Сегерлинд Л. Дж. - Применение метода конечных элементов (1051193), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Оипсап %. Л, ТЬогп А. 5., Уоип9 А. О., МесЬап!сз о1 Г!и!бз, 2-пб еб., Агп. Ейеч(ег РиЫ. Со., Ы. У., 1970. 3. Ог)еп 3. Т., 21епЫегч!ся О. С., баВадЬег Я. Н., Тау!ог С., Г(п((е Е!егпеп( Ме!Ьо0з !п Г!ояч РгоЫегпз, ТЬе ()п!ч. о1 А!аЬагпа, Нип1зч!!!е Ргезз, !974. ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА !Ье3ачга М., гЧазЫзи К., Г!и!(е Е!егпеп1 Ме!Ьог( Арр!!ег( 1о Апа!уяз о1 Г1огч очег а 5р!1(гчау СгеМ, 1ляетл. А !*от )г'илгет!са! МесдоНя гл Ели(леет!лц, 6, 179— 189 (1973). МагВп Н. С., ГТпйе Е!егпеп1 Ана1увз о1 Г!и!0 Г1оигз, Ргос. о1 5есопд Соп1. оп Ма(Пх Мейог(з ш 5(гис!ига! МесЬап!сз, %г(8Ы Ра1(егзоп А!г Гогсе Вазе, Оау1оп, ОЫо, 1968. Ыеилпап 5.
Р., %!йегзрооп Р, А., Г!пВе Е!егпеп1 Ме1Ьог) о1 Апа!увп8 5(езду 5!а1е 5еера8е гч!1Ь а Ггее 5иг1асе, Фа1ет Йеяоитсея )геяеатсд, 6, 3, 889-896 (!970). Глава 10 РАДИАЛЬНЫЕ И ОСЕСИММЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПОЛЯ Ряд важных физических двумерных и трехмерных задач может быть решен с использованием одномерных и двумерных элементов. Эти задачи обладают осевой или центральной симметрией. Задача о радиальном потоке тепла через концентрические цилиндры с различными коэффициентами теплопроводности является одним из примеров таких задач. В достаточно длинном цилиндре поток тепла распространяется как в радиальном, так и в осевом направлениях.
Поток тепла не зависит от азимутального угла О, если граничные условия не зависят от О. Другим примером задачи с осевой симметрией является задача о плоском течении воды к скважине. В этом' случае характеристики течения не должны зависеть от угла 8. Многие трехмерные задачи теории поля облада'ют осевой симметрией. Большинство из рассмотренных здесь задач связано с переносом тепла, впрочем течение воды к скважине в пористой среде — пример важной задачи гндродинамики. Методика решения двумерных и трехмерных задач, которая обсуждалась ранее, изменяется в случае наличия симметрии. Главное измененйе связано а порядком используемого элемента.
Двумерные симметрические задачи становятся одномерными, а трехмерные осесимметрнческие задачи решаются с использованием двумерного элемента. Вариационная формулировка задач и вычисление соответствующих интегралов по площади элемента настолько отличаются от того, что было описано в предыдущих главах, что требуют специального рассмотрения, которое будет'дано в этой главе. 10.1. Симметрические двумерные задачи теории поля Рассмотрим дифференциальное уравнение для квазистатических задач теории поля в цилиндрических координатах ~1] !82 Глава 10 с граничными условиями (10.2) Ф=Фв 1,+ Каа — 1з+ʄ— 1,+()+1)(Ф вЂ” Ф )=О. (103) Члены, связанные с координатой г, не учитываются в двумерной задаче.
Наличие симметрии означает, что Ф не зависит от 0 и соответствующие члены в приведенных соотношениях должны быть отброшены. Запишем дифференциальное уравнение для симметрической двумерной задачи теории поля (! 0.4) с граничными условиями (10.5) Ф=Фв и ʄ— „1,+д+й(Ф вЂ” р )=0. дФ (10.6) Условия (10.5) и (10.6) могут быть заданы одновременно, но на разных частях границы.
Вариационная формулировка, соответствующая уравнению (10.4) и граничным условиям, связана с функционалом Х ~ 2 ~гК" ( д ) — 2ГЯФ ~(йГ+ +~ур((5+~ — ((р' — 2ФФ +(р !((З. (10,7) где [ь(г)! ~яв))г !р(е)! !)((е)! (у ! ~ ц!(7ы)!г !)у(л)! (!я и 5, Поверхностные интегралы в (10.7) идентичны интегралам в формуле (5.35), тогда как объемный интеграл может быть записан в форме, идентичной соответствующему интегралу в (5.35), если ~Р! определить как [ГК 1 и Я в (5.35) заменить на ГЯ. После этих подстановок минимизация (10.7) может быть осуществлена так же, как в одномерном случае, представленном в (5.35), и приводит к следующим соотношениям: !ь(л)! (ф(+ (((л)! д д((в! (10.8) 183 Радиальные и осесимметрические задачи теории лола ~)(е!1 ~ (тф(а!ио)т с(1т ! ~г)уу!е~1т с(с ~й~р (д!е))т (о У зт за Разбиение области на элементы в данном случае показано на фиг.
!0.1,а. Каждый элемент ограничивается концентрическими окружностями. Значение ~р внутри каждого элемента не зависит от угла О, и множество концентрических окружностей может быть а Сева нн б Фиг~ !О.!. Одномерные злементы, используемые для моделирования радиального течения воды к скважине. заменено линейными элементами, изображенными на фиг. 10.1,6. Функции формы для одномерного элемента (3.5), выраженные через радиус т, имеют вид (10.9) / Переменная гр аппроксимируется завнсимостью !р=!УгФ, +У Ф . (10,!О) Матрица градиентов выражается следующим соотношением: (10.! 1) Глава 10 Вычислить интегралы в (10.8) сравнительно просто.
Бесконеч. но малое изменение объема в([т элемента единичной толщины равно Ю =2лМт. (10.12) я, [В[т [0[[В[3(= "~' ! [ 1 я~ где К~ предполагается постоянным, а Ь=!1,— )Гà — длина элемен- та. После умножения и интегрирования будем иметь ) з(д -а!' Поверхностный интеграл в [я!в~~ имеет внд Гт[1ч[т [х![ ~с ! [~в в ~т ~КГ,йГ, КГ,Л~,! Вычислим этот интеграл по внешней поверхности, которая совпа- дает с 1-м узлом наиболее удаленного от центра элемента.
В этом узле функции формы имеют' значения КГ;= ! и КГв=О и поверхност- ный интеграл записывается следующим образом: 6[14[т [У»Н5 2ятс И" з ГО О! ~0 11 (10.14) Толщина элемента предполагается единичной. Для внутренней по- верхности того же элемента тот же самый интеграл имеет вид йЯ[т [й[[в(8 2аА~~Ь ~ Г! 01 ' [о 01' (10.15) Поверхностные интегралы формулы (10.8) для (Г!в>) определяются .аналогично. Внешнюю поверхность могут иметь только два элемента: элемент на внешней границе и внутренний элемент при наличии полости. В обоих случаях эти поверхности совпадают с узлами и интеграл по поверхности сводится к [вБ. Рассмотрим теперь более детально интегралы по элементам, опуская верхний индекс (е) у всех переменных,кроме [Й<в!! и (!<в>). Вычислим объемный интеграл в [й!в>), используя формулы (10.11) и (10.12): Радиалаиие и осесимметрические задачи теории поля 18$ Вычисление объемного интеграла, входящего в (Рез), сводится к интегрированию членов, включающих гз и тз.
Запишем окончательный результат ,д~~,т,,У пЮ ((Й вЂ” 4)Ж+3%( (1016) = 6-(й,-!Ц ((3У вЂ” 4)74Я.-(-У)~' Величина Я теперь не распределяется, как раньше, поровну между узлами, хотя это не столь очевидно из (1О.!6). Более половины величины Я приходится на узел 1, потому что радиальная координата возрастает в направлении этого узла. Неравномерное распределение Я по узлам элемента иллюстрируется на следующем примере.
Пример 89. Концентрический одномерный элемент с внутренним радиусом 2 'см и внешним радиусом 4 см содержит источник тепла интенсивностью 20 Вт/смз. Требуется определить, какая часть тепла от этого источника приходится на каждый из двух узлов элемента. Толщину элемента считать единичной. К задаче 89. Распределение по узлам выражается формулой 8(Р -80 ((зл,' — ЧР,+Л9' где т(4=4 и Р4=2 см. Подстановка этих значений дает следующие величины: п 9О ((4' — 4(2)44+ 3(2)' 1 звп (176) 8(4 — з) 13(4) 4(4) (2) +24)( 1з ),272~ Глава 1О В заключение этого раздела рассмотрим еще один численный пример, который иллюстрирует использование одномерного элемента в задаче о течении грунтовых вод.
Пример 90. В неограниченном водоносном слое с коэффициентом проницаемости 20 мз/(ч м') имеется скважина. Расход воды составляет 200 мз/ч. Течение к скважине происходит в радиальном направлении, причем пьезометрический напор на расстоянии 300 м от скважины поддерживается равным 30 м. Определите максимальное понижение уровня воды при установившемся режиме течения. Радиальные координаты узлоа Узлы Узлы Расстояние, и Рзсстоянне, и 0 10 20 40 1 25 4 5 К задаче 90. Для аппроксимации водоносного слоя используем шесть элементов различной длины.
Самый короткий элемент расположим вблизи скважины, с удалением от нее длина элементов возрастает. В соответствии с формулой (10.13) запишем матрицу элемента [ Ь(ст] ° з аз) В этой формуле при переходе от элемента к элементу изменяется ТОЛЬКО ОТНОШЕНИЕ (/Сзт — /т )/Я1 — /тс)З. ЗНаЧЕНИЯ ЭТОГО ОТНОШЕНИЯ для каждого элемента представлены в следующей таблице: 187 Радиальные и осесиинетрические задачи теории ноля Элеиеяг сл. — Ндг т Результирующая система уравнений имеет вид — 140 420 — 280 †2 840 †5 †5 1728,57 †11,57 †11,57 1168,57 2лчктт 3 Глобальный вектор нагрузки содержит нули, потому что все нн- тЕГраЛЫ, ВХОдящИЕ В (~1е1), раВНЫ НУЛЮ.
ОдпаКО В ЭтОй СИСТЕМЕ должны быть отражены два имеющихся в формулировке задачи условия. Во-первых, Фг — известная величина, равная по условию 30 м. Во-вторых, расход скважины, рассматриваемой как точечный сток, равен 200 избач. Поскольку вода покидает водоносный слой, то значение — 200 необходимо подставить в Рь Окончательная система уравнений имеет вид !0 — 10 — 10 80 — 70 — 70 2!Π†1 †1 420 †2 †2 840 560 †5 1728,57 0 0 1168,57 Здесь обе части системы разделены на величину 2тсК /3, равную 41,89. Запишем решение этой системы уравнений (Ф) т =!29,39, 29,87, 29,94, 29,97, 29,99, 30,0, 30,01.
10 — 10 — 10 80 — 70 — 70 210 — 140 0 1О 20 40 80 160 10 20 40 80 160 300 10 70 140 280 560 1168,57 Ф, Ф Фз Ф Ф Фе Ф, Ф, Ф, Ф Ф Фз Фе Фг — 4,77 0 0 0 0 836,88 836,88 Глава Гд Максимальное понижение уровня воды равно 0,61 м и достигается в точке, где находится скважина. 10.2. Осесимметрические задачи теории поля Если трехмерное тело обладает геометрической симметрией относительно оси г, то это тело называют осесимметричным телом. Если к тому же исследуемая физическая, величина не зависит от О, то дифференциальное уравнение (10.1) сводится к следующему: (10.17) Для решения этого двумерного уравнения может быть использован треугольный симплекс-элемент. Следует еще раз подчеркнуть, что для того, чтобы уравнение (10.17) было справедливо, требуется больше, чем симметрия формы рассматриваемого тела.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
