з(зг+ 4) Соответствующее уравнение назначения полюсов имеет вид з(зг+ 4) (з+ 3) + 3((9заз+ ргзг+ (дтз+ (30) = (зг+ 4з+ 9) (з+ 5)г (10.3.б) откуда следует, что (уз = ~4, (гг = ~~4, (91 = ф и (90 = 75 (используя программу рай.
т). Выражение (10.3.2) для этпого примера дает (10.3.7) Ас((з) д Аы(з) где гтд(з) — полинам числитпелл Рд(з). Мы также использовали факт, что Сег(з) = С,(з). Заметим однако, чтпо ценой компромисса, котпорая 10.3. Принчип внутренней модели применительно и возмущениям 287 должна быть оплачена, чтпобы достпичь полной компенсации этпого конкретного возмущения, является пю, что полинам, формирующий возмущение, будетп обязатпельно появллтьсл в качестве нулей функции чувствительности и затрагивает реакцию на стпупенчатпое выходное возмущение и дополнитпельную чувствительность соответственно. Интересно следующее наблюдение.
Предположим, что для этпого входного возмущения мы имели тпакие передатпочные функции номинальной модели и регулятпора: а()=' и С(,)=б" +8" +~"+90 (10.3,8) з ' (з+ 3)(зг+ 4) Заметпим, что обзединенная передаточная функция обеектпа и регулятора Се(з)С(з) имеетп те же самые полюсы, чтпо и выше, но тпеперь сомножитпель з появляетпся в Сь(з), а не в С(з). Полинам замкнутпого конптура А 1(з) и номинальная чувствительность Я„(з) осп1аются неизменными; однако тпеперь С,г(з) = —, и 3 таким образом 3(э+3)(за+4) 3(з+3)1Уд(з) Аы(з) з зАе1(з) Отсюда очевидно, что на выходе осшаешся постоянная составляющая, приводя к установившейся ошибке, отличной ош нуля. Это происходит вследстпвие того, что принцип внутпренней модели удовлетпворяется для составляющей возмущения, предстпавленной сомножителем зг+4, но не длл составляющей, предстпавленной сомножителем з.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
