Сегерлинд Л. Дж. - Применение метода конечных элементов (1051193), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Прремещения и и о внутри элемента даются зависи- мостью Угг г и„ (Тми сгге-г и,„ и г'т'г О 71'т'1 0 гУг 0 (! 2.14) Обозначения узловых перемещений показаны на фиг. 12.1. Функции формы, входящие в соотношения (12.14), определены в (3.10). Будем считать, что рассматриваемая область располагается в плоскости ху, и введем следующие компоненты напряжения и дефоРмации: (о)т=[о „иву, тки) и (е)т= [в, е„„, Уиу].
ДлЯ пло- иге и.. . Фиг. 12.1. Компоненты перемещения для двумерного симплекс-элемента. ского напряженного состояния, встречающегося во многих тонких телах, имеем о„=т,„=т,„=О. Компоненты тензора деформации у„, и у„, тоже равны нулю, но е,г отлична от нуля и может быть получена из закона Гука, после того как определены (о) и (е). Говорят, что плоское деформированное состояние имеет место, когда компоненты деформации в направлении оси з равны нулю (е..=у,=уи,— — 0). Компоненты тензора напряжений т,у и т„также равны йулю при плоской деформации, но о„отлична от нуля и вычисляется с помощью закона Гука после того, как определены (о) и (е). 220 Глава Гв Соотношения связи между деформациями и перемещениями в двумерном случае имеют вид ди дв ди дв з = —, е = —, у = — +— дл ' ии ду ли ду дз или с учетом (12.14) Ь; О Ь1 О Ь„ О (121 и„., (12.15) О с, О с1 О с„ с, Ь, ст Ьт си Ьи (122 Соотношения (12.15) определяют матрицу градиентов !В1, так как (е)=[В!(У).
Теперь есть почти все необходимое для вывода уравнений, определяющих элемент. Осталось только записать матрицу упругих характеристик !Р) и вектор начальной деформации (ев). В случае плоского напряженного состояния имеем 11 О р(О О О (1 — (2)/2 (12.16) (12.17) В случае плоской деформации р((1 — р) О (21(1 — (2) 1 О (12.18) О О (1 — 2(2)/2 (1 — р) Е (! — (2) (1+ (2) (! — 2(2) (12.! 9) Формулы (12.16) — (12.19) соответствуют изотропному материалу с модулем упругости Е и коэффициентом Пуассона (2.
Интегралы, на основе которых составляются уравнения, определяющие элемент, легко вычисляются, поскольку матрицы (В) и 1 (е )=ОТ 1 . О 1 (е,) =(1+(2)аллТ 1, О 21-1 ! (Ц Мекаиика деформируемого твердого тела. Теория аругогти 221 дг с; ьз с, ь с„ )В)т)Р) )е ] 1А= (12.22) Объемный интеграл от объемных сил аналогичен интегралу [У]тЯ)г)У, который был получен при рассмотрении задач теории поля.
Основное отличие заключается в том, что теперь матрица ,[гт']т состоит из двух столбцов, так как имеются две объемные силы. Подставляя [гт]т и применяя Л;координаты, получаем )У; 0 0 У,. гУ О О )Ут гу 0 О Лг (12.23) Интеграл от поверхностных нагрузок также аналогичен поверхностному интегралу в задачах теории поля. Рассматривая отдельно каждую из сторон элемента, можно записать три различных значения этого интеграла. Предположив, что на стороне между узлами г и ) действуют равномерно распределенные нагрузки ин- [Р] содержат только константы.
Вычислим объемный интеграл, представляющий матрицу жесткости: )й )=[')В)т)Р))В) ) =)В)т)Р))В) [')У, т р )тг(г>) )В)т)Р) )В)1А (12.20) Здесь 1 — толщина элемента, А — его площадь. Общее выражение для матричного произведения [В]т[Р] [В] не приведено из-за его громоздкой записи. Обычно поступают так: определяют числовые значения коэффициентов [В] и [Р], а затем ЭВМ выполняет указанное перемножение матриц. Интеграл, связанный с тепловым расширением, имеет вид — ~)В)т)Р) )еа) г)У= )В)т)Р! еа) 1А. (12 21) Матричное произведение в формуле (12.21) нетрудно составить. Для случая плоских напряжений получаем Глава 12 тенсивности р, параллельно оси х и интенсивности рв параллельно оси у, получим -Л1,.
О- О Л1, Л11 О О Л11 Л1, О О* 1У, ~щ (')вв=) -с, оо с,, Ув О О Ц 0 0 зс / 0 0 Пример 11О. Нужно вывести определяющие элемент уравнения для изображенного ниже элемента в случае плоского напряженного состояния. Перпендикулярно к стороне 1Ь действует равномерно распределенная нагрузка интенсивности 20 Н1см'. Элемент испытывает также тепловое расширение вследствие повышения его температуры на 15'. Запишем матрицу градиентов Ь1 О Ь, О 0 с1 0 св с1 Ь1 св Ьв Ь, 0 (В) — — 0 с,.
1 2А с, Ь,. где А=(3 2)/2=3 см', Ь;=1' — К = — З, Ь =1' — 1';=3, Ь =1',— К =О, с,=Х вЂ” Х = — 1, г в с.=Х,— Х = — 1 1 ! в > св=Х1 — Х,.=2. где 5п — площадь поверхности стороны элемента между узлами 1 И 1, 511=та.11. КОМПОНЕНТЫ рЕЗуЛЬтИруЮщЕй СИЛЫ В НаПраВЛЕНИИ координатных осей х и у равны соответственно р„5н и р„5;1. Как видно из формул (12.24), на каждый из рассматриваемых узлов приходится по половине каждой компоненты результирующей силы.
На основе соотношений (12.20) — (12.24) строятся определяющие элемент уравнения для треугольного элемента из изотропного материала. Вычисление матриц элемента иллюстрируется на следующем примере. Механика деформируемого твердого тела. Теория уоругоети 223 ,т на — — 2см — и 1 г 2 ем Е б к lбе НТсмг м 7 /0 есм/1см 'С1 р=б,25 К ггааче 11О. Подстановка числовых значений коэффициентов дает 1В1 =— 1 6 — 3 О 3 ΠΠΠΠ— 1 Π— 1 О 2 . — 1 — 3 — 1 3 2 О Матрица упругих констант в данном случае имеет вид О р О 1 О О О (1 — р)/2 1 О 1 — 0,25г 3 О 8 6 4.10в 8 Запишем матрицу жесткости элемента 1й1'11=1В17 1В1 1В1 2А, г тг — — з о Π— 1 з о Π— 1 о о 0 2 — 1 — з — 1 з 2 0 6,4 !ов [В[т [Ц =— 1 6 — 24 — 2 24 — 2 о 4 [В[' [1:!) = — 6 — З- — 8 — 9 6 — 3 — 8 9 0 6 16 0 < — з о з Π— 1 Π— 1 — 3 — 1 1А6,4 10в 288 15 — 69 — 3 — 6 35 3 — 19 — 18 3 75 — 15 — 6 — 19 — 15 35 18 — 18 — 6 18 12 — 16 12 — 1б 0 75 15 — 69 — 3 — б — 12 [вв!'>[ = 13333 Вектор нагрузки элемента [1!в!7 обусловлен как тепловым воздействием, так и поверхностной нагрузкой.
Вклад в вектор нагрузки теплового воздействия определяется величиной [)вв1) [В[т[О] [ев) 1А. Учитывая формулу (12.22), имеем 7.10-в„6,10в.2,15 в» 2 (1 — 0,25) 1ввв! — 24 — 2 24 — 2 о 4 — 3 — 1 3 — 1 0 2 — 6 — 8 6 — 8 о 16 — з— 9 — з 9 6 о — 2520 — 840 2520 — 840 — 12 — 16 12 — 16 0 32 Механика деформируемого твердого тела. Теория уаруеоети 225 ВКЛад В (/1»>) ПОВЕрХНОСтНОй НаГруЗКИ ОПрЕдЕЛяЕтея СЛЕдуЮ- щнм образом. Компоненты полной величины этой нагрузки рас. пределяются поровну между узлами / и й. Длина стороны /й равна »р =Я2 — 13.313 — От тГ3=3,133. Компоненты внешней поверхностной нагрузки по осям и и у равны соответственно р„=рсоз8=20(3/3,163)=18,97 Н/смз, ре — — р з!и 8 =20 (1/3,163) = 6,32 Н/см'.
Функции формы Л/~ обращается в нуль на стороне /й, поэтому 0 0 0 0 р» (я /я 1 0 1/3/)т Р» (3 Б " 3/я (') 0 1 После подстановки р„р„, а также числового значения площади 51я=3,163 2=6,326 см' и умножения матриц получаем 0 0 60 20 ' 60 20 У'! = Теперь можно записать полную систему уравнений для элемента: 75 15 — 69 — 3 — 6 35 3 — 19 — 18 75 — 15 — б 35 18 12 13333 Симметрично ВектоР-столбец Д<е>) Равен сУмме (/)ен>)+ Це>).
Для того чтобы проиллюстрировать применение формул (12.20) — (12.24), приведенного выше примера вполне достаточно. Нетрудно заметить, что здесь необходимо выполнить большой объем вычислений. Очевидно также, что выбирать в качестве ил- 0 0 0 0 л~т о о л/ л/ о — 12 — 1б 12 — 16 0 32 (/„, (/ы 1/тт-3 3/гт (/„, (/„ — 2520 — 840 2580 — 820 60 1700 Глава к2 люстрации пример, в котором рассматривается несколько элементов, непрактично. Существуют два способа проверки правильности составления матрицы [Юк)~.
Прежде всего [й~к~) должна быть симметричной матрицей с положительными коэффициентами на главной диагонали. Кроме того, сумма коэффициентов любой строки или столбца матрицы должна обращаться в нуль. 1и„., (кв -» (7вг Ж, О О У~ О О У, О О О Ф, О О У~ О О Ж„О О О У, О О У~ О О й(„ (12.25) Двенадцать узловых значений изображены на фиг. 3.5 и воспроизводятся для удобства здесь (фиг. 12.2). Функции формы определены в гл.
3. В общей форме они записываются как 1уз = (аз + Бах+ азу+ г1зг), 1 (12.26) где аз, Ьз, сз и дз выражаются через координаты узлов. Соотношения связи между перемещениями и деформациями в данном случае имеют вид ди е хк д» ~ ди в ду ~ д36 е кк д» (12.27) ди ди дм ди т = — + —, т = — +— хи д» ду кк д» д» ' ди дм к+ дк ду ' Матрица градиентов [В1 в формуле (е)=,[В1(У) легко вычисляется дифференцированием (12.25) с последующим использованием зависимостей (12.27). Приведем здесь окончательный результат: 12.3.
Трехмерные задачи теории упругости Трехмерный симплекс-элемент в задачах теории упругости рассматривается почти так же, как двумерный элемент. Три компоненты перемещения и, о и в аппроксимируются внутри элемента соотношениями Механика дгформируемого твердого тела. Теория упругости 227 В=— 1 6У (12.28) (гзе-к Фиг. 12.2. Компоненты перемещения для трехмерного симплекс-элемента.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
