Сегерлинд Л. Дж. - Применение метода конечных элементов (1051193), страница 9
Текст из файла (страница 9)
4.1 показаны на фиг. 4.2. Общее уравнение для элемента '(3.23) приведено здесь для удобства: с'Ю- и„. с'ее †()яа (4.11) Соответствие между узлами элемента 1, 1 и й и глобальными узлами идентично представленному в (4.2), если только используются те же самые отправные узлы. Соотношения для четвертого Глава 4 элемента 4=6, /=3, й=5 сводятся к следующим: У„ Уэ У, Ув У, Узэ ! ов ) ~Л((о О Л'(и О Л" О 1 ,«> ~ ~ О ЛИ4> О Л ,4> О Л((4>1 (4.12) Уравнения (4.12) представляют собой сокращен(ную форму уравнений для и<') и о(4>. Расширенная форма будет включать все 12 узловых значений Уь..., У(з. Расширенная форма уравнений, определяющих элементы, для области иа фиг.
4.2 дана в (4.13): (У, 4.3. Выводы Изложенные в этой главе ~идеи очень просты,,но и очень важны, потому что позволяют осуществить закреплен(ие элемента в каркасе тела. Воспроизведение этого процесса для отдельных элементов дает возможность аппроксимировать скалярную ~ил~и векторную величину на всей области кусочно-непрерывной функцией.
Задачи 23 — 26. Определите соотношения, с помощью которых можно осуществить включение элементов в области, изображенные ниже. Отправной узел отмечен звездочкой. Узловые координаты даются в круглых скобках. исы о(з) и'Э) о(Э> и(э) о(Э ) из оз з оз Л((п 0 0 Л(<)> 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Л('1з> 0 О Л)( Ф((> 0 0 №'> Л(14) О 0 Л(1з> 0 0 0 0 0 О 0 0 0 0 0 0 Л(<н 0 0 0 Л(<н 0 Л/(3) О Л((з) О Л((') О Л(<з> 0 Л>$Э> №з> О Л((4> 0 0 0 Лl(4) О №з> 0 0 0 Л((з> О 0 0 0 0 0 0 Л(<з> О Л((з> Л>(з> 0 Л(14> 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Л(1з> 0 О Л((4) Л(~'~ 0 0 №'> 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Л((4> 4 0 №з> 4 У, Уэ У4 Уз У, Уз У, У, У>а У„ У„ 4.13) Интерлоллционные нолиноны длл диснретиаоаинноб области 55 27 — 30.
Получите общие уравнения, определяющие элементы, для областей в задачах 23 — 26, если в каждом узле рассматривается одна неизвестная. (атд гтог б йн йв )з) )т) )з) )о о) г огс) 4;ОЗ; )4; К задаче 23. К задаче 24. Жз) ) !о,о) р, 5),а), К аадаче 25. К аадаче 25, 31 — 33. Получите общие уравнения, определяющие элементы, для областей в задачах 24 — 26, если в каждом узле рассматриваются две векторные компоненты. 34 — 37. Запишите интерполяционные соотношения для первого элемента каждой из областей в задачах 23 — 26 через х и у (х в задаче 23), аредполагая, что ~в каждом узле отыскивается одна ~неизвестная.
Глава 5 РАССМОТРЕНИЕ НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В двух предыдущих главах, рассматривался вон~рос о том, как аппроксимировать, непрерывную функцию иа отдельном элементе. К~роме того, было показа~но, как из,результатов, полученных для отделыных элементов, составляется множество кусочно-непрерыв.ных функций,,необходимое для аппроксимации данной непрерывной функции на,всей облает~и.,Это множество кусочно-непрерывных функций определяется числовым~и значениями узловых величин.
Наша конечная цель — получить для узловых величин такие числовые значения, при которых соотношения для элементов очень точно аппроксими~руют,некоторый наивный физический параметр. На ранней стали~и развития метода конечных элементов узловые значения опред|елялись ми~нимизацией интегральной вел~ичи~ны, связанной с фиъическим процессом.
В задачах механики деформи~руемого тела, например, минимизировалась потенциальная энергия системы. ~В,результате уравнения, определяющие элементы, сводились к системе, алгебраических уравнений Равновесия, которые можно разрешить относительно узловых перемещений. В задачах теории поля (перенос тепла, течение грунтовых вод, расчет магнитных полей,и др.) ми~нниизировался некоторый функционал. Этот функционал обладает тем свойством, что любая минимизирующая его функция удовлетворяет как исходным дифференциальным у~равнениям, так ~и граничным условиям. Позднее для вывода системы уравнений, определяющих узловые значения, стали, использоваться методы, взвешенных ~невязок. Один из ~и~их, метод Галеркина, обсуждается,в гл.
17. В дан~ной главе дается .вывод уравнений метода конечных элементов, основанный на,минимизации некоторой интегральной величины. Мы ~начнем с ~рассмотрения небольшого пр~имера, который иллюстрирует вывод ураанеиий для узловых значений искомой величины,в задачах теории поля. Затем на том же примере мы покажем, что процесс ми~и~имизацин может быть завершен до вычисления ~интегралов по элементам. После, рассмотрения пр~имера дается общий вывод уравнений метода конечных элементов для трехмерных задач теории поля. Глава завершается обш|им выводом уравнений метода конечных элементов для задач теории упругости.
Окончательные ~результаты как для задач теории поля, так 67 Рассмотрение краевых задач методом конечных элементов и для задач теории упругости представлены в аиде поверхностных и объемных ~интегралов, которые вычисляются при рассмотрении конкретных областей прим~окентия. При последующем обсуждении п~редполагается ~наличие иекоторых предварительных знаиий стандартной терминологиями ~рассматриваемого матер~нала.
Размерности,различных величин вместе с их общепринятым~и обозначениями приводятся в главах пуикладного характера. 5.1. Простой пример: перенос тепла в стержне Лучше .всего процесс минимизации меж~но про~иллюстрировать при рассмотрении цростой геометрической фигуры. Рассмотрим од~номерный поток тепла .в стержне с теплоизолирова~нной боковой поверхностью (фиг. 5.1, а)'>.
К закрепленному в стене концу д Фиг. 5Л. двукэлементная модель, используемая в зада- че о переносе тепла в стержне. стержня подводится тепловой, поток зада~иной интенсивности г). На свободиом конце стерженя происходит конвектиеный обмен тепла. Коэффициент теплообмена й, температура окружающей среды Т„, 'С. Стержень теплоизоли1рова|н, так что потерь тепла через боковую повцрхность ие происходит. и Или в оесконечной пластине. — Прим, ред. Глава о Запишем д|ифференциальное у~равнение для распределения температуры внутри стержня: ат (5.1) с граничными условиями К„„— +у=О при х=О 4Т хх ц|„ (5.2) К „— +п(Т вЂ” Т )=О при х=Т., 4Т (5.3) где К„, — коэффициент теплопровоцности материала стержня. Тепловой лоток а) полоноителеи, если тепло отводится от стержня.
Уравнение (5.1) с приведенными граничными условиями имеет единственное ~решение. Оно является отп~равной точкой при получении численного решения методом конечных разностей. Другой метод:решения задач переноса тепла основан иа иариационном подходе. В вариан~ионном исчислении'> устанавливается, что для минимизации функционала у= ~ — "( — „) гУ+Я~Т+ — й(Т вЂ” Т )'1Ю (5.4) с граничными условиями К ~ Т + и + ( Т Т ) О (5.6) Ураннеция (5.5) и (5.6) идентичны исходным уравнениям (5.1)— (5.3), поэтому любое ~распределение темлоратуры, пр~и котором функционал т, определяемый формулой (5.4), становится минимальным, также удовлетворяет дифференциальным уравнениям и, таким образом, является ~решением исходной задачи.
Оба граничных условия (5.2) и (5.3) содержатся в (5.6), так как поверхностный интеграл в (5.4) должен быть, разбит на два интеграла по каждой из торцовых поверхностей стержня. о Введение в этот предмет дано в приложении А. необходимо, чтобы удовлетвцрялось дифференциальное уравнение (5.5) 69 Рассмотрение краевых задач методом конечных зеементое Т(о=й((нт, + Л7) Ть Т($) =)Ч(2) Т + Л/(з) Т . (5.7) Соответствующие функции фс)рмы оцределены соот)ношениями т() ' ) т() Для,рассматриваемого примера функционал представляет собой сумму следующих интегралов: ,-) —,' «„'("'„~~ 1ст~.~~т(*)се~- аз +~ — (Т(х) — Т )з63 (5.8) где 5) и оз — площади поверхностей, на которых заданы () и й.
Значение функциовала у получается полста~вовкой температуры Т(х) и вычислением ивтегралов. Поверхностные интегралы легко вычисляются, та~к как подынтегралыным выражениям соответствуют узловые значения. Начнем с интеграла, включающего тепловой поток д: ()Т (х) Ж =()Т, ~ ((Б = ЧТ,А„ зз з1 (5.9) где А( — площадь поперечного сечения стержня, соответствующая первому узлу.
Функция, описывающая ~изменение температуры Т(х), принимает постоянное з~начвние Т, в точках сечения, соот- Уравнен~не (5.4) служит отправной точкой для определения температуры в каждом узле. Мы минимизируем функционал (5.4), ~используя множество функций элементов, каждая из которых определена ва отделыюм элементе и выражена чеуез узловые значения. Узловые значения Тз — неизвестные величины в. нашей формулировке. Так как о~ни определяют значенме функцио~нала )(, миниминизация )( должна быть .проведена по этим величи~нам. реализация метода конечных элементов ~начинается с определения подобластей и их узловых точек.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
