Сегерлинд Л. Дж. - Применение метода конечных элементов (1051193), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Наш результат на 9,5о)о меньше этой величины. 6.4. Согласованные результанты элемента Недостатком применения линейных интерполяционных полиномов является невозможность получить градиенты как функции х и у. Градиент и любая связанная с ним величина получаются постоянными внутри элемента. Чтобы иметь более приемлемые значения узловых величин применяются различные методы усреднения.
Можно, например, в качестве значения градиента в данном узле принять среднюю по всем окружающим этот узел элементам величину. Узловые значения результантов элемента можно также получить с помощью теории сопряженной аппроксимации 121. Эта теория дает значения результантов элемента, согласованные с аппроксимирующими полиномами для векторной или скалярной величины. Изложение теории сопряженной аппроксимации выходит за рамки данной книги. Применение этой теории, однако, не представляет труда и будет проиллюстрировано на четырехэлементной модели рассмотренной выше задачи о кручении. о Связь между приложенным крутягдим моментом и углом закручивания квадратного стержня со стороной, равной 2а, дается формулой Т=0,140606(2а)' ([31, формула 170 на стр.
313). Для рассматриваемого примера 2а=1 и Т= =0,1406Сг6=196,3 Н см. 102 Глава а Узловые значения результантов элемента получаются решением системы уравнений [С[ [о[=[!с[, (6.26) где [С] и [)1] представляют собой сумму матриц элементов вида [сна[ = [1)1(в1)г [!)1(в 11 ([ве (6.27) [г(в11 — ~~~ [Я(е [г Яе а о — стандартный результант элемента. Определить (г('1) несложно, потому что величина о постоянна внутри элемента.
Легко вычислить [с(и], используя плоские 1.-координаты. Рассмотрим первый элемент подробнее. Имеем [)У((11 =[7., 7., О 7., О О[. запишем произведение [1)('"1)г [Ф" 1[: Е,7., О С,7., О О 0 0 0 О 0 в 3 в 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 [Л(((1[г [!)!(() [ Интегрируя по площади с использованием формулы (3.43), получаем 2 1 0 1 0 0 1 2 0 ! 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 [с"'1 = —, А('1 12 (6.29) (толщина элемента предполагается единичной). Вектор-столбец для первого элемента имеет вид 1 1 0 (233) 1 =А"'— 3 0 0 [г(11[ д А(') а 3 =А(" (6.30) 73 1 7.
Х., 0 7.17.3 0 0 1 1 0 1 0 0 77,67 77,67 0 77,67 0 0 Кручение стержня некругового сечения В предыдущих расчетах использовалось сдвиговое напряжение т,„только потому, что оно имеет наибольшее значение внутри каждого элемента. Сдвиговое напряжение т,„может быть рассмотрено точно так же. Вектор-столбец (Ц должен быть вновь вычислен с использованием числовых значений тио Заметим, что вектор- столбец [)() составляется только для величины, изменяющейся от элемента к элементу.
Итак, числовые матрицы элементов с первого по четвертый даются формулами (6.29) — (6.33). 0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 1 0 0 1 2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 2 0 0 0 0 0 0 0 00 213 213 0 213 0 А(а) [с") ) =— !2 [тга) ) =А(" [6.31) «г(а) [с"'[ ='— 12 [ т(а)) А(а) [6.32) [(,(а) [ А(«) 12 [ т(а') =А(') (6.33) Окончательная система уравнений получается суммированием уравнений для каждого элемента. В результате имеем 2 1 0 1 0 0 1 6 1 2 2 0 0 1 2 0 1 0 1 2 0 6 2 ! 0 2 1 2 6 1 0 0 0 1 ! 2 77„67 455,35 213 1 12 (6.34) 407,01 542,34 164,677 Так как все элементы имеют одинаковую площадь, то в последних формулах она опущена. Узловые значения результанта следующие: [о)т [70 9 436 5 724 1 353 6 671 4 475 5[ 0 О О 0 О О 0 2 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 1 0 0 1 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 1 0 0 0 1 2 1 0 0 0 1 1 2 0 164,67 0 164,67 164,67 0 0 0 0 164,67 164,67 164,677 104 Глава 8 Для результантов элемента можно, кроме того, получить соотношения, которые выражают изменение этих величин по площади элемента.
Мы не будем останавливаться подробно на этом, поскольку такие соотношения широко не применяются. Применение теории сопряженной аппроксимации сводится к решению, системы алгебраических уравнений, порядок которой совпадает с порядком системы, используемой для получения 'узловых значений.
Это представляет определенное неудобство при решении задач, которые требуют включения большого числа элементов. Способ, не требующий решения полной системы уравнений, обсуждается в гл. 7, где рассматривается кручение квадратного стержня с большим числом элементов. Последние этапы метода конечных элементов проиллюстрированы в этой главе на конкретной задаче. Было показано, как получаются матрицы элементов, а также как определяются результанты элемента, если известны узловые значения. Следующая глава посвящена вопросам машинной реализации метода конечных элементов. В гл. 8 — 12 будут рассмотрены различные применения метода.
Задачи 41. Проверьте матрицу жесткости и вектор нагрузки в уравнениях: 1) (6.196), 2) (6.19в), 3) (6.19д). 42. Провврьте значения сдвиговых напряжений для элементов: а) второго, б) третьего, в) четвертого для примера, рассмотренного в равд. 6.3. 43. Вычислите числовые значения ()с), необходимые для определения узловых значений т, . ЛИТЕРАТУРА 1. Рипн У. С., Роппда1!опя о1 5о1$8 МесЬапыя, Ргеппсе-На)1, Епн)еяяоод С1НЬЬ )Ч.
3., 1965, рр. 162 — 170. 2. Окреп 3. Т., ВгапсЫ! Н. й, Оп йе Са!си!ацоп о$ Сопннеп1 51геяя О!Мг!Ьинопя )п Р(п(!е Е)ешеп1 Арргох!ша1юпя, )а!его. А (ог е)ипег(са! Мегаог)я т Еан(- пеег(пд, 3, 317 — 325 ($971). 3. Т(шояьепко 5. Р., Оооанег Л. Н., ТЬеогу о$ Е)аяпспу, Мсбгаяя.Н$!1, )Ч.
У., 1970, рр. 315 — 316; есть русский перевод: Тимошенко С. П., Гудьер Лиг., Теория упругости, ияд-во «Наука», М., 1975. ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА Оятеп $). $$. Л., 2$еп)иесдсх О. С., Тогноп о( Ах!-5утше1пс 5о!Шя о1 ягаг!аь)е Г$$аше1ег — 1пс1пйпн Ассе)ега11оп ЕИесы, 1п1егп 3. (ог $Чшпег(са! Ме(ьог)я !и Епк(пееппк, 8, 195 — 212 (1974). уашааа у., Катая! Т., уояьешига )Ч., Апа)уня о1 йе Е)аякс-Р!аяис-РгоЫешя Ьу йе Ма1пх Гдяр!асегпеп( Мейод, Ргос.
о( йе 5есопд Соп(. оп Ма1пх Ме(ьо4я $п 51гис(ога! МесЬап)ся (АРРОь-ТК-68-$50), мГг)КЫ-Ра!(егяоп А$г Рогсе Вахе, Оау1оп, ОЫо, 1968. Глава 7 РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ НА ЭВМ Из результатов гл. б очевидно, что применение метода конечных элементов приводит к системе алгебраических уравнений. Порядок системы совпадает с общим числом неизвестных. Это число может быть порядка 10, 100, 1000, 10000 или даже 100000. Ясно, что для решения таких систем необходима вычислительная машина. Наше обсуждение метода конечных элементов будет неполным, если не рассмотреть машинную реализацию этой процедуры.
В этой главе рассматриваются процедура составления системы уравнений, ее преобразование и решение. Здесь представлена общая блок-схема вычислений, в которой используются симплекс- элементы, и приводится полученное с помощью ЭВМ численное решение задачи о кручении, рассмотренной в гл. 6. 7.1. Прямое построение глобальной матрицы жесткости Метод построения глобальной матрицы жесткости, представленный в предыдущей главе, весьма неэффективен при использовании цифровой вычислительной машины.
Эта неэффективность объясняется тем, что матрица жесткости отдельного элемента [йи~] имеет такое же число строк и столбцов, что и глобальная матрица жесткости [К]. Как видно из формул (6.19), большинство коэффициентов в матрице элемента равно нулю. Предположим, что область разбита на 50 элементов с 75 узловыми точками и нужно построить матрицу элемента [йел].
Матрица элемента должна содержать 75 строк и столбцов с общим числом коэффициентов 75'=5625. Из этих коэффициентов 5616 должны равняться нулю, так как для рассмотренной задачи о кручении матрица элемента содержит только девять ненулевых коэффициентов. Дополнительные неудобства связаны с тем, что глобальная матрица жесткости [К] получается суммированием матриц жест- Е кости элементов [йел], [К] =г. [у<4].
Матрица каждого элемента е=У должна быть вычислена отдельно от [К] и затем прибавлена к последней, а это требует запоминания обеих матриц [К] и [йач]. Необходимость помнить две большие матрицы приводит к пере- Глава 7 дф дх дф дд Значения коэффициентов 6м>и сы>могут быть вычислены по форму- В В лам (3.10), если заданы координаты узлов элемента.
После подстановки этих значений в [В">] соотношение (7.2) примет вид — 4 0 Д 4 (7.3) Подставляя [Вп>) в сокращен~ной форме в равенство (6.8) и вы- полняя умножение и интегрирование, получаем 0,5 0 — 0,5 0 0,5 — 0,5 — 0,5 — 0,5 1,0 (йм>) = (7.4) грузке запоминающего устройства, когда решаемая задача имеет большое число неизвестных. В эффективных программах процедура построения глобальной матрицы жесткости использует сокращенную форму матриц элементов [>>дв>) при получении уравнений для элемента.
Такой метод известен как метод «прямой жесткости». Применение этого метода исключает необходимость хранения больших матриц элементов, содержащих всего несколько отличных от нуля коэффициентов. Процедура кодирования, которая описывается ниже, представлена в работе [4). Прн использовании этого метода сначала рассматривается [УМ>) для конкретного элемента. Все глобальные степени свободы ф (или и в случае векторных величин), которые не относятся к этому элементу, исключаются из рассмотрения. Функции формы записываются в соответствии с порядком следования индексов >, 1, А, начиная с узла 1, в направлении против часовой стрелки.
Рассмотрим, например, элемент (3) на фиг. 6.3. Согласно формуле (6.9), для ф>в> имеем фол =ОФ1+ Увал Фа+ ОФз+ Л/Р>Фл -4- 1(>ам>Фв+ ОФв. Этому элементу соответствуют узлы 2, 5 и 4 и глобальные степени свободы Фм Фв и Фь После упорядочивания функций формы в направлении против часовой стрелки, начиная от узла >, последнее соотношение в сокращенном виде записывается как ф'в> =й>[з>Ф + Ум>Ф, +й>>з>Фл. (7.1) Матрица градиентов имеет вид )О7 Реализация метода конечно)я элементов на ЭВМ Таким образом, в результате,мы имеем матрицу размером ЗХЗ вместо матрицы размером 6 Х 6, данной в (6.19в). Матрица элемента имеет размер ЗХЗ, потому что этому элементу соответствуют три глобальные степени свободы.
Применив подобную процедуру к интегралу 2Щ (А)ьэ)]т ь(А получим цьэ) ) 1 (7.5) С помощью формул (7.4) и (7.5) уравнения для данного элемента можно записать следующим образом: 1 0 — 1 0 1 — 1 — 1 — 1 2 с Ф 29,07 Ф, = 29,07 Ф 29,07 (7.6) 2 5 4 )/г о ЕЯ) о ),'г — ь,'г — ьь г ~ь~г [з"'3= 5 Приписывание столбцам и строкам матрицы элемента номеров глобальных степеней свободы позволяет определить, какое место займут коэффициенты матрицы элемента в глобальной матрице жесткости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
