Сегерлинд Л. Дж. - Применение метода конечных элементов (1051193), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Это означает, что градиенты этой величины в направлениях х и у будут постоянны. Градиент в направлении х определяется-соотношением — = — Ф,+ — Ф + — Ф„ д~р дЛЬ дйг дУь дх дх ~ дх 1 дх (3.11) дй'а — =да, дх р=Ч.ч. Поэтому дх =~Р~+М+~ьФь. (3.12) Тзк как Ьь Ьь Ьь постоянны (онн фикоированны как только заданы узловые координаты) н ди ~рч н ~рь ~не зависят от координат пространства, частная производная в (3.12) имеет постоянное значение. Постоянства градиента внутри каждого элемента означает, что необходимо использовать очень малые по величине элементы, чтобы аппроксимировать быстро меняющуюся функцию ~р. Вычислим значение Ф» в 1-м узле: )у, = — (а + Ь х+ с у) = 1 ат — — Хь)л, — 1'ьХм < Ьч=ть ) 3 с~ —— Х,— Х; < аь=Х,Ут — Х;Уи Ь,=У, — Ур с„=Х, — Хи зт Линейные интерполнционные полиномы ПримеР 5, Требуется получить соотношение, определяющее элемент, и вычислить значение давления в точке В с координатами (2, 1,5), если зада~вы узловые змачения Р1=40 Н/смз, Р,=34 Н/смз и Р»= =46 Н/смз.
Р»=4б Р. =З4 ! ! ! ) К задаче 8. Давление р внутри элемента определяется по формуле Р=И!Р!+ И»Р1+ И»Р», тде 1Ч' = — лА (ай+ ЬЕН+С1Я 1 )Р„= — (а„+Ь, +с»9). 1 Подстановка значений координат узлов в формулу (3.10) дает а, =Х,У» — 'Х,1; = 4(5) — 2 ( — ) =19, ае — — Х»У! — Х,Г» =2(0) — 0(5) =О, а» =Х1)л) — Х»Г! = 0 ~ — ! — 4(0) = О, l! 1 Ь, =)'~ — )'» = — — 5 = — 4,5, Ье=У» — )л! —— 5 — 0=5, зв Глава 3 1 1 Ь,=У,— У;=0— 2 2 ' с,=Х» — Х;=2 — 4= — 2, с;=Х,— Х»=0 — 2= — 2, г»=Х,— Х,=4 — 0=4, Х, У, х, у,.
0 0 1 4 2 =20 — 1=19. Х, ); 1 2 5 После подстановки констант в функции формы выражение для р принимает еид р=[(19 — 4,5х — 2у) Р, + (5х — 2у)Р1+ ~ — х + 4у1 Р»11 —. Значение давления р в точке В с координатами (2, 1,5) равно р= — ((7) (40)+ 7(34)+ 5(46)) =39,37 Н/см». Пример 9. Требуется определить линию уровня, соответствующую величине давления 42 Н/см', для треугольного элемента, использоваеного в задаче 8. Искомая линия уровня,пересекает стороны й и к). Поскольку давление меняется линейно ~вдоль каждой из сторон треугольника, можно составить простые отпошения, позволяющие получить координаты точек на указа~нных сторонах, через которые проходит искомая ли~пня. Для стороны 1л имеем 46 — 42 2 — к 4 2 — к 46-64 2 †4 или — = —, х 2,67 см 12 — 2 Следует отметить два полезных свойства треугольного элемента.
Во-пцрвых функция»р:изменяется линейно между двумя любыми узламн. Так как узлы определяют границы элемента, ~р меняется линей~но вдоль каждой из трех его сторо~н. Отсюда следует второе полезное свойство: любая линия, вдоль которой 1р принимает одинаковые значения, есть прямая, пересекающая две стороны элемента. Исключением будет случай, когда ~во всех узлах значения ~р одинаковые. Приведенные два свойства позволяют легко определять ливни у~ровняя скалярной величины.
Обратимся опять к предыдущему примеру, чтобы проиллюстрировать эти свойства. Линейные интернолнционные нолиномы 46 — 42 5 — у — — или 46 — 34 5 — 0,5' у=3,3 см. Поступая аналогично, получим координаты точки иа стороне 1й: 2 5 х= — см и у= — см, 3 3 Линия уровня показана ниже: К задаче 9. ~р =а, + а,х+ а у+ а»а. (3.13) Коэффициенты можно определить, используя четыре условия в Узлах: Ф, =а»+а,Х, +а»У, +а»Ео Ф; =а»+ а,Х»+ а»У~ + а»Ял Ф» =а»+ а,Х»+ а У»+ а»2», Ф» — а, + а,Х, + а»У»+ а,Еи З.З.
Трехмерный симплекс-элемент Трехмерный симплекс-элемент представляет собой тетраэдр. Четыре его узла обозначены индексами 1, 1, й и 1, причем обход узлов 1, 1, й в том порядке, как они иаписаны, осуществляется против часовой стрелки. Узел 1 расположен в вершине, находя- Шейся вне плоскостями узлов 1, 1, й. Элемент изображен иа фиг. 3.4. Интерполяцион~ный поли~ком для тетраэдра имеет вид Глава 8 Эта система уравнений может быть решена с помощью и~ранила Крамера.
Такая процедура, однако, требует вычисления пяти определителей. Проще всего провести эти,вычисления ~на машине. Систему уравнений (3.14) запишем в матричной форме )Ф) =)С) )и), (3.16) Фнг. 3.4. Трехмерный снмнлекс-влемент. где (3,16) (3.! 7) [С) = Строка коэффициента (а) может быть получена обращением матрицы [С] и последующим умножением (3.15) на 1С) '. )а) =(С)-' )Ф). (3. 16) Так как гр=ах+ахх+а,у+гсвг=[1 х у г) )Ф)т )Ф Ф~Ф Фг) )т а, «:~е ав а, Линейные интерполпционные полиномы то, используя формулу (3.18), получим ~р=[! х у г] [С]-' (Ф). (3.!9) Определитель матрицы [С1 равен шести объемам 'тетраэдра. Элементы матричной алгебры, необходимые при использовании правила Крамера, изложены, ~напр~имер, в ни~иге Зенкевича [51. Пример 10.
Координаты вершин тетраэдра показаны а1иже. Требуется определить функция формы, а1спользуя процедуру обращения 0,0] К задаче 1О. матрицы. По значениям координат узлов составим матрицу О 6 ΠΠΠ— 3 3 О 3 — 1 — 1 — 1 [С] '=— 1 б Π— 1 — 1 -1Х,У,Е; Х,];г, 1 Ха Уа Л Х ]л, г, Ей соответствует обратная матрица 1 1 2 Г 1 О О О 1 2 О О 1 1 О 3 Глава 3 Запишем интерполяц~ионный поленом в=[1 х у г][С]-' (Ф]. Так как ф=РЧ [Ф] функции формы представляются произведением вида [М]=[1 х у г] [С] После подстановки [С] ' имеем О 6 ΠΠΠ— 3 3 О [У] = — [1 х у г] 1 3 — 1 — 1 — 1 Π— 1 — 1 2 или [У]=~ 2, б (6 — Зх — у — г), б (Зх — у — г), б ( — у+22)1, Гу Таким образом, функции фоумы,рассматриваемого элемента имеют вид У,=— у 2 Ф 6-Зк-у-г б Зк — у — г 6 — у+2г б 3.4.
Интерполирование векторных величин Иитерполяниоииые соотношения и предыдущих разделах используются при рассмотрении скалярной величины. Векторная веничииа, напр~имер перемещение, имеет как величину, так и направление, поэтому в каждом узле ~необходимо определять более одной неизвестной (степени свободы). Обычно в этом случае поступают следующим образом:,векторная величальна представляется ее компонентами, которые рассматриваются как неизвестные скалярные величальны. Каждый узел будет содержать одну, две или три неизвестные в зависимости от того, какая задача рассматривается — одномерная, двумерная нли трехмерная.
Линейные интериоляционные иолиноиы Используемое,в этой юниге обозначение компонент вектора проиллюстрировано яа фиг. 3,5. Все компоненты обозначаются буквой К Отдельяые компоненты различаются нижн~им индексом. Числовые значения нижних индексов упорядочиваются в соответствии с ~направлением компонент ~вектора по осям х, у, х. иу пэ пати Фиг. 3.5. Обозначения узловых векторных величин, используемые в симплекс- элементах. л — одномерный элемент; б — двумерный элемент: в — трехмерный элемент. Наименьшее значение соответствует компояенте по оси х. Направление положительной компоненты совпадает с положительным направлением соответствующей координатной оси. Буквы и, о и го,используются для обозяаченяя перемещений по осям х, у я х.
В одномерной задаче представления векторной н скалярной величин ~в~нутри элемента совпадают, так как в обоих случаях в каждом узле отысюивается только одна неизвестная: =И,иэ+Ци,=)И,И,.) 1( '), ~У1 (3.20) г где и — перемещение вдоль элемента. Функции формы, приведенные здесь, ядентяъны записанным в формуле (3.5). ,При,рассмотрения векторной,величины,в треугольном симл- лекс-элемеяте следует использовать результаты равд. 3.3. Горизонтальное перемещен~не и апцроюсим~ируется выражением =ци„, + ци„э+ц(у„„ (3.21) вертикальная компонента о представляется формулой =цр„+ ция+ ци„. (3.22) Глава 8 Этн два соотношення могут быть запнсаны с учетом всех узловых значеанй вектора перемещения: =У,и„,+ 0(У„+ Ци„,+ О(Ум+ У,и,„,+ Ои„, =Од„,+У,и„+Ойн,+УУ„+ И~„,+У,(Г„.
(угг-г ~и„ и У 0 У 0 У„О ~(л' (3.23) о 0 У, 0 Ут 0 Уг (~гт У,„', представленным в формуле случай терех измерений, по- У, О О У О О У„ О О 0 У, 0 0 УтО 0 УгО 0 0 У, 0 0 Ут 0 0 У„ (Н (3.24) 3.5. Местная система координат Получение системы уравнений для узловых значений нензвестных величин включает интегрирование по плошади элемента функцнй формы нлн нх частных производных.
Интегрирование может быть упрощено, если записать ннтерполяцнонные соотношения в системе координат, связанной с элементом. Эту систему координат называют местной (нлн локальной) системой координат. Интерполяцнонные соотношеаня могут быть записаны в местной снстеме координат путем преобразования уравнений, получен~ных в глобальной снстем~е координат.
Рассмотрим треугольный элемент, в котором скалярная величина представляется в виде ~р=У,Фг+У~Фт+УгФг, Воспользуемся матричными обоз~наченнямн Функции формы и (3.23) идентичны (3.10). Распространив эту процедуру ~на лучнм следующие зависимости: ин, ин, и„ и,, и„, и„ (у (Ггг-г и„ 45 Линейные ингерполяционные полиноиы а функции формы определяются формулой (3.10).
Поместим местную систему координат в центре элемента, как показано иа фиг. 3.6. Запишем формулы цреобразоваиия координат: х=Х+и, (3.26) у=У+1, Фиг. 3.6. Местная система координат для треугольного элемента. где Х и У в координаты центра: — х,+х~+х» 3 (3.26) УГ+'г'У+'г» 3 Функция формы )Ч4 в глобальной системе координат имеет вид Ж; — (а, + Ь|х+ с;у). 1 Подставив сюда вместо х и у их выражения через з и г, получим Уг — — (а, + Ьг (Х+ з) + сг (1 + 1)), или (3.27) )т',= — !(а, +Ь,Х+с,.г')+Ь,з+сД. Г*аеа а В результате преобразования Ь» и с» остаются неизмененными и по-п~режнему умножаются ~на ~независимые переменнью.
Константа а» изменяется. Вспоминая определения а», Ь, и сь данные в формуле (3.10), и учитывая выражения (3.26), можем обнаружить, что (а»+Ь;Х+с»У),равно 2А/3. Таким образом, функция формы в системе координат, связа~н~ной с элементом, принимает вид й»»= 2А ~ 3 +(1'» — У,)з+(Х» — Х»)»]. (3.28) 1 Г2А Аналогично получаем выражения для других функций формы: з +(1 ' Уэ) з+(Х" Х') 1] (3'29) 1 Г2А й/„= 2А ~ 3 -1- (1» — у'»)з+(Хт — Х;)1], 1 Г2А Интеграл от функции, заданной в глобальной системе координат, ,может быть вычислен в меспной системс координат с помощью соотношения (31 1(х, у) а»х»(у= ~ /(х(з, 1), 1»(з, 1)11,/~ »(з»11, н» (3.30) ~/(х, у)»/х»(у=~/(х(з, 1), у(з, Г))»(зй.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
