Сегерлинд Л. Дж. - Применение метода конечных элементов (1051193), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Задачи 129. Получите выражение для функции формы кубичного элемента и проверьте соотношение для Уь данное на фиг. 13.3. 130. Определите функции формы для квадратичного элемента, когда узел 1 расположен от узла 1 на расстоянии, равном Ь/3. Удовлетворяют ли эти функции формы критериям сходнмостн? !31. Решите задачу о переносе тепла в стержне (пример 127), используя один кубичный элемент. Сравните найденные значения температуры с аналитическим решением (приведенным в примере 127) и оцените точность такой одноэлементной модели.
132. Проверьте функции формы квадратичного элемента, данные на фиг. 13.5. 133. Вычислите аУ;/Нх при х=80 см для квадратичного элемента, который имеет узловые координаты Х;=0,25 см, Х?=0,75 см и Ха=1,25 см. Вычислите а%/ах с помощью естественной системы координат и сравните результат со значением, полученным с помощью функции формы, данной на фиг. 13.3. Элементы высокого порядка. Одномерный влеменг 269 134.
Вычислите с!Аг;/дх в точке х=0,3 см для квадратичного ~лемента с узловыми координатами Х;=0 см, Хг=0,25 см и Х,=0,5 см с помощью естественной системы координат и сравните результат со значением, которое получается при использовании функций формы, данных на фиг. 13.3. 135. Вычислите поверхностный интеграл ) 1511гс75 для кубнч- 3 ного элемента. 136. Вычислите поверхностный интеграл ~ЬТ ')51 )гйЗ для одномерного элемента, учитывая линейное изменение коэффициента теплообмена Ь от нуля в узле 1 до йе в узле й.
Периметр Р считать постоянным по длине. 137. Вычислите 1я<г>1 в случае, когда для определения температуры используется линейный интерполяционный полипом, а для задания площади поперечного сечения применяется квадратичная интерполяция. 138. Проинтегрируйте численно функцию Я) =1+25+5г на отрезке от — 1 до 1. Сравните результат со значением, полученным аналитически. 139. Проинтегрируйте численно функцию Я)=2$в+$л на отрезке от — 1 до 1. Сравните результат со значением, полученным аналитически. 140.
Измените программу ТРНЕАТ так, чтобы она использовала квадратичный элемент для решения одномерных задач о стержне. 141. Напишите подпрограмму, которая вычисляет йЧ6Ях в заданной точке (координата точки вводится) для линейного, квадратичного илн кубичного элементов. Функции формы должны быть выражены в естественной системе координат. ЛИТЕРАТУРА 1.
Соп!е Б. О., Е!егаеп1агу !Чапег!са! Апа!уяв, Мсбгаы-Н!!1, !Ч. У., 1966. 2. Кгеувх!д Е., Айеапсед Епя!пеег!пя Майтепха!!св, 3-гй ед., !У!1еу, Н. 'г'., 1972. З. ЦГ!Шагов Р. %., !Чшпег!са! Согарп!а!!оп, 1Че!воп, !гоп М111, Сап., 1972. Глава 14 ТРЕУГОЛЬНЫЙ И ТЕТРАЭДРАЛЬНЫЙ ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА Треугольные н тетраздральные элементы нам уже знакомы. Простейшие из этих элементов широко использовались в первой половине книги. Теперь опять рассмотрим эти элементы в свете той информации, которая дана в гл. 13, и особое внимание уделим квадратичным и кубичным интерполяционным полиномам. Естественные системы координат для треугольного и тетраэдрального элементов определены в гл. 3 и использовались в главах прикладного характера. Каждая координатная компонента для треугольного элемента представляет собой отношение расстоянии от выбранной точки до одной из сторон треугольника к высоте, опущенной на ту же сторону.
Координаты треугольника обозначались через Т.ь Т,з и Т.з Эти трн величины не являются независимыми, они связаны между собой соотношением Ь,+Ц+Е,=1. (14.1) Интегральные формулы, используюшие эти координаты, были введены в гл. 3 и нашли широкое применение в главах прикладного характера. Каждому типу треугольных элементов соответствует интерполяционный полипом определенного порядка. 'Квадратичный треугольный элемент, например„содержит шесть узлов (фиг. 14.1,б); интерполяционный полипом для него имеет вид у =ат+ а,х+ азу+ а4х'+ а,ху+ а,у'.
(14.2) Интерполяционный полином для кубнчного элемента представляется суммой членов, содержащихся в формуле (14.2), и всех кубичных членов: ~р =а, + а,х+ а,у+ а,х'+ а,ху+ а„у'+ атхз+ +азх'у+а ху'+а, уа. (14.3) Кубичные треугольники (фиг. 14.1,в) отличаются от всех ранее рассмотренных элементов тем, что имеют внутренний узел. Все элементы более высокого порядка, чем квадратичные, имеют внутренние узлы, т. е. узлы, расположенные внутри элемента. Величины а~ в формулах (14.2) и (14.3) могут быть определены методами, изложенными в гл. 3.
Алгебраические операции прн 271 Элементы еыгокого порядка: треугольник и гетраэдр этом, однако, становятся более сложными, так как число узлов возрастает. Более предпочтительным оказывается непосредственное получение функций формы. Использование естественной системы координат значительно упрощает эту операцию в случае тре- а 1 2 1 б е Фнг, 14.1. Линейный (а), квадратичный (б), кубнчный (е) треугольные элементы.
угольного элемента. Мы начнем обсуждение треугольных элементов высокого порядка с рассмотрения непосредственного получения функций формы. 14.1. Функции формы для элементов высокого порядка Определение функций формы для треугольных элементов высокого порядка упрощается тем, что имеется возможность проводить линии, перпендикулярные л.-координатам, каждая из которых пеРесекает ряд узлов (фиг.
14.2). Эта особенность сохраняется независимо от числа узлов, которые содержит треугольник. Общая формула для вычисления функции формы имеет внд п ре Ув=п г (14.4) 4-1 РЫЦ Сг. 1., где п — порядок треугольника, а ге — функции от ьь ьг и Лг. ПоРядок треугольника и определяется как величина, на единицу меньшая числа узлов на стороне треугольника. Квадратичный тРеугольник имеет три узла на стороне и поэтому является эле- ментом второго порядка. Глава 14 Функции Рз определяются из уравнений п линий, которые проходят через все узлы, за исключением узла, для которого определяется функция формы.
Если рассматривается уравнение прямой Фнг. 142Ь Перпендикулярные Ь) линии, которые прохо- дят через все узлы. Л) с, то Рэ=С< — с. Знаменатель (14.4) есть значение Рз, определяемое с помощью координат узла р (узла, в котором вычисляется й<р). Фнг. 14.3. Фувкплн формы длв линейного (а), квадратнчного (о) н кубнчвого (а) треугольных элементов. 2 В) а<1 У.ь 9<2 <Е, а<в Дв; Е) Ч, - Ьв<22„- О, № Вьвгэ № ьв<2<е- Н, в<в-в<9<,, э<в Св<зьэ — 1), <те Вхвхв; в) №= — Ь,<вгв-)) <22,-2), 1 2 № = — с,,<а<и.в — Н, 9 2 № = — „Ь,хэ<взв -1) 9 и,- — Ьивз,- и <в<.,-2), 1 2 э<в — <эьвыгв — <Ь 9 2 № — 7-эхе(329 — 1), 9 2 № — <е<взв — П <З< в — 2), 1 2 Э<в — 1 э Ьв <Ззв — О, 9 2 в<в — Ьв| в<ЗЬв — 1). 9 2 №в - 2)Ь,<9<в.
Элементы высокого порядка: треугольник и тетраедр функции формы для линейного, квадратичного н кубнчного. треугольных элементов приведены на фнг. 14.3. Определение этих функций иллюстрируется на следующих примерах. Пример 142.
Требуется определить функцию формы й1~ для кубнчного ' треугольного элемента. тз К задаче 142. Кубнчный треугольный элемент имеет четыре узла на стороне. Следовательно, это элемент третьего порядка, а=4 — 1=3. Нужно найти трн линии, которые проходят через все узлы, за нсключеннем первого узла. Это сделать очень легко, н необходимые линии показаны на фигуре.
Уравнения этих линий: 11=0, Е1 = '/з н ~1=ай. Функции Р имеют внд Рз=Ц вЂ” О =Тч, 1 31!-1 Ра=Ь,— — = 3 3 2 31.,-2 Ра=Ц вЂ” — = 3 3 Вычислим значения функций Ро в первом узле 111=1, Аз=Аз=О): Рю1ь о, о=1. 3.1 — 1 2 Рз1ь а, о= = — г 3 3 ! РзГЬо,о= 3. Глава 14 Подставляя найденные величины в формулу (14.4), получаем или ПРимеР 143. Требуется определить функцию формы й/!з для треугольного элемента четвертого порядка. К задаче 143. Так как порядок элемента равен четырем, нужно найти четыре линии, которые проходят через все узлы, за исключением узла 15.
Три из ннх соответствуют сторонам треугольника /.~ — -О, Ьз-— О и /з=О. Четвертая линия проходит через узлы 12, 13, 14 и 6. Уравнение этой линии Ьз='/4, функции Ра имеют вид Р,=Ь,, Рз=Ц, Рз= ~з 4ьз — 1 Р,= —. 4 После подстановки этих выражений в формулу (14.4) н учета координат 15-го узла ('/и '/и !/з) имеем /у й "6 (1 Ьз Ьз аз — 1 зз а 1 Ра,, (!/4) (1/4) (1/2) 4/(114) Элеиенты высокого порядка: треугольник и гвтравдр нли !У~ =321.~Ц1 (47. — 1). Матрица Якоби имеет вид дх дйг ду дтп [7) = (!4.6) дх ду дЕ~ д!.ь Поэтому А~в д!и дМр дх =[
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
