Сегерлинд Л. Дж. - Применение метода конечных элементов (1051193), страница 34
Текст из файла (страница 34)
В этом разделе будет продолжено рассмотрение квадратичного элемента. Матрицы элемента выражаются интегралами Глава 18 Порядок квадратурных формул, используемых для вычисления данных интегралов, зависит от порядка полнномов в пронзведеннях [В1 "[Й1[В1 н [У)г[УД. Произведение [Л1г[У1 содержит полином более высокого порядка, так как [В1 связано с днфференцнрованнем [тт1. Поскольку Уз=7(кв), произведение Узгтт будет со- Фнг. 13.7. Точки ннтегрнровнннн квадратуры Гаусса— Лежандра.
л — точки иитегрироиииии Кли л=р; б — точки иитегрироиеиии кле л=в держать К в четвертой степенн. Порядок квадратуры Гаусса— Лежандра и определяется нз равенства 5 2п — 1 =4, и= —, 2 ' Так как н должно быть целым, выбираем а=3 для интегрирования произведения [У)г[М1. Для интегрирования выражения [В1т[0ЦВ1 достаточно квадратуры второго порядка гг=2, поскольку это пронзведеняе содержит члены степени не выше, чем 5т.
Для вычисления интеграла (13.39) также может быть нспользована квадратура второго порядка. Последовательности арифметических операций прн вычислении интегралов, содержащнх,[В1г[0ЦВ1 н [У1т[М1, почти ндентнчны, поэтому только один нз ннх заслуживает детального рассмот- 261 Элементы высокого порядки Одномерный элемент рения. Рассмотрим интеграл от [А/]'[А/], так как для него весовые коэффициенты Нс не равны единице.
Используя данные табл. 13.2 при о=3, получаем 1 з ~ПЮ) Л=~) Н,/(1/) или ~/(1) Л=/(1,) Н, +/(1,) Н, +/(5,) Н„ (13.40) где Цт = — 0,774597, яг =0,0, $ =0,77459?, Нт = 5/9, Н =8/9, Н,=5/9. Подынтегральная функция /Д) в данном случае имеет вид / (1) = [У[" [У! ! бе1 ! [ /! !. (13.41) Применим тот же элемент, который был рассмотрен в примере 128, что позволит воспользоваться результатами предыдущих расчетов.
Мы уже знаем, что [Х] ='/м,[У]-'=2. Абсолютное значение определителя [/] равно '/г, и функция /(с) ='/я[У] [У], поэтому 1 1/($) Л=Ф ([А/(5 )!" [А/($.)! Н.+ 1 + [Ж ($,)[г [А/ ($,)! Н, + [А/ ($г) [г [Ф ($г)! Нг). 0,687299 0.400000 — 0,087298~ /(1,) [/У)г [Н! [0,687299 0,400000 — 0,087298! Вычислим произведения вида [у($)]г![у($)].
Начнем с точки з1 = — 0,774597. А1, ($,) = — + (1 — $т) = ' (1+ 0,774597) =0,687299, /Уу (1,) =(1 Вт) (1+ Вт) =0,400000, А/»(йт)= 2 (1+1,)= — 0,087298, Элементы еысокого норддка. Одномерный элемент 263 г[тсюда получаем О,! 333 0,0667 — 0,0333 0,0667 0,5333 0,0667 .
— 0,0333 0,0667 0,1333 В равд. 13.2 были получены точные значения для рассматриваемого интеграла с помощью соотношения (13.16). Только что вычис„тенные значения хорошо согласуются с точными значениями при 7.=1 и ЬР=1. В табл. 13.3 приведен порядок квадратуры, необходимый для получения точного результата для одномерных элементов, пред'ставленных на фиг. 13.5.
Таблица 18.8 Порядок квадратуры Гаусса †Лежанд для одномерных элементов [д[т[н1 [В[т[ни[ [н[т Линейный Квадратичный Кубичный ') В случае линеакого элемента нет необкодимости интегрировать [В[ [В[. так «ак зто ироизведенне содержит только константы. 1З 5. Субпараметрические, иэопараметрические и суперпараметрические элементы Функции формы, которые связывают координаты х и й в (13.30), идентичны функциям, описывающим распределение температуры внутри элемента (формула (13.29)1.
Когда такое условие выполняется, элемент называют изопараметрическим. Совпадение функций формы соотношения преобразования координат и интерполяцнонного полинома далеко не всегда имеет место. В действительности изопараметрический элемент является скорее исключением, чем правилом. Для упрощения ввода данных в ЭВМ и повышения эффектнв"ости вычислений следует использовать в соотношениях преобразования координат возможно более простые функции формы.
Ес'1и элемент ограничен прямолинейными сторонами, то для описан"я преобразований координат достаточно линейных функций фоРмы. Матрица Якоби 1л'1 и [[)е1[У1 ~ при рассмотрении элемента с прямыми сторонами будут теми же самыми независимо от 264 глава гз того, какие функции формы — линейные, квадратичные или кубнчные — используются в формулах преобразований координат. Чтобы показать это, опять коротко рассмотрим пример 128. Так как элемент изображается прямолинейным отрезком, в качестве формулы преобразования коордннат могло бы быть использовано также соотношение (13.42) х=Л/!Х!+ й1„Хм Применяя линейные функции формы, получим =Ф(1 — РХ,+ —,' (1+~) Х,, где Х!=!!з н Х!='/ь Матрица Якоби имеет вид ил! Нув ! ! ! 3 Щ= — Х,+ — Х = — Х, + — Х„= — — + —, Ий ! ~Ц 2 2 4 4' (,11 = —. ! 2 ' Этот результат идентичен тому, что был получен в иллюстративном примере с использованием квадратичных функций формы.
Формула преобразования координат может быть представлена с помощью четырех узлов кубичного элемента, но матрица Якоби при этом не изменится. Тот факт, что функция, описывающая преобразование координат, не должна совпадать по порядку с интерполяцнонной функцией, открывает новые чрезвычайно благоприятные перспективы. Можно описывать геометрию элемента независимо от аппроксимации неизвестной величины.
Это позволяет сочетать как ннтерполяционные полиномы высокого порядка с элементами простой геометрия, так и элементы сложной формы с простыми интерполяционнымн полиномами. В следующих двух главах будет рассмотрено применение элементов такого типа. Два независимых множества узлов теперь могут быть заданы в некоторой области. Одно множество узлов определяет преобразование координат (форму элемента), а второе — ннтерполяцнонный полипом.
Что касается соотношения между числами узлов в этих двух множествах, то тут имеются три следующих варианта: 1. Число узлов, используемых для определения формы элемента, меньше числа узлов, используемых при определении ннтерполяционной функции температуры, и т. д. 2. Число узлов, определяющих форму элемента, равно числу узлов, определяющих ннтерполяцнонную функцию. 3. Число узлов, используемых для задания формы элемента, Элелмнтм высокого порядка. Одномерный элемент 265 больше числа узлов, используемых для определения интерполяци- онной функции. В соответствии с этими тремя вариантами элементы называют субпараметрическими, изопараметрическими и суперпараметриче- сними.
Субпараметрические элементы преобладают там, где ис- пользуются комплекс-элементы, потому что они применяются, ког- да нет необходимости в искаженни формы элемента. Примеры субпараметрических и суперпараметрических элементов гкуказаны на фиг. 13.8 применительно к задаче о стерж- элеыннмм не из второго раздела этой главы. Суперпараиетрический элемент на фиг. 13.8 приведен оу оа только для иллюстрации, а не и связи с решением задачи. Суперпараметрический элемент, однако, применяется в е двумерных и трехмерных за- 1 дачах. б Достигаемое за счет использования естественной си- ~ф~"~~ыбглРоевсксн стемы координат увеличение гибкости элемента не лишено 4 недостатков. Матрицы элемен- с о/ к тов должны теперь определяться с помощью численных метоа дов интегрирования.
Еще один недостаток связан с обозначениями, и его надо устранить о/ од 'э прежде всего. Дело ~в том, что далее становится неудобным б использовать для обозначений узлов элемента индексы й 1, й, й В самом деле, некоторые элементы могут иметь в общей сложности до 30 узлов. К тому же ~при таких обозначениях нельзя отлмчить узлы, которые используются для определения формы элемента, от узлов, которые определяют интерполяционный полипом, Таким образом, приходится отказаться от обозначения узлов ~лемента буквенными индексами й /, й, 1, ..., г; далее для этой цели будут использоваться числовые значения.
Интерполяционная функ- Фиг. !3.8. Субпараметрнческне н супер- параметрические одномерные элементы. Субпарамстрпчсскне а — кубнчныа элемент аля аппроксвмецвн распределения температуры: б — линейный элемент для определения Формы. Суперпарэметрическне: о — кеадратачами элемент для аыароксимацнн распределения температуры; б — кубвчвын элемент длп опреде. ленка Формы. Глава !8 ция элемента для скалярной величины в общем виде записывается теперь следующим образом: Гпобопьньм нпмера узнав Яонапьнне намераузлов (2) о2 оз 4 Фнг. 13.9.
Локальные и глобальные номера узлов, используемые для интерполя- пионного полинома. Глобеньные степени свободы Лоиельиые степени свободы Знеиып' (о <г) 7 з н )о <з) ~Р =7))ьФ, + УнФн+... + МФ,=~~~~ й)ЗФЗ. 1 Номера узлов 1, 2, ..., г одномерного элемента располагаются последовательно от левого конца элемента к правому. В случае двумерных элементов нумерация начинается в произвольной точке н соответствует обходу элемента в направлении против движения часовой стрелки.
Элементы высокого порядка. Одномерныа элемент (р(() =Ф~д)Ф + У~()Фз+ Лффз+ У~д)Фе, (р(з~ =Л7Юе+ М1')Фь+ Л7)Фе+ й7)Фте (Р(з) =У)эЮт+ й11з)Фз + М(з)Фз+ У~зЮ(э. 1! 3.44) Нижние индексы функций формы не изменяются потому, что они не содержат никаких величин, связанных с глобальной системой координат.
Лоеальные номера узпдв (» г 2 (2) 5 3 (з) 4 Фнг. !330, Локальные н глобальные номеРа узл преобразованна каор ов, используемые в соотношениях ля наг. зле мевт Лекельвме узл» Глеаельвме уелм (О Включение элемента высокого порядка в область иллюстрируетсн на фнг. 13.9. Приведенная таблица устанавливает соответствие степеней свободы элемента в локальной системе координат с глобальными степенями свободы.
Соответственно меняется и нижний индекс величин. Интерполяционные функции для задачи о стержне, изображенном на фиг. 13.9, запишутся теперь в виде Глава тг Общее соотношение для отдельного элемента, определяющее преобразование координат, имеет вид х=)тзХз+)тзХз+... + И,Х„ (13.45) где 1та — выбранные функции формы. Символ Я будет использоваться для обозначения функций формы в соотношениях преобразования координат с тем, чтобы избежать путаницы с функциями формы, которые применяются в интерполяционных уравнениях. Система уравнений, аналогичная (13.44), может быть записана и для преобразований координат, если только определены глобальные координаты узлов элементов.
Координаты узлов для стержня, изображенного на фиг. 13.9, приведены на фиг. 13.!О вместе с соотношениями включения элементов. Окончательные формулы преобразований координат имеют вид ХаЗ УОХ + )?зПХз Х(з1=Я<ззХз+ Я~ЮХз х1з> Уз>Х + Уз>Х, Обсуждаемые в этом разделе положения являются исходными для понимания комплекс-элементов, рассматриваемых в следующих двух главах. Главное помнить, что всегда существуют два множества глобальных узлов. Одно определяет глобальные степени свободьь связанные с интерполяционной функцией, а другое— форму элементов. Только в случае изопараметрнческого элемента оба эти множества совпадают.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
