Сегерлинд Л. Дж. - Применение метода конечных элементов (1051193), страница 4
Текст из файла (страница 4)
У' Фиг. 2.4. Осесимметричный конечный элемент. ф .. показан элемент, широко используемый в осесимметрических задачах. Этот элемент образуется поворото у нка на 360 . Подобный элемент может быть получен ащен~ием четырехугольника. нраще- Дискретизация области 2.2. Разбиение области на элементы Процесс дискретизации может быть разделен ~на два этапа:,разбиение тела ~на элементы я яумерация элементов и узлов.
Последний этап логически совершенно прост, ио усложняется в связи с напвим желанием повысить эффективность вычислений. .В этом, разделе, рассматривается разбиение двумерной обласпи на линейные треугольные элементы. Двумерная область выбрана для удобства иллюстрации; кроме того, идеи, представленные здесь, могут быть обобщены яа случай тр~ехмвряого тела. Дискре- Фиг.
2.5. Деление области треугольного вида иа линейные треугольные элементы тизацня од~номер~ного тела почти тривиальна, так как она сводится только к делению отрезка на более короткие участки. Разбиение двумерного тела иа треугольники выделеяо потому, что этот элемент — простейший из двумерных элементов в смысле.
аналитической формулацровкн. Требование простоты элемента связано с тем, что при,моделировании области должно быть использовано большое число элементов, поэтому деление области иа треугольники, вероятно, наилучший сцособ,разбиения.
При ~разбиении любой двумерной области ва элементы сначала тело делится ~на четшрехугольные и треугольные подобласти, или зоны, которые затем подразделяются яа треугольники. Границы между, подобластями должны,проходить там, где изменяются геометрия, приложенная ~нагрузка яли свойства материала. Наиболее просто можно ~разбить т~реугольную подобласть яа элементы, сел~и выбрать оцределсиное число узлов вдоль каждой.
стороны, соеди~нить соответствующие узлы прямыми линиями и точки пересечения этих линий считать узлами. Треугольная зона, показанная на фиг. 2.5, а, .разбита ~на девять элементов после размещения четырех узлов на каждой стороне. Узлы яа сторонах зоны ие обязательно располагать яа ~раиных,расстояниях. Варьироваиие расстояния между ними позволяет из~менять размеры элементов. :22 Глава 2 Если треугольная подобласть криволинейная, криволинейные границы элементов заменяются на прямые отрезки.
Разбиение криволинейной треугольной зо|ны на ли~нейные треугольники пока.зано на фиг. 2.5, б. Штриховой линией цредставлена исходная форма, сплошными л~н~ниями изображены элементы. аелигле разбиение елаегельиее разбиение Фнг. 2.6. Деление области в виде четырекугольннка на линейные треугольные элементы. Если на стороне треугольной подобласти выбрано и узлов, чис.ло треугольных элементов в результате разбиения, равняется (и — 1) '.
Четырехугольные зоны обычно разбивают на элементы соединением узлов на провивоположных сторонах (фиг. 2.6, а). Пересечения лвний определяют внутренние узловые точки. Внутренняе четырехугольники могут ~рассматриватыся как элементы; онн могут быть разбиты яа треугольные элементы проведением короткой .диагонали в каждом внутреннем четцрехугольяике (фиг.
2.6,б). Разбиение с использованием короткой диагоналя предпочтительно, потому что элементы, близкие по форм~е к равностороннему треугольнику, приводят к более точным, результатам, чем длинные узкие треугольники. Число узлов на смежяых сторонах четырехуголывика может быть 1различным, во на цротивополоионых сторонах узлов должно быть поровну, если только сеть Разбиения не язмельчается (или укруганясгся). Расстояние между графиниными узлами можно варьировать, чтобы получать элементы ~различных,размеров.
В четырехугольнике будет 2(п — 1) (и — 1) элементов, если ва смежных сторонах его фнкоировано п и и узлов. Треугольная ~и четырехугольная .подобласти могут иметь общую границу. Число узлов на этой границе для обеих подобластей должно быть одинаковым и относительное положение узлов должгно совпадать. Это требование необходимо для сохранения непреры~в~носвн,рассматриваемых величин вдоль общей границы элементов. Дискретизация области Применение изложен!ных ядей дяскрепизации и!раиллюстри!ровано !на фиг. 2.7.
Расстояния между узлами вдоль гра!ниц четы!рехугольной зоны изменяются так, чтобы элементы вблизи криволинейной части гра!ницы был!и малыми. Фиг. 2.7. Деление тела на треугольные н четырехугольные зоны с носледующиьа разбиением на треугольные элементы. 1, 1 Фнг. 2.8. Разбиение расширяющейся области на линейные треугольные элементы.. Равномерное разбиение, когда все элементы имеют одинако-- вую,форму и размеры, обычно не и!роводнтся, потому что существуют кояцентрация ~напряжений, температурные градиенты я т. п.
Возможность варьировать !размеры элемента — важное достоинство метода ко!печных элементов. Наиболее простой способ существенного изменения !размеров элементов заключается в применении четььрехугольных подобластей с неравным числом узлов на противоположных сторонах.
Хорошим варна!нтом является случай расположения двух узлов яа одной стороне против каждых трех узлов на проти!воположиой стороне. Такая подобласть показа!на на фвг. 2.8. В задачах механики твердого дефо!рмируемого тела необходимо отметить узлы, которые имеют определенные перемещения Глава 2 Для обозначения неподвижных узлов применяется символ неподвижного шарнира (фиг. 2.9,а).
Если узел может перемещаться только,в одном направлении, используется символ подвижного шарнира (фиг. 2.9,б). Подвижные шарниры, изображенные на Фпг. 2.9. Неподвижные узлы и узлы, которые могут перемещаться и одном направлении. фиг. 2.9, б, допускают перемещения,в вертикальном направлении и не позволяют двигаться ни в од~ном из гср~изонтальных направлений. Учет узловых условий такого типа осуществляется путем видоизменения системы уравнений,,решение которой определяет узловые перемещения.
Многие физические задачи не имеют четко установленных границ области анализа.,В задаче 5 рассмотрен один из таиих примеров — процесс ~распространения тепла. Земля простирается бесконечно далеко вниз от тротуара, а ~излучающие тепло кабели простираются направо и налево на неопределенное расстояние. Моделирование тел, бесконечно протяженных в одном ~или нескольких направлениях, представляет определенную трудность для ~инженера, так как он должен иметь дело с ограниченной моделью. Для а~нализа следует выбирать при этом достаточно большую область, чтобы вычисляемые вдоль ее грааьиц величины были. согласованы с теми значениями, которые встречаются в физической задаче.
В задаче 5, например, необходимо выбрать достаточно большую по глубине область с тем, чтобы значения в узлах, расположенных на значительном расстоянии от кабелей, были ~равны между собой. Вероятно, лучшим руководящим принципом в дан~ном случае являются опыт и ~изучен~не чужого опыта в моделирова~нии подобных неограниченных областей. 25 Дискретизация области о о о о сь С С С О С С С С С С о о с о с с с с с с о с о с с с с с ь о с' о с с с с о с с о ь с о о" с с с с с с с с с с о с с с с с о с с с с с о,с о о о с о о о о Фиг.
2ДО. Ширина полосы матрицы системы уравнений. (С обозначает ненуле- вые коэффициенты.) между главной диагональю и этими линиями называется шириной полосы матрицы. Все коэффициенты вне этой полосы равны нулю, н они ~не должны вохра~виться н машинной памяти. Правильная вычислительная пропрамма использует только те коэффициенты матрицы, которые находятся внут)ри указанной полосы. Уменьшение ширины полосы приводит к сокращению размеров требуемой ,маши~иной памяпн, а также к сокращению времени вычислений.
Шир~ина полосы В,вычисляется по формуле В=Д+ 1) (). (2.1) где )с — максимальная по элементам, величина наибольшей разности между номерами узлов в отделыном элементе, Я вЂ” число не,известных (число степеней свободы) в каждом узле. Миним~изация величины В саяна~на с минимизацией Я, что, в частности, может быть осуществлено последовательной нумерацией узлов при деи- 2.3. Нумерация узлов Нумерация узлов была бы тривиальной операцией, если бы номера узлов не влиял~и на эффективность вычислений, необходимых для получения решения. Использование метода конечных элементов приводит к системе линейных алгебраических уран~пений, большое число коэффициентов которой уавио нулю.
Рассмотрение матрицы коэффициентов системы показывает, что все ненулевые .коэффициенты и некоторые нулевые находятся,и~ежду двумя лиявями, параллелыными главной диагонали (фиг. 2.10). Расстояние Глава 2 женил в ~направленнн ~наименьшего размера тела. Два разных способа нумерации узлов в теле показаны на фнг. 2.11, а н б. Наибольшие разности между номерами узлов для первых элементов на фнг.
2.11,а н б равны 7 ~н 21 соответственно. Значения 1г для полных наборов элементов равны 9 н 21. Для ширины полосы получаются значения 10 н 22, еслн в каждом узле отыскивается Фнг. 2дк два примера нумерации узлов при разбиении на влементм двумерного тела.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
