Сегерлинд Л. Дж. - Применение метода конечных элементов (1051193), страница 19
Текст из файла (страница 19)
б) 2У,+ У,+ОУ,+ У,=40, У,+6У,+ У,+2У,=28, У,+2У,+ОУ,=28, У, + 2У, + ОУ, + 6У, = 40, в) 6У+ 4У+ 2У, =12, 4У,+12У,+ 4У, =18, 2У,+ 4У,+12У,+ 4У +2У,=24, 4У, + 12У, + 4У,=10, 2У + 4Ув+6У,=6. 52 — 56. Представленные ниже поперечные сечения стержней разбейте на линейные треугольные элементы и вычислите максимальное напряжение сдвига, используя программу ТОЯ81051, представленную в гл. 18.
Для получения исходных данных об элементе можно использовать программу ОКНл. Каждый из стержней имеет длину 100 см, сделан из стали, 6=8 10' Н/смз и подвержен действию крутящего момента величиной 5000 Н см. Сравните полученные результаты с теоретическими максимумами, когда это возможно.
57. Вычислите узловые значения компонент напряжений сдвига для одного из поперечных сечений задач 52 — 56, используя представленную в гл. 18 программу СО)ч)БТЙ вычисления согласованного результанта элемента. 58. Измените программу ТОЙЫО51 так, чтобы можно было рассматривать элементы из,разных материалов, и проанализируйте изображенное ниже сечение составного стержня. Стержень имеет длину 100 см и подвержен действию крутящего момента величиной 3000 Н см. Глаза 7 К задаче 63.
К задаче 52. /,5см Т К задаче 55. К задаче 54. 0,„=0 ~аз И!смз 0 =2.5 ° 10зи/смс 0 5см 05см К задаче 58. К задаче 56. Реализация метода яоиечньи элементов на ЭВМ ЛИТЕРАТУРА 1. Соп1е 5. 1)„Е!ешеп1агу Ышпег)са! Апа!уз)в Ап А!иог11Ьш!с АрргоасЬ, М«ОгачгН!!1, 1965. 2. Одеп 4. Т., Кебду 7. Ы., Ыо1е оп ап Арргох!ша!е Ме(Ьоб 1ог Сошрыйпд Сопвййеп1 Соп)ыиа!е Ягеззев !п Е)аз!1с Ьйпйе Е!ешепйй lп!его.
Х. 7ог )Чиглег!со! Ме!Аодз Ро Елй(пеег!нй, 6, 55 — 61 (1973). 3. Р!йеу Чгт., 5асаа!зЫ К., 5«Ьаейег Н., Ягысйга! МесЬашсз Сошры!ег Ргойгашз, ()п!ч. Ргевв о1 Ч!ги!п1а, СЬаг!оНезшйе, Чв., 1974, рр. 651 — 667 (чгг!1!еп Ьу МсСопп!«1г з. М.). 4. КыйпЫе!п М. Р., Ма1г!х Сошры!ег Апа!уз!з о1 Ягысйгез, Ргепйсе-На11, Епд!ечгоод С11!!з, Ы. «., !967, рр.
114 — 119. ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА ПО ЛИНЕЙНЫМ УРАВНЕНИЯМ Рогзуйе О. Е., Мо!ег С. В., Сошры1ег 5о!ы1!оп о( Ь!пеаг А1иеЬга!с ЗУЫешв, Ргеп!)се-НаИ, Епи!ечгоод'С11!!з, Ы. 7., 1967, рр. 114 — 119. Есть русский перевод: Форсайт Дж., Малер К., Численное решение систем линейных алгебраических уравнений, изд-во «Мира,М., 1969.
«епЫпв %. М., Ма1г!х апб О!й!!в! Сошры(ег Мейобз ш $1гыс!ига! Апа!уз!в, №Огач~-Н!!1, Ьопдоп, 1969, СЬ. 7. ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА ПО МЕТОДУ ПРЯМОЙ ЖЕСТКОСТИ Оеза! С. 5., АЬе1 У. Р„!п!годысйоп 1о йе Р!пйе Е!мпеп! Мейой, Чап Ыоз!гапб Ке!пЬо!4, Ы. У., 1972, рр. 181 — !90.
Глава 8 ПЕРЕНОС ТЕПЛА ЗА СЧЕТ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И КОНВЕКЦИИ Во многих инженерных задачах важным аспектом является знание распределения температуры в теле. Количество тепла, подводимого к телу или теряемого им, может быть вычислено, если известно распределение температуры. Температурное поле, кроме того, влияет на распределение напряжений.
Температурные напряжения имеют место в каждом теле, в котором существуют градиенты температуры и которое не может свободно расширяться во всех направлениях. Эти напряжения необходимо учитывать при проектировании вращающихся механизмов, таких, как реактивные двигатели или паровые генераторы. Для расчета температурных напряжений следует прежде всего определить распределение температуры в теле.
В этой главе будет рассмотрено применение метода конечных элементов для определения распределения температуры в теле. Использование этого распределения для расчета напряжений обсуждается в гл. 12. 8.1. Уравнения переноса тепла Уравнение теплопроводности в сплошной среде имеет вид (8.1) где Т вЂ” температура; К„К„„, ʄ— коэффициенты теплопроводности в направлениях х, у и г размерности кВт/м К; Я вЂ” источник тепла внутри тела, который считается положительным, если тепло подводится к телу, его размерность кВт/мз. С уравнением (8.1) связывают два различных типа граничных условий. Если температура известна на некоторой части границы, то пишут (8.2) Т=Тэ(з), где Тэ — температура на границе, которая может быть функцией координат точек поверхности з.
Если на границе происходит конвективный теплообмен, который характеризуется величиной й(Т— )Зб Перенос тепла за счет теплопроводности и конвекиии — Т ), или задан поток тепла (/, то граничное условие имеет вид К вЂ” /е+К вЂ” /в+Кее — /е+Ь(т — т )+9=О, (8.3) где й — коэффициент теплообмена, кВт/м'К; Т вЂ” температура на границе (неизвестная), К; Т вЂ” температура окружающей среды (известная), К; 1 1„и /, — направляющие косинусы; (7 — поток тепла, кВт/м', который считается положительным, если тепло теряется телом. Поток тепла (/ и конвективная потеря тепла /((Т— — Т ) не имеют места на одном и том же участке поверхности границы. Если существуют потери тепла за счет конвекции, то отсутствует отвод нли приток тепла за счет теплового потока и обратно.
Уравнения (8.1) и (8.3) могут быть применены к одномерным н двумерным задачам после простого вычеркивания членов, связанных с ненужными координатамн. Уравнение для одномерной задачи записывается в виде (8.4) с граничным условием ꄄ—" 1„+ й(т — т„)+ ~= О. ~(8.5) Если конвективный теплообмен отсутствует и, кроме того, поток тепла, равен нулю, то уравнение (8.3) сводится к соотношению — =О 6Т й~ которое выражает условие существования теплоизолированной границы ()з — внешняя нормаль). Минимизация функционала, связанного с (8.1), была рассмотрена в гл. 5. Уместно подытожить здесь результаты этого обсуждения, прежде чем начать рассмотрение одномерного случая переноса тепла. Запишем матрицу теплопроводности элемента: (/с(е)1 ~~у(е))т Я[е)) [В(е)1((У-» ~цИ(е)1т ()у(е)1((З (8 8) (е) з Матрица Р/(е)1 содержит функции формы, причем ') т(е) =(Ф(е)! (Т).
(8.7) ') Т без верхнего индекса или скобок обозначает оба(чиню функцию. Глава 8 Матрица Ц)<е)1 содержит значения коэффициентов теплопроводно- сти: К<'„) 0 0 О 0 К» )7)(е)!— (8.8) а матрица 1В<е)1 получается дифференцированием [У<е)! по х, у и х. Соотношение для определения !В<е)) имеет вид дт дх дТ ду =)В('1,! (т).
(8.9) дТ дг Вектор-столбец правых частей уравнений для элемента определяется формулой (5.46): !)(е)) — ~~Я(е))т фд/ ) ~(я(е))т ()((с ~ !)у(е)!т т 1)(5 (8 10) З(е) 1 )Т(е) з(е) 8.2. Одномерный случай переноса тепла Интерполяционный полипом для одномерного линейного элемента имеет вид т=цт,+ цтл (8.1 1) где х< Х Л)) =( 1 — и Ф) — — —. ь) ь ' Эти функции формы определены относительно системы координат, показанной на фиг.
8.1. Элемент имеет длину Е. Матрицы в (8.7) и (8.9) принимают тепепь вид где величины О, д, Т„и Ь имеют заданные числовые значения. Вышеприведенные формулы содержат все данные, необходимые для составления матриц элементов в задаче о переносе тепла за счет теплопроводности. В следующих нескольких разделах наше внимание будет сосредоточено на уравнениях для отдельного элемента, поэтому мы будем опускать верхний индекс ('е) во всех обозначениях матриц элементов, исключая случай, когда необходимо будет различать два разных элемента. Перекос тепла эа счет теплопроеодности и коиеекции 137 (л)=(йг, й(,( ~(1 +) (8.12) ) ат' ! т+ ! т ! 1 Т! поэтому (8.13) Фнг.
8.1. Линейный одномерный элемент. Матрица свойств материала сводится к одному коэффициенту: (В)=(К,„). (8.14) Вычислим интегралы в (8.6): — — с(х = — "' (8.15) Площадь поперечного сечения при этом предполагается постоян- ной. и(й7)т (Лт) йс йР~ зэ о так как с(Я=Рт7х,'где Р— периметр. Периметр тоже предполагает- ся неизменным вдоль оси х. Производя перемножение в (8.16) и вычисляя интеграл, имеем й (Лг! (тч1с(о =Ф (8.17) (В)т Р) (В) а =~ ! с 1 1. (в) =~-,' [К„,) ~ — — — ~ Ас(х=' 138 Глава а Матрица теплопроводности элемента получается сложением матриц (8.15) и (8,17): Ж"1= —" + — .
(8 18) Член в (8.18), описывающий конвекцню, исчезает, если Ь равно нулю на границе элемента. Вычисление интегралов в векторе сил элемента. (8.10) дает к 1 —— Е ~Р)т()1 =ОА~ (8.19) к б к 1— Ь ~(л1)г ~б8=(Р~ з1 о (8 20) (8.21) Полное выражение для (р4) теперь имеет вид (8.22) Имея в виду последующее включение этого члена в сумму (г)= =Х(Рв>), это выражение можно переписать как е 1 > ЯА1. — чРь+ 'ат Рь 1 (8.23) Примером одномерной задачи переноса тепла является задача об охлаждении стержня.
Рассмотрим стержень, один конец которого соединен с источником тепла; через боковую поверхность стержня и другой его конец тепло отводится в окружающую среду. Формулы (8.19)' и (8.23) предполагают, что потери тепла за счет конвекции происходят только от боковой поверхности. Теперь рассмотрим соотношения, которые связаны с отводом тепла от конца одномерного элемента. Так как третий интеграл идентичен по форме второму, можно сра- зу же записать 139 Перенос тепла ва счет теплопроводности и конвекции Предположим, что тепло отводится через поверхность правого конца стержня (узел Д. Потеря (приток) тепла происходит либо в результате конвективного теплообмена, либо из-за наличия заданного теплового потока д.
Поэтому должны быть рассмотрены только поверхностные интегралы. Рассмотрим поверхностный интеграл в матрице теплопроводности: (т[н[[т [пт[ (8 ь ~ с1 [пт У [ (5 1Л/,1 Так как мы интересуемся поверхностью в )чм узле, Ус=О, й[д=1, н в результате подстановки этих величин имеем Ь[)т'[т [)ч'[с(Я= й [О 1[И= й сЖ, илн (8.24) й[н1[т [)У) д5 йА Эта матрица должна добавляться к сумме матриц (8.18), если на свободном конце происходит потеря тепла. Совершенно ясно, что коэффициент теплообмена в (8.24) может отличаться от коэффициента, который задан на боковой поверхности. Поверхностные интегралы в матрице ()'е)) принимают вид [Ф[т ЬТ йЬ=ЬТ А (8.25) [УУ ) т с[с[Я вЂ” с)А (8.26) Использование формул (8.24) — (8.26) вместе с (8.18) и (8.23) ил- люстрируется на следующем примере.
Пример 59. Требуется вычислить распределение температуры в одномерном стержне с пр~иведенными ниже физическими характеристикам[с. Разделим конструкцию на 5 элементов длиной 1,5 см каждый. Матрицы элементов для первых четырех элементов идентичны и могут быть составлены с помощью формул (8.18) н (8.23). За- !40 Глава а т =40'с ь=>а ам >сма К задаче 59.
пишем величины различных параметров, входящих в эти соотношения: АКкк =48а — =ба 'ааР>. Э ЬТ„РЬ = 1200а, ЬА=10а, ИТ А=400а. Матрица теплопроводности для первого элемента имеет вид или „> 48а — 48а 10>е 5а 58 — 43 Матрицы теплопроводности для второго, третьего и четвертого элементов идентичны ~9»1. Вектор нагрузки (8.23) элемента преобразуется к виду )Г»>) = —, или так как Я и 4> равны нулю. Матрицы для пятого элемента получаются из соответствующих матриц первого элемеята добавлением членов, описывающих потери тепла на правом конце стержня.
Чтобы- построить матрицу теплопроводности, нужно добавить к 1я»>1 результаты вычисле- 141 Перенос телла еа счет тенлонроеодности и конеекции ний в (8.24). Так как ЬА=10п, нужно добавить следующую мат» рицу: (Й>е>) =[йп~)+ =н Вектор нагрузки для пятого элемента уо1) «~>ч~ 1 + йАТ 0 или После применения метода прямой жесткости совокупность рас. смотренных матриц элементов приводит к следующей системе уравнений: 600 1200 1200 1200 ' 1200 1000 Т, Т Т Т, Т, Те 58 — 43 — 43 116 — 43 — 43 116 — 43 — 43 116 — 43 — 43 116 — 43 — 43 68 Здесь проведено сокращение на множитель и, так как он входит в обе части системы уравнений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
