Сегерлинд Л. Дж. - Применение метода конечных элементов (1051193), страница 2
Текст из файла (страница 2)
М. Шерифу и Джосу де Бердемекеру за их замеча~н~ия и полезные советы, а последнему н за предложение ~наива~пня книпи. Наконец, я благодарен г-же Джулии Хофман и г-же Барбаре Саймс за их труд по перепечатке рукоп~иси. Глава 1 МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Метод конечных элементов является численным методом решения д~ифференциалыных уравнений, встречающихся в физике и технике.
Возникновение этого метода связано с решением задач космических исследований (1950 г.). Впервые о~н был опубликован в работе Тернера, Клужа, Мартина ~и Топпа 14~. Эта работа способствоьала появлению других ~работ; был опубл|икован,ряд статей с применениями метода конечных элементов к задачам строительной мехаииюи и механики сплошных сред.,Важный вклад в теоретическую Разработку метода сделал в 1963 г. Мелош [2], который показал, что метод конечных элементов можно рассматривать как один из варианте~в хорошо известного метода Рэлея- Ритца.
В етроителыной механике метод конечных элементов минимизацией потенциальной энергии позволяет свести задачу к системе линейных уравнений равновесия. Связь метода конечных элементов с процедурой минимизации пр|ивела к широкому использованию его при ~решении задач в друвих областях техники. Метод ~применялся к задачам, описываемым уравнениями Лапласа или Пуассона. Решение этих ураьнвний также связанно с ми~нимизац~ией;некоторого функционала. В первых публикациях 16, 71 с помощью метода конечных элементов решались задачи, распространения тепла.
Затем .метод был п~рименен к задачам гидромеханиюи, в частности к задаче течения жидкосви в пористой среде. Область применения метода конечных элементов существен~но расшвр~илаеь, когда было показало 13, 8), что уравнения, определяющие элементы в задачах строительной мехвники, распространения тепла, пидромехаииюи, могут быть легко получены с помощью таких вариантов метода взвешенных невязок, как метод Галеркила или способ наименьших квадратоа. Установление этого факта сыграло важную .роль ~в теоретическом обосновании метода конечных элементов, так как аозволило ~применять его п~ри решении любых дифференц~налыных уравнений. Следует отметить, что более общие теоретичесюие обоснования исключают необходимость вариацион~ной формулировки ф~изических задач. Метод конечных элементов нз численной процедуры ~решения задач етроителыной,меха~н~июи превратился в общий метод числен- Глава ! ного решения дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений.
Этот прогресс был достипнут за пятиадцатилетний период за счет совершенствования быстродействующих цифровых вычислительных мапьин, ~необходимых для более точного ~расчета конструкций летательных аппаратов, а также благодаря помощи Национального комитета по исследованию космического пространства. Вычислительная машина позволила ускорить проведение многих сложных численных расчетов. Изучение косм~ического пространства потребовало выделения средств иа проведеаие фундаментальных исследований ~и стимулировало совершенствование универсальных вычислительных программ. Метод конечных элементов применяется при проектировании самолетов, ракет„ различных п~ростра~нственных оболочек и т. и. 1.1. Основная концепия метода конечных элементов Основная идея метода конечных элементов состоит в том, чтгл любую непрерывную величину, такую, как температура, давление и перемещение, можно аппроксимировать дискретной моделью, которая строится на множестве кусочно-непрерывных функций'), определеннсчх на конечном числе подобластей.
Кусочно-непрерывные функции определяются с помощью э~качений ~непрерывиой величины в конечном числе точек рассматриваемой обласпи. В общем случае непрерывная величина заранее иеизвеспна н нужно определить значения этой, величины в некоторых внутренних точках области. Дискретную модель, однако, очень легко построить, если сначала аьредположить, что числовые э~качения этой величииы,в каждой внутренней точке области известны. После этого можно перейти к общему случаю. Итак, ар~и поспроении дискретной модели ~н~епрерывной величины поступают следующим образом: !.
В рассматриваемой области фиксируется коиечное число точек. Эти точки называются узловыми точками или просто узлаа,м,и. 2. Значение иепрнрывной величины в каждой узловой точке считается переменной, которая долж~на быть определена. 3. Область определения иепрцрывной величииы разбивается иа конечное число подобластей,,называемых элементами. Эти элементы имеют общие узловые точки и в совокупности аппрокоимируют форму области. о В этой книге рассматриваются только функции в виде линейных, квадратичных и кубичиых полииомов. Слова «поливом» и «фуакция» в дальиейгаеге будут считаться эквивалентными по смыслу.
Метод конечных элементов / л 3 4 5 а ~ х 3 4 5 х=1. б Фиг. 1Л. Распределение температуры в од- номерном стержне. Фиг. 1лп Узловые точки и предпо- лагаемые значения Т(х). обязательно )располагать их на равном, расстоянии друг от друга. Очевидно, можно )ввести,в рассмопрение и более пяти точек, но эвих пяти вполне достаточ)но, чтобы проиллюстрировать основную идею )метода. Значения Т(х) в да)ином случае извеспны в каждой узловой точке. Эти фиксированные значения цредставлены графически на фиг.
1.2, б и обозначены в соответствии с,номерами узловых точек через 71, 72, ..., 7|. Разбиение области на элементы может быть проведено двумя Различными способами. Можно, )например„ограничить каждый элемент двумя соседними узловыми точками, образовав четыре элемента (фиг. 1.3, а), или )разбить область на два элемента, каждый нз которых содержит три узла (фиг. 1.3,б). Соответствующий элементу полипом оцределяется по значениям Т(х) в узловых точ!) Этот полипом, связанный с каждым элементом, автор далее называет Функнией элемента. — прим. ред.
4. Непрерывная велнчн)на аппроксими)руется на каждом элементе пол)н)номом, который определяется с помощью узловых з~начен~ий этой,вел)ичины. Для каждого элемента определяется свой пол~и)нем, но полвномы подбираются таким образом, чтобы сохранялась непрерывность величины вдоль границ элемента)). Основная концепция метода конечных элементов может быть наглядно проиллюст)ри|рована на одномерном примере зада)энного ,распределен)ия температуры,в стержне, показанном на фиг. 1.1. Рассматривается непрерывная вел)ичина Т(х), область определения †отрез 01.,вдоль оси х.
Фнкоирова)ны )и пронумерованы пять точек на оси х (фиг. 1.2,а). Это узловые точ|си; совсем не Глава 1 ках элемента. В случае разбиения области на четыре элемента. когда на каждый элемент приходится по два узла, функции элемента будет лииейна по х (две точки однозначно определяют п~рямую линию). Окончательная .аппроксимация Т(х) будет состоять из четырех кусочно-линейных функций, каждая из котоуых определена иа отдельном элементе (фиг. 1.4, а).
Другой способ, разбиения области на два элемента с тремя узловыми точками приводит к цредспаилению функции элемента в виде полинома второй степени. В этом случае окончательной т г 3 а / 5 г г а г з 3 4 д ! Фиг. 1.3. Деление области на вле- Фиг менты. г з б 1.4. Дискретные модели для одномерного температурного поля. аппроксимацией Т(х) будет совокупность двух кусочио-непрерывных квадратичных функций.
Опмепим, что это приближение будет имен|но кусоч~ноенепрерывным, так как углы |наклона графиков обеих этих фу~нкций .могут нм~еть,разные значения в третьем узле. В общем случае,распределение температуры неизвестно и мы хотим оцределить значения этой ~величины и некоторых точках Методика построения дискрепной модели оста~ется точно такой же, как описано выше,;но с добавлением одного дополнительного шага. Опона определяются м~ножество узлов и значения темпарату1ры и этих узлах Ть Тт, Т,, ..., которые теперь являются переменными, так,как о~ни зара~нее неизвестны. Область, разбивается на элемен- Метод конечных влементов ты, ла каждом мз которых определяется соответствующая фу~нкция элемента. Узловые значения Т1х) долнены быть теперь «отрегули,рованы» таким образом, чтобы обеспечивалось «наилучшее» при- Фиг.
1.5. Моделирование двумерной скалярной функции с помощью треугольных и четырехугольных элементов. Фнг. 1.6. Моделирование двумерной скалярной функции с помощью квадратичного треугольного элемента. ближение к истинному раоцределенню температуры. Это «регулирование» осуществляется путем ыиаеимизацни некоторой величи~ны, связанной с физической сущностью задачи. Если,рассматривается задача распрострзненмя тепла, то,минимиэируется функционал, связанный с соотвепствующим дифференциальным уравнением.,Процесс мевнимизации сводится к,решению систем линей- '14 Глава Г яых алгебраических уравнений относительно узловых э~паче. .илий Т(х). 1»ри построении дискретной модели иепрерывной величины, 'определевной в двух- или трехмерной области, основная концепция метода конечных элементов используется аналогично.
В двумерном случае элементы описываются фуякциями от х, у, при этом чаще ~всего рассматриваются элементы в форме т~реугольяяка илн четырехугольника. Функции элементов изображаются тепорь плоскими (фнг. 1.5) или криволинейными (фиг. 1.6) поверхяостями. Функция элемента будет представляться плоскостью, если для даяяого элемента взято минимальное число узловых точек, которое для треугольного элемента,равняется трем,,а для четырехугольного — четы~ром. Есл~и используемое число узлов больше ии~нималвного, то функции, элемента будет соответствовать кр~иволи~нейная поверхность. Кроме того, избыточное число узлов позволяет,рассматр~ивать элементы с кр~ивол~и~нейным~и границами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
