Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Введем следующие изменения в обозначениях: з -+ г, Ны(з) -+1(г) и д( ) = (1 + 1(г)) '. Тогда мы видим, что В.( ) =(1+1( )Г'=д(г) (9.2.4) Учитпывая предположения относительно Н ~(з), видно, что функция 1пд(г) — аналитическая в замкнутпой ППП; тогда, в соответпствии с теоремой С.7 г 1пд(г)дг = О (9.2.5) с где С = С; 0 С ' — контпур, определенный на рис. С.4. Тогда 1пд(г)аг = т' / 1пд(дго)дат — / 1п(1+1(х))йг с l-оо ~С Для первого интеграла в правой части равенстпва, учитпывая сопряженную симметприю д(г), получим' 1пд(тто)дат = 2 / 1п~д(уи)~гко (9.2.7) -00 го Для втпорого интеграла заметим, чтпо на кривой С, значение 1(г) можно аппроксимироватпь выражением (9.2.8) 9.2.
Интегральные ограничении Боде, нвклвдывввыыв нв чувствительность 261 Результат следует из примера С.7, если учесть, что а = к для и„= 1. Расширение на случай т ф 0 аналогично и использует результаты примера С.8. ППП Из леммы 9.1 мы делаем вывод, что независимо от способа проектирования регулятора, низкая чувствительность в некоторых заданных диапазонах частот приведет к значениям чувствительности больше единицы в других диапазонах частот. Графически вышеупомянутое утверждение может быть хорошо представлено на рис. 9.1. Честотиви характеристика чувствительности о з ьь и -2 4 6 в 1о 12 Частота [рвд/с] Рис.
9.1. Графическая интерпретация интеграла Боде На Рис. 9.1, когда область А1 (=» ~Яе(Уз)~ < 1) Равна области Аг (~ ~Я,Цю)~ > 1), интеграл в выражении (9.2.3) равен нулю (или, в более общем случае, А1 — Аг = кк). Теоретически это не серьезное ограничение, потому что достаточно иметь |Яе(уса) ~ только немного больше единицы на большом (фактически бесконечном) диапазоне частот. Мы говорим «теоретически», потому что робастность и устойчивость к шумам, среди других факторов, потребуют, чтобы значение ~ТЯог) ~ было очень маленьким за некоторой частотой. Таким обРазом, согласно фУндаментальномУ свойствУ Те(2оз)+ ое(уст) = 1, от этой частоты и далее ~Я,Цю)~ не будет вносить никакого существенного вклада в баланс, требуемый выражением (9.2.3).
Это означает, что на практике компенсация должна быть достигнута в пределах конечной полосы частот. Ниже об этом будет сказано подробнее. Вышеприведенный результат предполагает, что разомкнутый контур устойчив. Далее будет приведено расширение на случай неустойчивых разомкнутых контуров. Лемма 9.2. Рассмотрим замкнугпгый конгаур управления с переда«ночной 4ункцией, как в лемме 9.1 и имеющей неустойчивые полюсы в точ- 262 Глава 9. Ограничения проекта в частотной области где к =Ьш, „,озНд(з). Доказательство Рассмотрим сначала случай т = О.
Как и в лемме 9.1, сделаем изменения обозначений з -+ «, Ны(з) -+ Ц«) и д(з) = (1+ Ц«)) Заметим вначале, что 1пд(«) не являетпся теперь аналитпической функцией в ППП (потому что неустпойчивые полюсы Разомкнугпого контура рп...,рят стпановятся нулями д(«)). Тогда определим й)= ()П вЂ”, (9.2. и) т=1 Таким образом, 1пд(«) аналитическая в замкнутой ППП. Тогда мы можем использоватпь интеграл Коши по контуру С, изображенному на рис.
С.4, и получим 1пд(«)д« = 0 = ~ 1пд(«)сЬ+ ~~ 91 1п — 'тЬ (9.2.12) С /С /с «Рт Первый интеграл правой частпи можно предстпавитпь следующим образам: г 1пд(«)д« = 2д / 1п)д(~от))дат+ 1 1пд(«)д« С гС . где, используя пример С.7,' получим ~0 для п, >1 1пд(«)д« = (9.2.14) С (т'кк для пг = 1 юЬете к = 11шг, «Ц«) Второй интеграл правой части равенстпва (9.2.12) может быть вычислен следующим образом: 1п †'сЬ = ~ ( 1п , ' йо + ( 1п †' д« (9.2.15) «+р; . Г~,уго+р; Г «+р; С «Рт — 3ш Рт С г Р' (9.2.13) как ры...,рлг, чистпым запаздыванием т и отпносительной степенью и, > 1.
Тогда, номинальная чувстпвитпельностпь удовлетпворяетп условию: 9.3. интегральные ограничения на дополнительную чувствительность 263 Заметим, что первый интеграл правой части равен нулю, а второй, в соотвегаствии с примером С.9, равен — 2утгр;. Таким образом, результпат следует из тпого факта, чтпо, раз д(з) — вещественная функция з, то (9.2.16) Если д(з) = (1+ е ' 1(г)) для т > О, то доказательство получаетпся таким же образом, чтпо и в примере С.8. ППП Замечание 9.1.
Формулы Боде (и связанные с ними результпатпы) предполагают, что рассматприваемая функция аналитическая не только внутри области Р, но также и на ее границе С. При проехтпировании систем управления, однако, могутп существовать особенности на С, типа интегратпоров или чистпо мнимых полюсов регулятора (предназначенных для подавления конкретных возмущений — см. гл. 10). Их можно учесть, используя бесконечно малые полуокружности на С, построенные для того, чтобы остпавитпь особенностпь вне областпи Р. Для функций, интересных нам, интпеграл по полуохружностпи обычно стремится к нулю.
Это проиллюстрировано в примере С.б для логарифмичепсой характеристики, когда Р— ППП и имеетпся особенностпь в начале координата. ППП 9.3. Интегральные ограничения на дополнительную чувствительность Выражение (9.2.3) . относится к номинальной чувствительности. Естественный вопрос — существует ли подобный результат для других трех номинальных функций чувствительности.
Препятствие для такого расширения состоит в том, что логарифмы (Т„(з)! и фм(з)! не ограничены для больших значений ~з ~, потому что Т (з) и Ять(з) — строго собственные функции. (Вспомним, что К,(з) — бисобственная.) Мы можем обойти проблему в случае функции. дополнительной чувствительности, интегрируя ат ~18~Те(уьт)~.
Снова мы находим, что принцип сохранения справедлив и здесь. Конкретно это выглядит следующим образом. Лемма 9.3. Рассмотрим устойчивый контпур управления с одной стпе- пенью свободы' и передаточной функцией в разомкнутом состоянии С,(з)С(з) =е '~Ны(з) т > 0 (9.3.1) 264 Глава 9. Ограничения проекта в частотной области где й„— постпоянная скоростпи разомкнутой передапьочной функции, которая удовлетворяетп условию — = — 1пп 1, дТ(в) (9.3.4) й„ в- о сЬ 1 = — 11та т-ьо зН ь(в) Доказательство Заметим, что Т„(в) = (1+ Ноь(з) ье'") Рассмотрим функцию (9.3.5) (9.3.6) в2 Обратим внимание, что Р(з) аналипьичесхая в замкнутпой ППП, за исключением начала координата.
Применим х этной функции таеорему об интпеграле Коши С.7. Используем контпур, подобный похазаннаму на рис. С.4, вместпе с бесконечно малой правой полуокружностью С, в начале координат. Тогда мы имеем, что где С;- — мнимая ось минус полуохружность С,. Далее мы можем по- казатпь, используя (9.3.2), чтпо интеграл вдоль С, равен — п11т,,о — „, Также простпо доказатпь, что интпеграл вдоль С равен 2пт. Тогда результпапь (9.3.3) следуетп из использования сопряженной симметрии подынтпегралъного выражения в (9.3.3) и перестпановхи членов. 0стсь где Н ~(в) — дробно-рациоиальная функция с относитпельной стпепенью пг ) 1, удовлетворяюьцая условию Н ь(0) ь = 0 (9.3.2) Далее предположим, чтпо Н т(в) в разомхнупьом состпоянии не имеет нулей в отпкрыпьой ППП.
9.3. Интегральные ограничения на дополнительную чувствительность 265 Выражение (9.3.3) имеет такой же смысл, как и (9.2.3), потому что оно дает аналогичное понимание ограничений проекта. Лучше всего это видно из | 00 Г' /1~ кт — 1п~То(уот)~дго = / 1п То ~ —,) сЬ = — (9.3.8) о-ы о Й где и = Лемма 9.3 предполагает, что нет никаких нулей разомкнутого контура в ППП.
Результат может быть расширен на случай, когда имеются нули в ППП, как показано в следующей лемме, аналогичной лемме 9.2. Лемма 9.4. Рассмотрим устойчивый контур управления с одной сте- пенью свободы и передаточной функцией в разомкнугпом состоянии с' (в)С(з) = е. *гНы(в) с т > 0 (9.3.9) где Н г(з) — дробно-рациональная передаточная функция огпносигпель- ной стпепени и, > 1 и удовлетворяютцая условию Н„(О) = О (9.3.10) (9.3.12) Заметим, что ~То(уьт)~ = ~Т„(уа)~ и чтпо в а1пТ„(в) — аналитическая функция в замкнугпой ППП за исключением начала координат. Таким образом, 1пТ„(з) 1' 1пТ (в) Г 1пТ„(в) Г 1пТ„(в) (9.3.13) Доказательство Сначала определим М а=1 266 Глава 9.
Ограничении проекта в частотной области где С; — — мнимая ось минус полуокружность С, (в обозначениях рис. С.4 С; = С, 0 С;-). Тогда мм видим, используя (9.3.10), что интпеграл вдоль С, равен нулю. Заметим также, чтпо — ь ~- г ) — 1 ( ) ы )9.3.14) Первый интпеграл правой части исчезает, а второй может быть вычислен из в+с, 1 1+Ф (9.3.15) где з = ' и Сз — бесконечно малая полуокружность с движением т) проптив часовой стрелки.
Результат следует из тпого, что 1п(1+х) -+ х для ~х~ -+ О. С)С1П Мы видим из (9.3.11), что присутствие нулей (маленьких) в ППП делает компромисс в распределении дополнительной чувствительности по частотам более трудным. Заметим также, что исходя из (9.3.11), нули объединяются как сумма обратных величин нулей (подобно параллельному соединению резисторов в электротехнике). 9.4. Ограничение на чувствительность, определяемое интегралом Пуассона Результат, полученный в лемме 9.2, показывает, что чем больше вещественная часть неустойчивых полюсов, тем труднее обеспечить компенсацию чувствительности; однако по крайней мере, теоретически, компенсация все еще может быть достигнута на бесконечном диапазоне частот.
Когда включено действие неминимально-фазовых нулей, тогда ограничение становится более точным, как показано ниже в формуле Пуассона — Йенсена (см. лемму С.1). Далее нам будет нужно преобразовывать передаточные функции У(з), имеющие нули в ППП (при сь, й = 1,.",М) и/или полюсы в ППП (при р;;т = 1, 1т') в такие функции, как, например, 1п(Дз)), которые являются аналитическими в ППП. Прием, который мы будем использовать,— выразить Г"(з) в виде произведения функций, являющихся неминимально-фазовыми и аналитическими в ППП, умноженных 9.4.
Ограничение на чувствительность, определяемое интегралом Пуассона 267 Действительно, этот прием уже был использован при доказательстве леммы 9.2 и леммы 9.4 — см. (9.2.11) и (9.3.12). Тогда мы имеем следующую лемму, которая связывает (с весами) интеграл 1п ф„(альт)~ с расположением и нулей, и полюсов разомкнутого контура в ППП. Лемма 9.5 (Интеграл Пуассона для Я (уьт)). Рассмотрим хонтпур управлениц имеющий в разомкнутом состоянии нсминимально-фазовые нули, расположенные в точках сь = 'уь + убь, й = 1, 2,...,М, и неустпойчивые полюсы, расположенные в точках рырз,...,рту.
Тогда номинальная чувствительность удовлетворяет условию а длл вещеставенного неустпойчивого нуля, т. е. когда ба = О, выражение (9.4.2) упрощаетпся: 1п Фо(.тотН г мат — я 1п Фр(сь) ~ | 2.уь о Та+от для к = 1,2,...,М (9.4.3) где Вр(з) — произведение Блатаке, определенное в (9.4.1). Доказательство Сначала вспомним, что любой нсминимально-фазовый нуль разомкну- тлого контура должен быть кулем Т,(з) и, следовательно, Т,(сь) = О 4=~ Яе(сь) = 1 4=> 1пЯ,(св) = О (9.4.4) Заметим тпакже, что фунхция Я,(з) устойчива, но неминимальнофазовая, потому что ее числитель обращаетпся в нуль во всех неустпойчивых полюсах разомкнутого контура.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
