Сегерлинд Л. Дж. - Применение метода конечных элементов (1051193), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Стержень может быть разбит ва два линейных элемента (фиг. 5.!,б) с узловыми значениям(и Ть Тз ~и Тз. Температура внутри элементов находится из формул 70 Глава а где Аз — площадь поперечного сечения стержня ц Тз — температура в третьем узле. Объемный интеграл в (5.8) содержит производную от темпе~ратуры. дифференцируя (5.7), имеем »Т»> 1 =,, ( — Т,+Т.) (5.1 1) аты> 1 4Ь ~ >з> = — ( — Т,+Т,). Объемный ~интеграл должен быть разбит на два зьнтеграла, потому что выражение для г(Т~г(х не сохраняет неп>рцрывности по объему тела в целом.
Разделение, подстановка и интегрирование дают — — ( = ( — Т,+Т)з+ К>з> Аы> + „( — Т, + Т,)'. (5.12) При вычислении интеграла предполагалось, что площадь поперечного сечения каждого элемента постоянна, так что >11>=А>з>дх. П>редставлецие объемного интеграла по облает|и в виде суммы интегралов, каждый ~из которых вычисляется по отдельному элементу, позволяет >рассматривать >различные свойства материала для >различных элементов. Это является важной особен>постыл метода конечных элементов. Значение фу~нкциожала т получается сложением .выражений (5.9), (5.10) и (5.12).
В результате получается выражение для этого фу~нкционала через узловые значения темпЕратуры: >(= —,(Т; — 2Т,Тз+7з)+ —,' (Т,'— 2Т,Т,+Т;)+ -1->(А>Т>+ — з(7,'— 2Т,Т., + 7"' ), (5.13) где С<»=А»>К<»/С»> и С>з>=А'з>К>з>/1.>з> кк к» ветствующего первому узлу. Рассмотрим поверхностный интеграл, ,включающий коэффициент теплообмена Ь: — (Т(х) — Т )з>15= — (Т,— Т )з1Ж = зз эз — = — ' (Тзз 2ТзТ + Т'), (5.10) ЛАз (Тз Ткзк>) ЬАз з Рассмотрение краевых задач методом конечных зхементов Правильными значениями Ть Тз и Т, являются те, при которых величина Х минималына, поэтому дт — СцоТз+(С~~~+ЬАз! Тз — ЬАзТ =О. (5.14), Уравнения (5.14) могут быть преобразованы к виду Со' — Ссо 0 (Т, — дА, — Ссы (С"'+С"') — Ско !Т, = 0 (5.15) 0 — Сен (С"' -) йАз) ~Тз ЬАзТ- нли к более общей матричной форме (К) (Т) =(Р) (5.16) (мннус поставлен потому, что тепло подводится к телу) и Т =40'С.
Вычисляем коэффициенты: С"'= ' =20л=С"> 3,75 йА =!Ол, — дА, = — ( — 150) л =150л ЬАзТ, =10 л 40=400 л, Матрицу коэффициентов 1К] в формуле (5.16) обычно называют глобалыной матрнцей жесткости, Более уместным было бы назвать ее глобальной матрицей теплоцроводности, поскольку мы имеем дело с задачей переноса тепла. Векторный столбец (г) есть гло- бальный вектор нагрузки. Последний шаг нашего а~нализа заключается в зада~вин кон- Кретных значений для физических характеристик материала н получении числовых значений температуры Ть Т, и Тз. Пусть К„„=75 Вт/(см 'С), 6=10 Вт/(смз 'С), А=л см', 1=7,5 см, Ч= — 150 Вт/смз Гаава д Окончательная система уравнений имеет вид 20 — 20 0 — 20 40 — 20 0 — 20 30 Т =к 0 (5.17) Этим уравнениям удовлетворяют следующие узловые значения температуры: Т<=70, Та=625, Та=55.
(5.19 ) Т,,Т,) <Ч+~", <Т, Т ) «З, ,> 2(.(и г(а> э(а> где гхо — А(<>7<и>др> и С(»=А(»К<~)/Е('>. ПРодиффЕРонциРУем те- перь каждую компоненту Х по воем узловым з<начениям. Начнем с Х('>: =~ — < — Т,+Т,)< — 1) <)г+~ к<5, уо> э(1> ~-" =~ '„", < — Т,+т,)«р, г(о дх<'> — =О.
дТ, (5. 20) 5.2. Повторное рассмотрение примера Как следует из уравнения (5.15), процедура ми~нимизации приводит к системе л~инейных уравнений, которые могут быть решены от~носительно узловых значений. Однако ~на цифровой вычислительной мапьине ие легко реализовать процедуру .мвнимизации в том виде, в каком она использовалась здесь для получения уравнений.
Существует другой способ получения необходимой системы уравнений. И~нтегралвная,велич(вна Х <разбивается на соответствующие отдельным элементам слагаемые, которые м<и<нимизнруются по узловым значениям до того, как будут вычислены интепралы.,В результате получается сонокувность интегралов, которые могут быть ~вычислены и лросуммированы по элементам. Представим Х в виде суммы Х=Х(н+Х (5.18) где Х<'> — сумма ннтег(ралов для .первого элемента, а Х<'> — подобная сумма для второго элемента: Х( =~ ",", < Т,+т,) <Р+) рт,<5, гц> з(1> Рассмотрение краевых задач методом конечных злементов 73 Вычисляя в этих соотношениях интегралы, получаем Ссы — С"' 0 — Ссо Спо 0 0 0 0 дХ д (Т) (5.21) Днфференцнруя вторую компоненту, имеем дХ(е( — =0 дТх дт =) (н ( Тз+тз)( 1)от ду(Н а С(е> =1 — „( — Тз+Тд67+1й(тз — Т )а, о(е( з(е) нлн после вычнслення интегралов О О О Т о с — с ~(т ~)+ 0 — Спо (С"'+ ЬАз) (Тз) 0 0 (5.22) — йАзт ) дХ(~~ д (Т) (5.23) Сцо — с со о — С"' (С(ы+ С(з)) — С' 0 — Сон (С"'+ йАз) Т, + 0 =0 (5,24) Эта система идентична онстеме уравнений (5,15) В изложенном подходе к цроцеосу ми~ннмнзацн~н валено именно то, что снстема уравнений может быть получена для отдельных элементов.
Сумм~црова~нне по элементам в соответствии с формулой (5.23) представляет собой очень удобную для машкиной реалнзацни процедуру. 5.3. Уравнения метода конечных элементов: задачи теории поля Одномерная задача распространения тепла, рассмотренная в предыдущих ~разделах, является одной нз несколыонх ~важных фнзнческнх задач, которые могут быть оп~пса~вы а~налопнчными днф- Для мсаннмнзацин т по узловым значениям необходимо, чтобы выполнялось равенство д (Т) д (Т) д (Т) Поэтому если сложить выражвння (5.21) н (5.22) н результат приравнять нулю, то получим желаемую снстему уравнений 74 Глава в ференциальными уравнен~нами в частных производных.
Дифференциальное уравнение для каждого из этих физических процессов содержится в общем квазигармон~ическом уравнении дх (Кхх дх )+ д (Кыы да )+ дг (Кгг дг )+Я=О (5.25) с граничными условиями 9=Фа иа 8~ (5.25) и (мли) Кхх дх ых+Кыы да ыы+Кхы дг ыг+ы)+л(~р — Ч>,а)=0 (5.27) на 5г.
Объединение 5~ и Бг образует полную границу. Коэффициенты К„„, К„„и К„, а также величина д могут быть функциями х, у,и г, но предполагаются ~независимыми от ~р. Величимы 1„, (ы и й, в формуле (5.27) — направляюпзие косинусы вектора лормалй к,поверхности. Уравнен~не (5.25) пр~имвнимо как к изотроплым, так ~и к ан~изотропмым телам. Коцрдинатные оси, однако, должны быть параллельны главным осям инерции в ализотуопных областях. Уравнение (5.25) вместе с граничными условиями описывает распростра~нсние тепла в трехмерной области (4]. ~В этом случае К„„, К„„и К„соответствуют коэффициентам теплопроводности, Я вЂ” внутрен~илий ~источник тепла ~или сток, д — тепловой поток на части поверхности и )г — коэффициент теплообмсна.
Полевая функция гр оцределяет темпсрату~ру тела. Уравнение для одномермого и двумерного случаев распространен~ия тепла может быть получено из формулы (5.25) с учетом того, что дыр/ду=О и (или) дфдг=О. Если ма той части пра~ницы, где ~р ме определено (на Яг), обе величины д ~и й .равны нулю, равенство (5.27) сводится к следующему условию: (5.28) которое отражает отсутствие переноса тепла (теплоизолироваи~ная граница).
Рассмотрим далее двумерную ситуацию, когда К,„=Кыы=1, 9=268 и ~ра=О;на всей границе. ~В этом случае уравнение (5.25) сводится к следующему уравнению: — + д, +268=0, (5.29) которое встречается в задаче о кручении упругого стержня нецругового сечения,(5). Полевая функция р теперь является функцией напряжений, 6 — упругая характеристика материала, 8— Рассмотрение краеэых задач методом кокечиых элементов угол закручивания сечения стержня. Напряжен(ия сдвига, вызванные внешним крутящим усилием, получаются дифференцированием (р по х и у. Другой ~важной двумерной задачей является задача о безвих.ревом течении жидкоспи.,В этом цримцре К,=Кое=1, 9=0 н уравнение (5.25) сводится к у(равнению (5.30) с граничными условиями (р=(рв и (д(р/дх) 1„+ (д(р/ду)/и=О [6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
