Сегерлинд Л. Дж. - Применение метода конечных элементов (1051193), страница 41
Текст из файла (страница 41)
прерывным, но оно отклоняется от истинных значений в центре и на границе области. Значения, полученные с помощью модели из четырех кубичных треугольников, тоже непрерывны, но они равны нулю в центре квадрата и правильно отражают распределение напряжений вблизи границы области. Значение в точке х=0,25 см получено усреднением по трем значениям тр,. Применение элементов высокого порядка уменьшает не только количество требуемых данных, но и размер результирующей системы уравнений. Десять уравнений были решены в случае одно- элементной модели, для четырехэлементной модели решалась система из 28 уравнений. В обоих случаях число уравнений меньше 45, т. е. меньше числа уравнений, полученных при использовании симплекс-элементов.
Кроме того, при использовании элементов высокого порядка отпадает необходимость в применении теории согласованных результантов элемента. Таким образом, исключается из рассмотрения еще одна система из 45 уравнений. В результате сокращения числа уравнений уменьшаются время решения их на ЭВМ и объем требуемой машинной памяти. З1В Глава уо 16.2.2, Распределение температуры вблизи кабеля Задача, в которой рассматривался кабель, помещенный в теплопроводящую среду, была решена в гл. 8 (фиг. 8.6), причем исходная область разбивалась на 96 элементов с 65 узлами. Эта область была рассмотрена с применением разбиения на четыре Кабв Ка Х лиг. 1б.б, Четырехугольные элементы, используемые при исследовании переноса тепла вокруг кабеля.
квадратичных четырехугольных элемента, а также разбиения на два кубичных четырехугольных элемента. Эти элементы были расположены (фиг. 16.5) так, чтобы кабель находился в узле. Сравнение результатов, полученных для трех различных моделей, проведено на фиг. 16.6, где показано распределение температуры вдоль линии у=4 см. Модель, использующая симплекс-элементы, и модель из четырех четырехугольных элементов дают по существу совпадающие результаты, тогда как двухэлементной модели соответствуют меньшие значения температуры в точке расположения кабеля и на оси симметрии (правая граница области) и ббльшие значения температуры на отрезке от 0,25 до 1,5 см.
Температура кабеля равна 21,8, 21,1 и 20,4'С соответственно для модели, использующей симплекс-элементы, четырехэлементной и двухэлементной моделей. Как видно, различие в приведенных значениях температуры кабеля несущественно, а значения температуры в точках верхней границы области, вычисленные по трем моделям, отличаются не более чем на 0,5'С. Модель из четырех четырехугольных элементов, видимо, точнее двухэлементной, так как на большой части первого элемента в двухэлементной модели температура получается постоянной 319 Элемента высокого нарядна Машинная реализации (15'С), что затрудняет моделирование изменения температуры вдоль линии, проходящей через точку расположения кабеля.
В случае четырехэлементной модели зона постоянной температуры отделена от кабеля. В результате использования элементов высокого порядка опять наблюдается значительное сокращение числа уравнений. Так, для 1 х, слт Фиг, )6.6. Распределение температуры в горизонтальной плоскости, содержащей точку расположения кабеля. — еннплехе-элементы; — — — четыре четмрехугольмых элемента; — ° — яна четырех- угольных элемента. четырехэлементной модели необходимо решить систему из 23 уравнений, для двухэлементной модели это число равно 19 вместо 65 уравнений для модели, сконструированной с использованием симплекс-элементов.
16.2.3. Концентрация напряжений в зоне выточки Анализ концентрации напряжений в зоне выточки при растяжении детали конструкции (фиг. 12.4) был проведен с помощью четырехугольных квадратичных элементов. Причем были взяты те же элементы, которые использовались для предварительного разбиения области прн генерировании исходных данных элемента для симплексной модели (фиг. 12.5). Значения главного напряжения ое на концах области и в зоне выточки, соответствующие четырехэлементной модели, показаны иа фиг.
16.7. Средние по узлам значения о на правом и левом концах детали составляют 219!8 и 43952 Н/сма соответственно, что близко к истинным значениям 22000 н 44000 Н/см'. Однако в зоне выточки получаются сомнительные значения о. Во-первых„ Зза Глава 1б значения о„„и о„„в вершине прямого угла не равны нулю, как это должно быть на самом деле, а составляют величины порядка 2000 Н/см'.
Узловому значению верхнего из узлов, общих для третьего и четвертого элементов, соответствуют два числа, отличающихся между собой примерно на 15000 Н/см'. Все это пока- 21 2!5 5994 4491 2 ВВВ 2599 — ъ 229 Фиг. 16.7. Некоторые значения о, для модели из четырех элементов в виде четырехугольников. зывает, что данное разбиение области на элементы еще не достаточно мелкое. Величины напряжений вдоль криволинейной границы выточки очень сильно изменяются, и для моделирования этих значений двух уравнений явно недостаточно. Наибольшее значение о, получается порядка 67000 Н/см'. Это соответствует коэффициенту концентрации напряжений 1,52, что отличается от принятого значения 1,42 на 7%. При более мелком разбиении области на элементы можно ожидать получения более точных значений напряжений.
Определение координат узлов и перфорирование исходных данных при более мелком разбиении требует больших затрат времени, так что применение элементов высокого порядка больше не ускоряет решение проблемы. Решение, данное в гл. 12, видимо, самое простое, и нужно отдать предпочтение именно ему. Использование большого числа малых простых элементов также дает возможность аппроксимировать перемещения вдоль границы выточки с достаточной степенью точности. Главный недостаток в использовании симплекс-элементов состоит в необходимости решать еще одну систему уравнений для получения узловых значений компонент напряжений.
16.3. Криволинейные границы Размещение узлов при задании формы элемента и определение узловых значений 1/1в>1 не составляют большого труда, когда границы элемента прямолинейные. Однако наличие напряжений или конвективного теплообмена на криволинейных границах резко Элемента высокого порядка. Машинная реализация усложняет определение (/пй) и ~Ые~). Распределение поверхностной нагрузки по узлам одинаково ('/в з/з, т/в или '/з, з/з, з/з, '/в в случае квадратичного и кубичного элементов), но длина границы должна быть использована в расчетах.
Вычисление длины криволинейной границы и составляет содержание данного раздела. Математически длина дуги определяется интегралом в "=~1/' +(Ф)' ° (16.1) а где у=/(х), а точки а и Ь соответствуют границам дуги. В соотношении (16.1) суммируются длины с(Ж, каждая из которых вычисляется по формуле с(Ю =Нхз+с(уз. Интегрирование в (16.1) может быть заменено приближенно вычислением длины с(в5 для каждого малого приращения х с дальнейшим суммированием по всем приращениям. у а Х,Х Ь Фиг.
16.8. Аппроксимация кривой с использованием четырех узлов. у, 1 з Уз У, (16.2) у= 1/з~з А'з А/з /те) Для вычисления приращения длины дуги с(Ж можно исполь. зовать одномерные функции формы. Рассмотрим кривую у=/(х) на фнг. 16.8 с определенными граничными точками а и Ь. Если кривая аппроксимируется кубичным полиномом, необходимы два дополнительных узла. Расположим их так, чтобы они делили кривую между точками а и Ь на участки равной длины. После того 'как значения у в четырех узлах Уь Уз, Уз и Уз определены, аппроксимирующее соотношение для у записывается в виде 322 Глаеа 16 Следующий шаг состоит в делении оси х на отдельные отрезки (числом от 50 до 100) и вычислении длин дуг, соответствующих каждому отрезку оси, по формуле дХ =),Г(Х1 — Х,)'+ (уз — у,.) . (16.3) Задачи 169.
Напишите программу для определения длины кривой, которая аппроксимируется кубичным одномерным элементом. Проверьте программу, рассматривая кривую у=2+х' на отрезке от х=1 до х=2. Сравните результаты вычислений по программе с результатами, полученными по формуле (16.1).
Сложение длин всех этих дуг дает длину дуги кривой в целом. Итак, в случае криволинейной границы возникает необходимость определения координат одной или двух точек, которые делят кривую на два или три участка равной длины. Расположение этих точек может быть определено в результате запоминания накапливаемых приращений длины дуги по х. Как только полная длина дуги станет известна, сравнительно просто пройти отрезок в обратном направлении и найти две точки на оси х, между которыми должен располагаться узел. Далее, считая изменение функции между этими двумя точками оси х линейным, определяем х-коордннату узла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
