Сегерлинд Л. Дж. - Применение метода конечных элементов (1051193), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Вспоминая, что 2А=13, соотношения для Уэ можно переписать в виде 1 У, = — [28 — 4х — у[, У1 — — — [6+ х — 3у[, 1 У» = — [ — 21+ Зх+ 4у[. 1 Подставляя сюда Х»=5 н Уа=2, получаем У' з [28 4(5) 2[ 1 6 1З 1з [6+5 3(2)[ 1з У» = — [ — 21+3(5)+4(2)[= —. 1 2 = — 5 = 20 Вт/см. [У[г Яв['г"=Я* Ч При разбиении на элементы сплошной среды точечный (линейный) источник можно разместить в одном из узлов.
Это упрощает интегрирование выражения (8.63). Предположим, что источник Величина Я' разделяется по узлам й 1 и й на части »1'ы, %~ и %» соответственно. Поэтому интеграл ~ [У1тЯНУ для этого элемента равен !55 Перенос.тепла за счет теплопроеодности и конеекции находится в /-м узле (фиг.
8.6), тогда !о!=!он=О и Далее 1",!е в (8.62) должно быть преобразовано с учетом того, что источник относится теперь к более чем одному элементу. Величина интенсивности источника должна быть распределена по эле- ментам, окружающим узел. Это распределение проводится в соот. ветствии с тем, какую часть от 360' составляет угол при вершине данного элемента, расположенной в узле гТ Правильное соотно. шение для элемента ('е) на фиг. 8.6 имеет вид (8.63) Однако нет необходимости вычислять угол а для различны» элементов, окружающих узловой источник.
После того как с по. мощью метода прямой жесткости уравнения для отдельных эле. ментов будут объединены, совместный вклад всех элементов, от. носящихся к этому узлу, составит полную величину Ц*. Простейн ~~цт гт у до ~ У л Ж! У! 6(х — хо) 6(у — уо) !(А= Ун У; =Яо 1 ° (8.62) ! l ! ч / ! Фнг. 8.5. Точечный источник в узле. Глава а ший способ учета узлового источника состоит в добавлении величины Яо к глобальному вектору нагрузки Щ, точнее к той его компоненте, которая соответствует глобальной степени свободы, отнесенной к этому узлу. В случае трехмерного элемента источник, локализованный внутри элемента, распределяется по четырем узлам в соответствии с формулой (/)/(т (д) у до (8.59) о=хо а=то 2=го где (Хо, Ув, Ло) — координаты точки расположения источника.
8.7. Машинная реализация В гл. 18 представлена программа ТРНЕАТ, способная решать двумерные задачи переноса тепла. Эта программа ограничена одним набором характеристик материала; кроме того, главные осн инерции должны быть параллельны координатным осям х, у. Блоксхема, представленная на фнг. 7.3, может быть использована для анализа работы этой программы. Задание исходных данных об элементе в программе ТПНЕАТ существенно отличается от задания исходной информации об элементе в любой другой программе, представленной в гл. 18. Вычислительной машине должно быть указано, какая сторона элемента подвержена конвективному теплообмену, если он имеет место.
Номер каждой стороны, подверженной теплообмену, перфорируется в качестве исходных данных об элементе, начиная со столбца 75. Максимально допустимы две стороны, и нумерация этих сторон соответствует обходу элемента против часовой стрелки, начиная со стороны, расположенной между узлами 1 и 1. 8.7.1. Постановка задачи Ряд кабелей помещен в теплопроводящую среду (фиг. 8.6). Кабели расположены на глубине 2 см от поверхности среды, а расстояние между их центрами составляет 4 см.
Среда имеет коэффициенты теплопроводности К„=К„„=10 Вт/см К. Коэффициент теплообмена на поверхности среды л=5 Вт/см'К. Воздух на границе с поверхностью имеет температуру — 5'С. Проводящая среда снизу ограничена толстым слоем теплоизоляции. Необходимо определить распределение температуры в теле, если известно, что мощность излучения тепла каждым кабелем составляет 200 Вт на единицу длины. 187 Перенос тепла ва счет теплопроводности и конввкции 8.7.2. Решение на ЭВМ Последовательное размещение кабелей и тот факт, что каждый из них излучает одинаковое количество тепла, позволяют'сократить размеры области анализа.
Легко заметить два семейства плоскостей симметрии в задаче: вертикальные плоскости, содержащие 7 =-5'С Ь-5 Вт/~сма.к7 Фиг. 8,8. Кабели в теплопроводящсй среде. кабели, н вертикальные плоскости, проходящие на равном расстоянии между ними, причем последние из указанных плоскостей могут рассматриваться как теплонепроницаемые границы. Окончательная область анализа показана на фиг.
8.6. Исходная информация может быть получена с использованием программы ОК1Р. Квадратные области, использованные для получения элементов, показаны на фнг. 8.7 вместе с локальными системами координат йт1. Области выбраны так, чтобы кабель располагался в узле. Такое узловое размещение желательно потому, что кабель может рассматриваться как линейный источник. Узлы 12 н 14 помещены не в средних точках соответствующих сторон, а смещены ближе к узлу 13, так чтобы меньшие по размерам элементы встречались вблизи этого узла. Меньшие элементы здесь необходимы потому, что именно в области, окружающей этот узел, градиенты температуры максимальны по величине.
Окончательное разбиение, которое содержит 65 узлов н 96 элементов, показано на фиг. 8.8. Кабелю при этом соответствует узел 21. Второй, четвертый, шестой и восьмой элементы подвержены конвективному теплообмену, причем каждый вдоль второй стороны.
В связи с этим в 75-м столбце перфокарт с исходными данными для указанных четырех элементов должно быть пробито число 2. Числовое значение интенсивности линейного источника ставится непосредственно в вектор-столбец (гт. Число 100 будет поставлено в 21-ю строку, поскольку рассматривается только половина области, окружающей кабель. Это значение приписывается составляющей Ран так как источник расположен в 21-м узле окончатель- ного разбиения.
)59 Перенос тепла за счет теплопроеодности и конеекции Окончательные узловые значения и линии равных значений температуры приведены на фиг. 8.9. Эта задача будет рассмотрена вновь в гл. 16. Задачи 62. Вычислите распределение температуры для стержня в задаче 59, если его диаметр изменяется линейно от 1,5 см на конце, заделанном в стену, до 0,5 см иа свободном конце.
63. Проверьте правильность вычисления поверхностного интеграла (8.46б). 64. Убедитесь в правильности фпрмулы (8.49в). 65. Вычислите объемный интегралр) [В)т[лл1[В)а)У, если коэффициент теплопроводиости К„меняется линейно между бм и )чм узлами одномерного элемента. 66 — 69. Составьте матрицы элемента для изображенных ниже элементов. Коэффициенты теплопроводности в каждом случае ( ) 75 Вм/см 60. и т Т =70тС К задаче 66. т =5ВС Е=воам/с 17, 4) 14, е) Т=/5 С К задаче 67. )60 Глава 8 считать равными К„„=К„„=15 Вт/(см К), а коэффициент теплообмена 5=20 Вт/(см'К). Другие необходимые величины приведены на графиках.
й т =~5 П=ж) ва/ан (4, О) «-х, г) (5,0 (-7, -л) К задаче 68. К задаче 69. 70. Некоторые элементы конструкций имеют двумерное распределение температуры Т(х, у). Эти элементы достаточно тонкие, так что можно пренебречь изменением их температуры по толщине (в направлении г). Для конструкций такого типа явление теплообмена наблюдается в значительно большей степени вдоль лицевых поверхностей элементов, чем по ограничивающим их Кромкам.
Вычислите поверхностные интегралы, которые входят в [Ф')) и Ц(')) для двумерного симплекс-элемента, если потери тепла происходят путем конвекции, как показано на рисунке. 71. Источник тепла имеет форму тонкого диска, расположен~ного на расстоянии 0,5 см от 1-го узла одномерного элемента, изображенного ниже. Определите распределение по узлам элемента телла от источника, если его мощность равна 50 Вт. Конвекпшвнна пообмвн нобпюбо св наобеах па вмт аовертноавк К задаче Перенос тепла за счет теплопроводности и конвекции 72. Вычислите поверхностные интегралы, которые входят в [й<е»] и (7»е!), если коэффициент теплообмена меняется линейно между узлами» и 1 одномерного симплекс-элемента. Коэффи- 0.5 см К задаче 7!. цненты теплообмена в узлах» и 1' обозначьте через и» и АП И» предполагается отличным от ~нуля.
73. Рассмотрите задачу 72 для стороны между узлами» и ]е двумерного симплекс-элемента. 74. Коэффициент теплопроводности линейного одномерного элемента представлен кусочно-постоянной функцией равной значению К» слева от точки Х, и значению Кз справа от Хе. С помощью ступенчатой функции й(х — а) коэффициент теплопроводности К„ может быть записан аналитически в виде К„=К, [1 — л(х — Х,)]+К,[й(х — Х,)]. Вычислите матрицу элемента [й»е»], вели элемент имеет длину Т,. Предполагается, что узел»' расположен в точке х=0. 75 — 79.
Используя программу Т[)НЕАТ, рассчитайте распределение температуры в двумерных телах, изображенных ниже. Для получения исходных данных об элементе используйте программу С К!11. 80. Главные оси инерции -элемента, показанного ниже, повернуты на 30' относительно системы координат ху. Коэффициенты теплопроводности, соответствующие этим направлениям, равны 2К„=К»» — — 30 Вт»см К. Составьте матрицу [й»е»1. 81. Модифицируйте программу ТРНЕАТ так, чтобы ее можно было использовать для вычисления распределения температуры в одномерном стержне.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
