Сегерлинд Л. Дж. - Применение метода конечных элементов (1051193), страница 8
Текст из файла (страница 8)
п=2. Все дифференциальные уравнения, ~рассматриваемые,в этой книге, могут быть представленье в форме соотношений, содержащих самое большее первые частные производные, поэтому от антерполяционных функций следует требовать непрерывности в межэлементной зоне, но нх частные производные не должны подчиняться этому условию. Однако, так как сумма Х Мв=1, частная производная по х от. Р=е этой суммы равна нулю. Таким образом, критерий относительно градиента удовлетворяется автоматически, если только удовлетворяется критерий (3.47). Глава 8 Непрерывность для од!номорного элемента гарантирована, так как любые два смежных элемента имеют обпзий узел. Однако треугольный элемент слож»нее. Раосмотрим два омелиных элемента (фиг.
3.11). Начало системы координат поместим в»-м узле. »л а Уз Ь ! 1 ! » ! , 1! ! ! ! Фиг. 3.1%. Значения ь-координат в точках на границе элемента. Фиг. 3.11. Непрерывность вдоль общей границы двух треугольных элементов. Обозначим узловые значения через Ф», Фь Фа ~и Ф!. Аппроксимирующие функции для»р имеют вид »Р =А»» Ф»+А»» Фа+А»» ф» (3.50) р =»у»гл ф»+ А»»у! Фу+ й!а»х! Фа, тде верхний индекс обозначает элемент. Доказать,непрерывность»р вдоль общей границы элементов просто, если воспользоваться 1.-координатами.
(,-координаты Ц'! и Л»гт»~измеряются от сторон, пропивоположных»-му узлу. Перепйп»ем формулы (3.50), используя 1.-координаты: »р»х! =Ц»1Ф, + Цпфа+ Ц»!Ф,, (3.51) ,р»а! г»х!ф +г»т!ф 1 г»х»ф, Линейные ингерноляционные оолиномы С-координаты Ц~ и Цм измеряются от общей цраницы, поэтому вдоль этой границы Ц1=Ц4=0. Соотношения (3.51),в точках общей границы сводятся к следующим: Ф~ ~=Цпфе+ Цпфа=Цифе+(1 Ци) ф» (3.52)е Р'=ЦаФе+1РФа=1РФе+(1 — ~Р) Фа так как Цп+Цн=1 и Ц'>+Цм=1, Рассмотрим произвольную точку общей границы, которая расположена на расстоянии з от й-го узла (фиг. ЗА2). Отношении А1'ЧАН1 и А1з1гА~а',равны велич~иве з/Ь и, следователыно, равньа между собой.
С другой стороны, указааиые опношення цредставляют собой числовые значения С-координат ЦН и Цз1, откуда можно заключить, что ЦН=Цм для произвольной точки общей графинины. Используя это,равенство в формуле (3.52), получаем„ что всюду вдоль границы грн~=~р~е~, что и требовалось доказать. Задачи 11. Вычислите функции формы для следующих элементов Узловые координаты указаны в круглых скобках.
К задаче ! К 12. Определите локальные функции формы для одномерного элемента, если начало локальной системы координат,расположено в центре элемента. Глпва 3 13. Узловые значения температуры для треугольного симплекс- элемента равны Тз=130'С, Т;=100'С и Та=120'С. Выясните, где мзотерма 125'С пересекает границы элемента.
14. Покажите, что !ч! для оимплеконого треуголын~ика равна нулю в узлах 1 и й, 0,0) К задаче 13. 15. Покажите, что 1!!! для оимплеконого треугольника равна нулю,в произволыной точке отрезка, соединяющего узлы 1 и й. 16. Покажите, что функции 1~ормы для симплеконого треугольяика удовлетворяют критерию Е Гав=1 в каждой точке элемента. а 1 17.
Матрица [С]-' для тетраэдрального элемента с узлами 1, 1, й и 1 в точках (О, О, 0), (2, 1, 0), (1, О, 1) и (1, 1, 2) соответственно имеет вид 0 0- 1 0 2 1 3 3 1 3 (С1 '= 1 1 4 2 3 3 3 3 1 1 1 1 3 3 3 3 Убедитесь, что эта матрица является обратной к [С] и затем определите функции формы для этого элемента. 18. Что вы можете сказать о строках, матрицы [С] ' в задаче 17, если критерий сходимости Л1;+1ч';+Гча+Л1!=1 удовлетво!ряется, когда рассматривается тетраэдральнйй элемент? 19.
Определите градиент й!р/г(х для тетраэдрального элемента двумя способами: 1) выбирая в качестве исходных сооъношения 57 Линейные ингерполяциснные полиноиы (3.16), выполняя д~ифференци~ровалие, а затем умножение матриц; 2) дифференцируя функции формы. 20. Зада~вы узловые,перемещения для двумерного симплексзлемента: Определите компоненты перемещения в точке В (10, 10). Коор- динаты узлов (в миллиметрах) указаны в круглых скобках.
(0,0 К задаче 20. 21. Вычислите ~интеграл 7 ° У, У7 (М,Цйр»)е1~, й7» Уп где 20 — длина стороны симплексиого треугольника между узлами 1 и 1, а Уь Мз и Ф» — функции формы. 22. Вычислите объемный интеграл У! НУ для симплексного треугольника площади А и толщины б ()„»=2 мм, ()»7=5 мм, (.1»,=4 мм, 1)м,—— б мм, Оад» вЂ” — — 1 мм. Глава 3 ЛИТЕРАТУРА 1. Е!зепЬеги М. А., Ма!чегп 1.. Е., Оп Р1пйе Е!ешеп1 1п1еига!!оп !и Ыа1ига! Соогй!па!ез, 1птегп, 7, '!ог )ч'итег!са! Мвздоагз !и Елй!певг!пй, 7, 574 — 575 (1973).
2. Кар!ап %., Айчапсей Са!си!из, Айг!!зоп-%ез!еу, йеао!пй, Маза., 1952, 3. Кгеузх!а Е., Аачапсеа Епа!пеег!па Ма!Ьеша!!сз, 3-гг! еа., %!!еу, Ы. У., 1972. 4. Ойеп 3. Т., Рйпйе Е!ешеп!з о! Ыоп!!пеаг Сопйпиа, Мсбгаиг-Н!11, Ы У„125— 137 (1972); есть русский перевод: Оден Дж., Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред, изд-во «Мир», М,, 1977. $. 2!епй!ечг!сх О. С,, Тйе Е!пйе Е!ешеп! Ме1Ьой !п Епи!пеег!пй 5с)епсе, МсбгатчНй!, Еопдоп, 1971, р. 93; есть русский перевод: Зенкевич О., Метод конечных элементов в технике, изд-во «Мир», М., 1975.
Глава 4 ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ПОЛИНОМЫ ДЛЯ ДИСКРЕТИЗОВАННОЙ ОБЛАСТИ В гл. 3 обсуждались интерполяцион~ные соотношения для симплекс-элементов. Числовые значения узловых координат при этом ~не фиксировались, так что,размеры элемента и его ориентация могут быть выс)раны так, как это )необходимо. Это одно из важных достоинств метода конечных элементов. Свобода,в выборе )размеров,и ориентации элементов позволяет составить весьма общие вычислительные подпрограммы, включающие различные элементы. Такие подпрограммы могут быть использованы без нзменення,при рассмотрвн~ви областей с самыми разнообразными границам~и. Теперь сосредоточим внимание иа отдельном элемеите, с тем чтобы вывести систему уравнений для области в целом.
Точнее говоря, мы хотим включить каждый элемент в,рассматриваемую область и выразить через глобальные координаты и глобальные узловые значения ~и)нтерполяционные уравнения для каждого используемого элемента. Начнем с рассмотрения скалярных величин .и затем обобщим полученные ~результаты ва случай векторных величин. 4 ). Скалярные величины Интерполяцион~ный полипом в общей форме, полученный в гл. 3, имеет вид Ф, Фт Фь , ц) (й)1 (Ф1 (Дэ) йТэ) й)и) Т)Ти) (4.1) Ф, где г — число узлов элемента, верхний индекс (е) означает произвольный элемент.
Техника включения элемента в область может быть проиллюстрирована на примере простой пятиэлементиой конфигурации, покааанной,на фхг, 4.1. Узлы про~нумерованы от единицы до шес- Глава 4 ти. Величины Фь Фт, Ф„Ф„Фв и Ф, представляют собой глобальные степени свободы. Координаты узлов (Хр, ур), р= =1, 2,..., 6, предполагаются известными.
Номера элементов записаны в круглых скобках. Для обозначения померов узлов элемента могут быть использованы принятые ~выше индексы й 1 и л, как только определен первый узел в каждом элементе. На фиг. 4.1 (-й узел в а (е,х у) 4 ф,,х,,р,) (ф,хд) (ф,х,у ) Свит. 4.1. Правильно маркированная нятивлементная область.
каждом элементе выделен звездочкой.,Выбор этого узла соверяпенно произволен, хотя читатель вскоре сам убедится в удобстве именно такого ~расположения первых узлов. Узлы 1 и и следуют за 1-м узлом в пап~равленин против часовой стрелки. Фиксирование узла 1 позволяет записать следуюпзие равенства для первого элемента: 1=3, (4.2а) 1=2, Соответствие такого же типа может быть установлено для других элементов: С помощью этих соотношений можно осуществить включение эле- мента в область, так как о~и~и ставят,в соответствие и~ндексы эле- мента й 1, )т глобальным номерам узлов. Этот процесс фиксирует кооудинаты узлов элемента, элемент 2: 1=3, 1=2, элемент 3: 1=5, 1=3, элемент 4: 1=6, 1=3, элемент 5: 1=1, 1=3, й=4, 1=4, 1=5, 1=6. (4.2б) (4.2в) (4.2г) (4.2д) Интерполяционные полиномы для дискретизованноб области 61 Значения 4(лдексов 4, / и й могут быть, подставлены в формулу (4.1), что приводит к следующей совокул>иост>и ураваее(ий для элементов: 'т в 3+ в Фз+ з зе (р(з> — У)з>Фз+ Л>1з>Ф, + №з>Ф„ (р(з> й>(з>Ф + >>>(з>Ф 1 >1>(з>ф , (р(4> >У(4>(Р 1 Л>в(4>Ф 1 Л>(4>(Р Ф" =Л7>Ф(+Л7>Фв+й>(в>Ф ° (4.3) Функции формы — множители при узловых значениях в формулах (4.3) — определяются подстановкой числовых значений >, / >н й в у~равнения для функций формы.
В обозначениях 4', 1, и функция формы №е> записывается в виде (4.4) где а(о = Х,1'> — Х(Г„ (е> Ье('=)'( — 1;, (е> сл =Х( — Хо Для пятого элемента 4=1, 1=3 и те=6. Подставляя эти значения в выражен~не (4.4), получаем №з' = — !а(и -1-Ь(з>х+сниу] 1 4 ОЕ>(4> 4 4 4 (4.6) а(з> = Хз)'з — Х,У„ Ь(' =)'з — )т„ с(з> =Хз — Х . (4.6) с(4> =Х,— Х,, Сравнение формул (4.6) и (4.6) ясно показывает, что У > отличается от >>>(44>. Фу~ницци формы М$4> и Ж(ез> ~в (4.3) — совершенно разные величины, даже если А(4> равно А('>. В выражение для М "' входят следующие константы: Глава в С помощью у(равнений (4.3) досд>игается,наша ос(новная цель.
Ко~печные элементы объединяются,в ансамбль, а интерполяциониые фу~нации выражаются через глобальные узловые значения и глобальные координаты, кот(>рые вводятся вместо произвольных д, )' и (з, рассматриваемых в гл. 3. Каждое из уравнений в системе (4.3) содержит глобальные узловые значения, ~но относится к ко(нкретному элементу. Мы будем !в дальнейшем использовать >расширенную форму этих уран.
некиий, которая имеет вид Рп' =У(п Фд+ У(П Фа+ У~пфз+ Офв+ Офа+ Офв (Р(а) =Офд+У)з> Ф +У)з>фа+ У(з)фа+ Офа+ Оф„ (Р(а) Офд+ Оф + У(з>фа+У(з>ф + У)>фа+ Офве (4 7) (Р(') =У)в Ф! + Оф, + Ув(з>фа+ Офв + Офв+ №ва'фв Эти уравнения мож~но записать следующим образом: Ф (р(д) (р(а) (р(а) (ры) (рм) ) У((> У1(> У('> О О У(2) У(2) У(в у(з> у(з> о о л,' о Л7) 0 У('> О 0 0 Ф, фа 0 0 у(з> (4.8) ув ув ф 0 у(а> в ф Сокращенная форма иитерполяцно!н!ных уравнений используется, когда осуществляется машинная реализация метода. Расширенная форма имеет некоторое преимущество, когда (рассматривается цроцесс м(инзамизаци~и, который связан с дифференцированием мат>риц элементов. Расширенная форма уравнений применяется только в следующих двух главах.
Сокращен(ная форма уравнений будет использоваться, когда мы будем иметь дело с применениями метода к специальным областям. Альтернативой формулы (4.8) является уравнение, которое получается объединением уравнений для отдельных элементов; последнее уравнение опр(еделяет область в целом. Суммируя у~равнения для отделиных элементов, получаем (р ~я~~ ~(р(е) (4.9) в ! где Š— число элементов. Применение формулы (4.9) к совокупности у(равнений (4.8) дает (р (Уев+У(н)ф +(Ув(>>+Уев>)ф +(У((> 1 У(з» У(з>+У(а)+ +УЩФа+(У(а)+У(з>) ф + (У(з>+№4>) Ф +(У~в>+У(а>)фа (4 )О) Интсрлоляционныс аолиномы для дисярегиаоаанной области 63 У~равнен~ие (4.10) ~не используется в этом учебн|ике.
Оно включе- но только для того, чтобы познакомить читателя с его существо- ва~нием. 4.2. Векторные величины Включение элемента при рассмотрении;векторных величнаг проводится с помощью ~рассуждений, .а~налогичных тем, которые приведены в случае скалярной,величины. Правильно пронумерова~н- и, Фиг. 4.2. Пятиэлементная область с обозначениями компонент вектора перемещений. иые узловые перемещения для области ага фнг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
