Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Один из общих выводов, который может следовать из вышеупомянутого анализа, †э то, что задача проектирования становится более трудной для больших неустойчивых полюсов разомкнутого контура и маленьких неминимально-фазовых нулей. Понятия «большой» и «маленький» берутся относительно величины требуемой полосы пропускания замкнутого контура. Замечание 9.2. Прилагаемый СР-ЯОМ включает две программы гтпах.тп и Ьаах.т пакета МАТЮКАВ для вычисления нижних границ чувствита«ьности и дополнительной чувсгпвитгльности в соответствии с некоторыми характеристиками полосы пропускания.
ППП 9.6. Пример компромиссов проекта Чтобы проиллюстрировать применение вышеупомянутых идей, мы рассмотрим пример перевернутого маятника. Это — учебный пример, но подобная динамика используется для стабилизации качки судна с помощью перекладки руля †. гл. 23. Мы рассмотрим два варианта действий: один †котором измеряется угол маятника и другой †котором это дополнительное измерение недоступно. Пример 9.4 (Перевернутый маятник без измерения угла). Рассмогприм систему, показанную на рис, 9.4. Дегпали моделирования этой системы даны в гл. 3.
Вспомним, что, применяя классические методы механики, мы получаем следующую (нглинейную) модель: у(т) — — +(д(т)) 1втпд(т)-двтпд(т)совд(т) 1 /Пг) 2 . (9.6.1) Л,„+вшгд(1) ~, т д(»)= . ( совд(т)-(О(т)) 1совд(г)вшд(1)+(1+Л )двшд(т) 1(Лп,+втпгд(г)) 1, т (9.6.2) где Л = М(т, а д — ускорение силы гияжести. 9.6. Пример компромиссов проекта 275 г(О Рис. 9.4. Перевернутый маятник Если вышеупомянутую нелинейную модель линеаризовать около рабочей точки дс1 = О, ус1 = 0 и Яс1 = О, мы получим следующую передаточную функцию от входа у" к выходу у: г'(з) (з — Ь)(з+ Ь) Р(з) з~(з — а) (з + а) Я (1+л )д К= —; Ь=)~-; а= И' ~1' 1Л (9.6.4) Мы видим, что имеется нсминимально-фазовый нуль, расположенный в з = Ь (который находится левее неустойчивого полюса, расположенного в з = а.
Это вызывает конфликт проектирования системы управления, потому что, с одной стороны, полоса пропусканил замкнутого контура должна быть меньше, чем Ь, но, с другой стороны, она должна быть больше, чем самый большой неустойчивый полюс, т. е. больше, чем а. Чтпобы оцеиить количественно влияние этого неразрешимого конфликта, мы зададим И = т = 0.5 кг, 1 = 1 м и приблизительно д = 10 м/сг. Эти значения дадут 1'(з) (з — МО)(з + ЯО) — 2 (9.6.6) Р(з) зг(з — ~/200)(з+ ъ/200) Наличие неминимольно-фазового нуля и неустойчивого полюса приводит к пикам чувствительности с нижними границами, которые могут быть вычислены на основе формул, представленных выше. Рассмотрим схематические графики чувствительности и дополнительной чувствительности, приведенные на рис. 9.3. В частности, вспомним определения юг, юв и е. Рассмотрим различные варианты для шг и щв при е = 0.1. 276 Глава 9.
Ограничении проекта в частотной области ° от~ = ЯО и тол = 100 — тогда выражение (9.4.16) предсказтивает Я„, > 432. В этом'случае юл намного больше, чем неустпойчивый полюс, таким образом, большая величина для границы получается иэ-за ьт~ = ЯО слишком близкой к'неминимально-фаэовому нулю.
° Когда го~ = 1 и отл = 100, мы имеем из (9.4.16), чтпо значение Я„, > 16.7, которое значительно меньше, чем в предыдущем саучае (хотя все еще очень большое), потпому что тпеперь та много меньше, чем неминимально-фазовый нуль. ° Если ол = 1 и отв = т/200, мы получаем из (9.5.5) Тша„> 3171 вследствие гпого, что аа, слишком близко к неустойчивому полюсу. ° Если от~ = 1 и ша = 3, мы получаем из (9.5.5), что Т > 7.2 х 10г. Этна огромная нижняя граница происходит из-за двух факгпоров: первый — тпо, что отл меньше неусгаойчивого полюса; второй — что от~ и отв очень близки. Рзз +Раз +Ртз+Ро з +Е, г+г, +Е, (9.6.6) где р, = -743 рт = — 472.8 рг = 7213.0 рв = 1690 5 — — 8278.9 — — 2682.3 41.5 Этот регулятор приводит к графшсам чувствительностпи и дополнитпельной чувствительности, изображенным на рис. 9.5.
Конечно, графики на рис. 9.5 показываютп очень большие пики, означающие, что проект слишком чувствителен к таумам, возмущениям, ошибкам моделирования и т. д. Легко проверишь, чтпо длл данного проектпа (использующего е = 0.1), где ал ю 0.03 и шй т 60, выражение (9.4.16) предсказываетп Я вк > 6.34, а выражение (9.5.5) — Т,„в„> 7.19. Из рис. 9.5 видно, что зти нижние границы у данного проекта дейстпвительно превышеньс Ключевым моментом здесь является то, чшо зти трудности являюгпся'характерными и не могут быть обойденсч Мы можем видеть из только что представленных значений чувствительности, что управление перевернутым маятником, когда измеряется только положение тележки, чрезвычайно трудно (и, вероятно, почти невозможно практпически). Альгпернативное объяснение этого требования, основанное на аргументах корневого годографа, дано на 1тгео-сайте.
%е6-сайт гпакже содержит следующий регулятор: 9.7. Резюме 2П 1о о то" 1о ' 1о' 1о' Частота ~рад/с~ Рнс. 9.5. Чувствительности для перевернутого маятника то' никаким проектом системы управления. (Предлагаем читпателю посмотретпь соответстпвующие реакции на ступеньку, представленные на Яеб-сайте и попробоватаь самому спроектироватаь лучший $1$0- регулятор. Читатпель, возможно, оценит трудность задачи, пробуя балансировать метплу на пальце, когда закрыты глазат7 ППП 9.7. Резюме ° Имеется целый класс ограничений проекта, которые связаны с характерными частотами.
Замечание 9.3. Читателю может показаться, чтпо трудность, с которой сталкиваются в вышеупомянутом примере, легко может бытпь преодолена, если создать некий виртуальный датчик для отпсутстпвующего измерения угла. Это можетп быть хорошей идеей в выборе закона управления. Однако в конце концов регуллтпор будетп иметь дело опять-таки с переменными 1 и у, т. е. мы опятпь возвращаемся к $1$0-контуру обрзтпной связи. Так что опять возникаютп идентичные проблемы! Читателю может показаться, что зтпи аргументы противоречат замечатаельному успеху, который мы получили в равд. 8.8.1, где говорилось об использовании датчика вертикального перемещения для оценки толщины полосы на выходе прокатного стана. Однатсо сущестпвенное отличие последнего случая в том, что там мы использовали дополнительную измеренную величину (силу), чтобы определить тполщину, тп.
е. изменили структпуру системы управления. Это не происходитп в случае перевернутого маятпника, когда мы пробуем оценитпь д с помощью у, потому чтпо не используютпся никакие новые измерения. ППП 278 Глава 9. Ограничения проекта в частотной области ° Таким образом, мы можем рассматривать закон Я(уи) = 1-Т(уот) на основе частотных соображений. Это означает, что никакая отдельная частота не может быть подавлена одновременно и в чувствительности Я(2от),и в дополнительной чувствительности Т(рот).
° Имеется, однако, дополнительный ряд соображений по проектированию, которые вытекают из так называемых интегральных ограничений в частотной области; см. табл. 9.1. ° В данной главе исследуется происхождение и природа этих интегральных ограничений и определяются их значения для реализации системы управления: о Ограничения — прямое следствие требования, чтобы все функции чувствительности были устойчивы. о Математически это означает, что чувствительности должны быть аналитическими в ППП комплексной плоскости. о Тогда из теории аналитических функций следует, что взвешенные ' интегралы частотной характеристики неизбежно постоянны. о Таким образом, если проектируется регулятор, чтобы иметь низкую чувствительность в конкретном диапазоне частот, то чувствительность обязательно увеличится в других диапазонах — следствие постоянства взвешенных интегралов; это явление также называется эффектом водяной кроеаптп.
(Надавливание на водяную кровать в одном месте поднимает ее в других местах.) ° Эти компромиссы показывают, что системами будет все труднее управлять, если о неустойчивые нули станут медленнее; о неустойчивые полюсы станут быстрее или о запаздывание станет больше. 9.8. Литература для последующего чтения Оригинальная работа Боде 1.
Войе, Н. (1945). Мегетогк аяа(увтв апй ~ееАЬаск аптр1тдег Ыевтуп. Чвл 1т1овсгапб, Хетт г'ог1с. Ограничения в частотной области 1. ггепоепЪег8, Л.Я. влй 1оове, В.Р. (1985). В18ЬС-Ьв11 р1апе ро1ев апб кетов апй бев18п ГгедеоКв 1п 1ее6Ьвс1с вув1егов. 1ЕЕЕ 21тттиасгтопв оп Анготпа1тс Соя1го1, 30(6):555-565. 2.
ггеит1епЬег8, З.Б. апд Брове, В.Р. (1988). Егедиепсу Вотатп Ргорег1тев о~ оса1аг апА лви11теогйтЫе Ееейасй Яувгептв. Ъесгпге Хеген ш Соп1го! апй 1п1оппайоп Яс1епсев, Чо!. 104, Ярппйег-Чег1а8, Хетт Уог1г. Я % ооО о р ~~~~х ц ОФ' 1305 о 8 о о И Я й О о о 6! ч ощ до о ~ 1 ~й Щ Я .О '8 о о Д Я о ~~ ойй ~ ок~ О оИ $~о Щ ф о ~«т ЦоФ Д й Х и а о 280 Глава 9.
Ограничении проекта в частотной области 3. Яегоп, М.М., Вгав1ачв1су, 3.Н., апй Соойиь!и, С.С. (1997). Рипйатеп!а! !ьтьта!ьопз ьп 1ь!!еипд апй соп!го!. Ярг!пйег-Чег!а8. 4. Евхпев, С. апй Ргапспи В.А. (1983). РеейЪас)с, пппппах вепв!с!ьпгу, апй ар!!та! гоЬпзспезв. 1ЕЕЕ' 71апзас!ьопз оп Аиьотанс Соп!го1, 28(5):585-601.
Теория комплексного переменного 1. С1шгсР611, В,Ч. апй Вгоьчп, д.'тт'. (1990). Сотр!ех Чатьаб!ез апй Аррйсанопз. МсСгаьч-Н!11, Хеиь Уог1с, 5ьв ей!Ф!оп. 2. Кгхуг, Л.С. (1971). РгоЫетз ьп Сотр!ех ЧапаЪ!е Т!ьеогу. Е1веч1ег, !с!еиь Уог1с. 3. 1еч!пвоп, Х. апй НейЬеКег, Н.М. (1970). Сотар!ех !1апаб!ез. Но1йеп-Рау, Яап Ргапс!всо. Общие проблемы проектирования 1. Роу!е, д.С., Ргапс!в, В.А., апй ТаппепЬашп, А.Н.
(1992). Реейбас/с Сопнн1 Т1ьеогу. Маспп1!ап РиЬйвййп8 Сотрапу. 2. Я)сойевсай, Я. злй Розг!есЬьчьь!се, 1. (1996). Ми!!ьеапаЫе РеейЬас1с Соп!то1: Апа!узьз апй Везьуп. %!1еу, Хеиь Уог1с. 3. Ногоиь!Сх, 1. (1963). Яупйезьз о1 Реейбасй Яуз!етз. Асайеппс Ргевв. [Имеет9я русский перевод: А. М. Горовиц. Синтез систем с обратной связью.— Мн Советское радио, 1970.] 4. Ногоиь!сх, 1. апй ЯЬа)сей, 11. ь,'1975).
Япрепог!Су о1 Сгапв1ег 1ппсг1оп очаг в!ага-чзпаЫе ьпеьЬойв !и 1!певг, сЬпе-!очаг!апс ГеейЬзс!с вувгеьпв йев18п. 1ЕЕЕ 71тьпзас!ьопз оп Аи!ота!ьс Сои!го1, 20:84-97. 9.9. Задачи для читателя Задача 9.1. Рассмотрим замкнутый контур управления, где 0,(з)С(з) = 9 (9.9.1) 9.1.1. Проверьте лемму 9.1 прямым вычислением интеграла (9.2.3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
