Сегерлинд Л. Дж. - Применение метода конечных элементов (1051193), страница 37
Текст из файла (страница 37)
14.3, показывает, что недостающие формулы могут быть легко получены. В табл, 14.2 приведены точки интегрирования для тетраэдра, используемые прн численном ннтегрнрованнн. Задачи 146. Определите функцию формы Уа для кубнчного элемента. 147. Определите функцию формы У„для элемента четвертого порядка в задаче 143. 148. Получите матрицу Якоби для элемента в задаче 144, нспользуя для задания формы элемента квадратичные функции формы. !49. Получите матрицу Якоби для элемента, показанного ниже. К задаче 149. 150. Используя квадратичный ннтерполяцнонный полнном, вычислите частные пРоизводные дУа(дх н дУе/дУ во внУтРенней точке (4, 3) элемента, изображенного ниже.
Глава 14 151. Вычислите дй!е/дх и дй!е/ду для элемента задачи 150. 152. Определите численно интеграл по объему элемента из задачи 150 от произведения величин д№/дх и дй!в/ду. Результат- сравните с соответствующим значением, полученным путем точного интегрирования. К ввдече !60. 153. Вычислите численно интеграл по объему элемента нз задачи 150 от произведения величин д№/дх н дУе/ду. Результат сравните со значением, полученным путем точного интегрирования. 154.
Покажите на конкретном примере, что при рассмотрении линейного треугольного элемента достаточно одной точки интегрирования для того, чтобы вычислить интеграл от произведения величин дйгг/дх и дЖг/дх. 155. Напишите подпрограмму, которая сможет вычислять .все частные производные от функций формы по х и по у, если интерполяционная функция квадратична, а геометрия элемента может быть описана линейными функциями формы. ЛИТЕРАТУРА !. Нвпппег Р. С., Мвг!огее О. Р., и!гопг! А. Н., !Чпгаег!св! 1п!еягеиоп оеег 8!тр!е- хее впг! Сопев, Ма!Аетаисв Таыел АЫв Сотр., гО, !30 — !37 (!930).
Глава 15 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 15.1. Линейный четырехугольный элемент Интерполяционный полипом для прямоугольного элемента с четырьмя узлами имеет вид (15.1) <р =а1+ а,х+ а,у+ а4ху. Вместо членов х' или у' здесь оставлено произведение ху, потому что оно гарантирует линейное изменение ~р вдоль каждой линии, где постоянны х или у. Пронумерованные узлы и расположение системы координат показаны на фиг. 15.1.
В узлах должны быть выполнены следующие условия: при х= — Ь. при х=Ь, при х=Ь~ при х= — Ь. у= — а, у= — и, у=а, у=а. До сих пор применения метода конечных элементов были связаны с использованием одномерных линейных элементов, двумерных треугольных элементов и трехмерного тетраэдра. Теперь рассмотрим новую группу элементов: двумерный четырехугольник н трехмерную призму. Четырехугольный элемент представляет собой мультиплексэлемент. Границы такого элемента должны быть параллельны координатным линиям для сохранения непрерывности при переходе от одного элемента к другому.
Прямоугольный элемент является специальным случаем четырехугольника. Свойства прямоугольного элемента служат основой для применения криволинейной системы координат, необходимой при использовании четырехугольного элемента. Прямоугольный элемент рассматривается в первом разделе, а затем полученные результаты обобщаются на случай линейных квадратичных и кубичных четырехугольных элементов.
Глава 1Б Подстановка этих выражений в формулу (15.1) приводит к системе четырех уравнений, которые могут быть решены относительно а: Фт + Фз + Фз + Фз Яз= 4 — Фз + Фз + Фз — Фз Яз = 4Ь В вЂ” Фт — Фз+ Фз+Фз 4а з— Я= ' '+ 4 4аЬ Фнг. !5.1. Прямоугольный элемент. Если положить Ф1=Фз=Фз=Ф4=С, то а~=С и аз=аз=аз — — О. Таким образом, критерий сходнмости выполняется. Подставим яр в исходное соотношение н преобразуем его к виду зр=Ж,Ф,+Лl Фз+Л/зФз+Л1зФз=[М[ [Ф), (15.2) где Л' 4 Ь (Ь вЂ” х)(а — у), Л~з= 4аь (Ь+х)(а — у), 1 1 Л[,= 41 (Ь+х)(а+у), Л[,= 4„', (Ь вЂ” )(а+у) Одно из главных различий между этим элементом и симплепсэлементами состоит в том, что градиенты теперь не постоянны, а меняются линейно вдоль одного из координатных направлений. Например, — =и + а,у и — =аз+ азх. дйз дх дэ 291 Четырелугольные элементы Ерадиент в направлении оси х постоянен вдоль оси х, но меняется ,линейно по у, и, наоборот, д~р/ду постоянна по у, но линейно из.
гаеняется вдоль оси х. (-.1 11, -1! Фиг. 1о.2. Система координат 5Ч для прямоугольного элемента. Полученные результаты для прямоугольного элемента могут быть записаны в безразмерной форме с помощью отношений х/Ь и у/Ь. Начнем с Ф1. Фз = — (Ь вЂ” х) (а — у) = — ! 1 — — ) 111 — — р 1 4аЬ 4 т Ь /1 а/' где Если обозначить эти отношения как л у — и т)= —, Ь а ' (15.3) то функции формы в соотношении (15.2) могут быть представлены в виде произведений безразмерных координат ф Л г рг + ~Рз+ ~зг з+ Л аг! 4г где 4 ( )( 1)' з 4 й/, = — (1+ $) (1+ т1), /у, = — (1 — $) (1+ т1), (15.4) Схематически этот элемент показан на фиг.
15.2. Введенная толь- ко что система координат называется естественной системой коор- динат, потому что координаты при этом изменяются в диапазо- не ~1. Глава !б ма коо Совсем не обязательно требовать, чтобы естественная си истеоординат была прямоугольной, она может быть и криволинейной. Использование криволинейной системы координат позволяет изменять ориентацию сторон четырехугольника относительно си- 14 ')* ' й=п Фиг. !5.3. Четырехугольный элемент общего вида.
гр! =Л>~ Фх+Л'й Фх+Л>~ Фэ+Лх Фв >Р!э> =Л>гэ>Фв+ Л>эгэ>Фе+ Л>П>Фх -1- Л>хм>Ф> (15.5) где Л>аг> определена в (15.4). Так как мы интересуемся тем, что происходит на границе между двумя элементами, можно положить стемы координат ху, при этом требование непрерывности будет удовлетворяться.
Пример четырехугольного элемента общего вида показан на фиг. 15.3. Началу координат соответствует точка пересечения двух линий, делящих пополам противоположные стороны элемента (штриховые линии на фиг. !5.3). Линия, соответствующая й=>/э, также показана на фиг.
15.3. Эта линия не параллельна оси т>, она проходит через средние точки с и е( отрезков верхней и нижней сторон четырехугольника, ограниченных линиями й=О и й=1. Функции формы для элемента, показанного на фиг. 15.3, идентичны функциям формы, представленным формулами (15.4). Заметим, однако, что теперь нельзя получить частные производные дЛ/>,'дх и дЛ/р /ду непосредственно. Необходимы еще формулы преобразования координат, чтобы связать систему $» с системой ху. Сохранение непрерывности вдоль границ между элементами— главное преимущество системы й».
Стороны четырехугольников при этом не должны оставаться параллельными координатным линиям системы ху. Непрерывность вдоль границ между элементами может быть доказана рассмотрением двух смежных элементов (фиг. 15.4). Запишем интерполяционные полиномы для каждого элемента: .293 Четырехугольные элементы Л((п — 11+ 5(п], 2 Г15.6) ЛГ<п = ЛГ<'> = О 6 Фиг.
15.4. Четырехугольные элементы е общей границей. для первого элемента и Л/<т>=0 =Л($т>, ЛГ(т = — !1+$(т)1, 3 2 Г15. () ЛГ = — '1! — 1('>1 для второго элемента. формулы для (р<'> и <р<а> упрощаются: <р<п =Л(<пФ(+ ЛГД>Ф„ Г15.8) <рв)=ЛГ<вФ + ЛГ<т>Ф . С учетом выражений для функций формы получаем (р<'>= — 111 — э<'))Ф,+11+У')) Ф,), !15.9) рэ)=~+!!+й )Ф,+11 — й )Фф ()<о= — 1 и т)<э>=! в выражениях для соответствующих функций формы. При этом получаются следующие выражения: Л(п = 2 11 — УЧ. Глава 13 Замечая, что в каждой точке границы выполняется очевидное равенство $п1=й<в>, можно переписать формулу для фв~ в виде рги= — 111+1 )Е,+11 — и 1бу,) = р .
115.1б) 2) Таким образом, скалярные величины непрерывны вдоль границы двух смежных элементов. Непрерывность векторных величин тоже может быть доказана, хотя это доказательство несколько сложнее. Итак, была введена криволинейная система координат $т) и доказана непрерывность величин вдоль границы смежных элементов. Теперь можно рассмотреть четырехугольные элементы с более чем четырьмя узлами.
15.2. Квадратичные н кубнчные четырехугольные элементы Четырехугольные элементы, обсуждавшиеся в предыдущем разделе, называются линейными, потому что им соответствуют интерполяционные полиномы, линейные по $ вдоль линий и=сопит и по т1 вдоль линий $=сопз1. В этом разделе рассматриваются четырехугольные элементы, содержащие 8 и 12 узлов. Такие элементы называются соответственно квадратичными и кубичными элементами, так как их интерполяционные полиномы являются квадратичными или кубичными функциями вдоль линий й=сопз1 и т)=сопз1.
Существуют элементы, содержащие более 12 узлов, или элементы с числом узлов от 8 до 12, но они не обсуждаются здесь. Элементов трех типов, которые мы рассматриваем, вполне достаточно как для иллюстрации основных понятий, так и для большинства расчетов. Интерполяционные полиномы соответственно для квадратичного и кубнчного элементов (фиг. 15.5) записываются~в виде Ф=аг+ авй+ аэт)+аль)+ аэУ+ авт)в+а,Рт)+ аэЬ)в (15.11) Фиг. 1З.эб. Квадратичный и кубичиый четырекугольиые элементы. Четырехугольные элементы и гР=ат+азс+ ссзЧ+ аззЧ+азз +азЧ +атс Ч+ аз1Ч~+ + аз1з+ а,от1з-!- атт1зЧ+ атз$Чз. (15,12) Функции формы для этих элементов представляют собой полиномы, идентичные по форме (15.11) и (15.12).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
