Сегерлинд Л. Дж. - Применение метода конечных элементов (1051193), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Если полевая функция (р задана на непроницаемых г(раницах области (на гран(ицах, по нормалями к которым не пронсход~ит течения жидкоспи), то уравнение (5.30) определяет л(инни тока при безвихревом течении жидкости. С другой стороны, если полевая функция оп(ределена на тех частях границы, по,нормали к кото~рым течет жидкость, то уравнение (5.30) описывает эквипотенциальные лип~и~и, которые ортогональны линиям тока.
Дифференциальное уравнение для ограниченного потока грунтовых вод [2] также содержится в (5.25). В этом случае (5.31) а граничные условия имеют вид (р=(ро и (или) К,„(д(р/дх)1„+ +Кои(д(р/ду)(э+()=О. Коэффициенты К„и К„„определяют прон~ицаемость почвы, Я вЂ”,источник (или стон) воды, а полевая фу(нкция (р — пьезомет(рический,напор. Величина (/ соответствует просачиванию воды через,водоносный слой вдоль части его гра(ницы.
Друпие важные физические задачи, которые описываются уравнением (5.25), связа(ны с .рассмотрен(ием электростатического и магнитостат(ического полей, а также жидких смазочных пле~нок. Последняя задача подробно изучена в (работе [3).
С вариацио(и~ной точки арения,решенне уравнення (5.25) с гравичным~и условиями (5.26) н (5.27) эквивалентно отысканию мин(имума функционала 1( =) 1 ~К,„(~~ ) -1-К„„( ~~ ) [-К„(ф) — 2(с(р1(()l-[- (~[(ч.~.—,' ь(ч ч„([ю. (532( Мцнииизация функционала (5.32) должна быть осуществлена на множестве узловых значений (Ф). Для этой цели воспользуемся п(роцедурой, рассмотренной в предыдущем разделе, а именно будем мннимизировать функционал (5.32) перед вычислением ин- Глава Б тенралов.
Этот подход позволяет выбрать характеристи)ви элементов, наиболее прриемлемые для каждой конкретной задачи. Начнем процесс мпиимизацпи с преобразования функционала (5.32). Этот шаг несколько упрощает последующие операции. Введем две матрицы: (5.33) О О К„ -Г (5.34) Соотношение (5.32) может быть теперь записавшие,в виде где Š— общее число элементов. Последнее соотношение может быть символически записано как Х=Х")+Х®)+" +Х(а)=~) Х". (5.37) в ) где Х(') —,вклад отделыного элемента ~в Х.
Минимизация Х требует выполнения соотношения = — 2; Х" =ч,' — '=О. д(Ф) д(Ф) д(Ф) в-(, 1-) (5.38) Х ) 2 [[е) [,(л[ [е') — 2(Р(в)()У+ ) Уд((8+ 51 + — [(р' — 2(р(р +(р' [Ж (5.35) Вспоминая, что фу~нкции от (р,не являются непрерывными во всей области, вместо них введем в рассмотрение функции (р('), определенные (иа отдельных элементах. Интег(ралы,в (5.35) должны быть ,разбиты на,интегралы по отдельным элементам, что дает Х ~ ( ) [й~(е)) г [()(в)) [аа(е!) (((/ ~ (Р(в)()(е) ((К + ) 2 а=! „(е) (е) г а(в) + [р('()(')((3+( ~ [р"р') — 2р")р +рв)(ьь, (5,35) 5(~) 5(в) 1 в Рассмотрение краевых задач методом конечных элементов Частные производные д)((е)/д(Ф) в (5.38) не могут быть определены, пока )интегралы,в (5.36) не будут выражены через узловые значения (Ф).
Учитывая соотношение (4.1): (р(е) [й)(е)» [ф» можно вычислить величину (6.33), которая вместе с (4.1) может быть подставлена в (5.36). Запишем выражен~не для (д(е)): ду(е) д)((е) д)()(е) 1,2 Р дх дх д (е) дх да)(е) 1 ди д е)(е) д у(е) 2 Р ди ''' ду дЛ)(е) д)))(е) 2 Р д (е) ди [е1(е))— (5.39) дЛ)(') 1 дх д,р(е) дх дг ''' дх ил,н ~~В(е)»т [0(е)» [В\е)» [ф» (у ),(е) [м,(е)) [В(е)» (ф» (5.40) где [В] содержит инфо)рмацию, овязаныую с производными от функций фцрмы. Эти величины пока пе известны, потому что функциями ф()рмы еще пе определены. Использовамие формул (4.1) и (5.40) позволяет записать онтегралы по элементам в (5.36) в виде )((е) =~ — [Ф»" [В"'»т [0(е)» [В"» [Ф» с[»т — ~ (»[Л)(е)» [Ф» с[»т+ (е) (е) .~ ~() Я(в)[ [ф) ([Я 1 ~ [ф»т [)У(е)»т [1)1(е)» [ф»([Я з(е) з(е) 1 2 — ] Ьр [л('~» [Ф) Ю+» ~ (р'„(Б.
(5.41) з(е) (е) 2 2 Величины Я, (), 1р и й — известные коэффициенты. Они внесены под знак интеграла, потому что могут изменяться анутри элемента. Дифференцирование величины (5.41) по (Ф) представляет собой совершенно простую операцию, если пользоваться пуавиламп дифференцирования, приведенными в приложении Б. Рассмот)р~им формулу (5.41): ( ( [ф»т [В(е)»т [»)(е)»[В(е)» [ф] ()[т д[э»» Я т(е] Глава б — ~ Я [Л((е)] [Ф] ([К вЂ” ~ () [Л/(е)]т л[т д ,(е) ,(е! — ~([[Л/(е]] [Ф] ([ — ~(/[Л/(е)]т ~с з(е) з(е) 1 '1 Эта совокупность интегралов может быть записана в компактной форме: дт(е] (е] [Ф] — — [а(')] (Ф]+ [/ад], (5.44) где [/((']=~[В"]т [В"] [В"] (Лт+~ Ь[Л/("]т [№е)] дВ (5.45) ,(е! З(е) [/(е)] — ~(~[Л((е)]т ([[т ] ~() [Л(( )]т (Б ~ йр [№е)]т ([3 (5 46) ,(е) (е) (е) 51 1 (5.42) д Ф ~ — [Ф] т [Л((е)]т [Л/(е)] [Ф] ([Я=~/) [Л/(е)] т [Л/(е)] [Ф] до з(е) з(е) — ~йр [Л/( ]] [Ф] ([5=~ йр [Л/( )]т ([В (е) з(е) д ('а — "— (р„=().
д(Ф] ) 2 в(е) Вклад отдельного элемента д)((е]/д(Ф) в общую сумму в д)(/д(Ф) равен д (е] =/['[В(]] [ ][В( )]д]+ д[Ф] ') ] ,(е) „[ ~ ЦЛ/(е]]т [Л((е)] ([Я) [Ф] ~ ЯЛ/(е ]т л[ее (е) (е) е + ~ ([ [Л((е)]т ([ — ~ йр„[№е]]т вБ, (5.43) э(е) а(е) 1 В 79 Рассмотрение краевых задач методом конечных ээементов Окончательная система уравнений получается после подстановки выражения (5.44) в (5.38): Е д (Ф) ме =С~ ([й< <[ [ф -[- У< !))=0, е=! (5.47) нли (5.48) [К! [Ф[=Т[ где [К[ — ~Ч~З [ь<е<[ (5.49) [Р) = — Х [1" [. (5.50) 5.4. Уравнения метода конечных элементов: теория упругости Решение задач теории удругости может быть про~ведено одним из двух методов.
С помощью перьвого метода, решают дифференциальные уравнавия с задаи~ным~и гра~нлчныии условиями. Второй метод заключа~ется в м!инимизаци~и и!нтегуальной величины, связанной с,работой !напряжений и внепэней приложенной напрузки. Для решения задач теор~ил упругости методом ко~вечных элементов используется последний подход. Если задача, решается в перемещениях !и,на гра<нице зада~вы,их значения, то нужно минимизировать потенциальную энергию системы. Если задача решается в ~напряжениях с задан<ными на границе усилениями, то нужно ~м~иаимизеровать дополнительную <работу оистемы.
Общепринятая формулировка метода конеч<ных элементов предполагает отыскание поля .пе<ремещен~ий и тем самым связана с минимизацией потенциальной энергии системы ирли отыска~нлн узловых значен|ий ~вектора перемещений. После того как перемещения будут определены,,можно вычисл~ить компоненты твнзоуов деформаций и напряжений. Интег4!алы ~в (5.45) определяют матрицу теплопро~водности элемента [й<е>], а интегралы,в (5.46) — вектор <напрузки элемента ()<е!). Эти ~и!нтегралы представляют собой основные результаты этого <раздела.
Вычисление этих и~нтегралов обсуждается в главах, где,раосмат<хиваются специальные области применения. Составление глобальной матр!ицы из матриц элементов иллюстрируется л описывается детально в следующей главе. 80 Глава В .Поскольку далее мы будем пользоваться формулировкой метода конечных элементов, связанной с минимизацией потенциальной энергии, приведем здесь теорему о потенциальной энергии (11. Из всех перемещений, удовлетворяющих кинематическим граничным условиям, стационарное (экстремальное) значение потенциальной энергии сообщают те перемещения, которые удовлетворяют уравнениям равновесия.
%'= — %'„. Из формул (5.51) и (5.52) получаем П=Л вЂ” %'. (5.52) (5.53) После, разбиения области иа элементы равенство (5.53) записывается в виде суммы Е Е П ~ (Л(е) Я7(е)) ~ пио (5.54) е=1 Прежде чем обсуждать минимизацию П в общем случае, рассмотрим один простой примЕр. 5.4.!. Осевое нагружение элемента конструкции Применение теоремы о ми~нимуме потенциальной энерги~и будет проиллюстри~рова~но на пр~имцре осевого нагружения элемента конструкции,,показанного ~на фиг. 5.2. Осевое перемещение изменяется линейно от нуля на закрепленном конце до величины Л=РЦАЕ на ~нагруженном конце.
В этой фон~муле Р— нагрузка, Š— длина, А — площадь поперечного сечения детали конструкции, Š— модуль упругости материала. Важное требовавшие этой теоремы состоит,в том, что искомые пе.ремещения должны удовлетворять заданным значениям иа границе. Полная потенциальная энергия упругой системы .может быть разделена ~на две части, одна из которых соответствует энерги~и деформаций в теле, а другая определяется потенциальной энергией массовых сил,и приложенных поверхностных сил. В соответствии с этим запишем полную потенциальную энергию в виде П =Л+%'„ (5.51) где Л вЂ” энергия деформаций, а %'р — потенциальная энергия приложенных сил.
Работа внешних сил цротлвоположиа по знаку их потенциальной энергии: Рассмотренае краееых задач методом конечных элементов иг и, Фиг. 5.2. Осевое нагружение детали конструкции. снт от чипа выбранного элемента. Мы будем использовать однэг линейный одномерный элемент, поэтому ип'= гт'я3г+ й(язв Так как У~ должно ~равняться нулю на закрепленном конце, вы- шеприведенное уравнение сводится к следующему: (5.ба Потенциальная энергия определяется формулой (5.ба Интегральное слагаемое представляет энергию деформаций, тогда как член вида РУг выражает, работу приложенной онлы. Компонента тензора напряжений о, связана с компонентой тензора деформаций е законом Гука о„=Е,е„„поэтому выражение (5.56) может быть записано в виде П=А~ 2 Ез „ггх — РИ„ Р 1 о (5.ба С помощью метода конечных элементов определены перемещение на напруженном конце стержня.
Решение задачи при этом. начи~нается с выбора модели для перемещения. Эта модель зави- Глава в где Н'=АЫх. Предполагается, что площадь поперечного сечения детали конструкции постоянна по длине. Деформация е„„связана с перемещен~нем соотношением е„= =г(и/г(х. Дифференцирование выражения (5.55) дает и, кл Потенциальная энергия системы теперь, выражается следующим образом: П = 2 ) ( .~ ) ах — РУ~ — — 2 И' — РБ~. (5.59) о Минимизация П по с1в приводит к уравнению — = — и — Р =0. (5.60) Решая уравнение (5.60), получаем РЕ У=— АЕ ' (5.61) 5.4.2. Общий случай Энергия деформации бесконечно малого объема в(У дается формулой аЛ= — (е) (о) — (е,) г (о), (5.62) где (з) — пол~ная деформация, а (ев) — начальная деформация.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
