Сегерлинд Л. Дж. - Применение метода конечных элементов (1051193), страница 7
Текст из файла (страница 7)
и аФ (3.31) Функция Цх, у) в левой чапаи ~равенства (3.31) представляет со. бой фу~нкцлю формы элемента,,выраженную в глобальной оисте. ме координат, тогда как /[х(з, 1), у(з, 1)1 соответствует функц»»н формы элемента, представлен~ной в локальной системе координат, 3.5.1. Одномерный элемент При,рассмотрении од~номер~ного элемента ~нет большой необходимости в,использовании местной системы координат, так как н~нтерполяцион~ное уравнение легко интегрируется в этом случае. До некоторой степени ~и~нтегрирова~ние меж~но упростить, поместив на- где 1» ~и Л* †соответствен старая и новая области интегрирова~н~ия, (/! —,абсолютное значение определителя преобразования системы коорци~нат, которое равно отношеи~ию площадей в двух системах координат А„„/А,». Так как обе системы прямоугольные и масштабы измерения в них совпадают, то ~/~ев1.
Кроме того,. »»'=1»*, поскольку форма элемента сохраняется при этом неизменной. Таким образом, соотношение (3.30) сводится к следующему: 47 Линейные интерноляциокные лолиномы чало месиной системы координат в 1-м узле элемента (фиг. 3.7). Подставляя выражение х=Х,+з Фиг. 3.7. Местная система координат для одномерного элемента. в уравнение (3.5), определяющее функции формы, получаем Хг — Хз — е Š— е е Ь (. 3.
32) Уз = Хз+з — Хг з (3.33) Соотношение, определяющее элемент, записывается теперь в виде (3.34) 3.5.2. Е-координаты Для треуголыюго элемента наиболее распространенной является естественная система координат, определяемая тремя относительнымн координатами 1,ь 1.з ~и 1.з, изображенными на фнг.
3.8, а. Каждая координата представляет собой отношение расстояния от выбранной точки треугольника до одной из его сторон з к,высоте )т, опущенной на эту сторону из противолежащей вершины (фиг. 3.8, б). Ясно, что величина 1.1 изменяется в пределах от нуля до едхчьицы (0<1.1<1). В тех же пределах изменяются 1.з и 1.з. На фиг. 3.8,в показаны лавинии, вдоль которых 1.| постоя~хна по вел~ичнне. Каждая из этих лин~ий параллельна стороне, от которой измеряется 1,ь Координаты 1.ь 1.з и 1.з называются 1.-координатами.
Их значення дают относительные величины площадей треугольников, на которые разбит элемент. 1.-координаты точки В (фиг. 3.8, б) представляют собой площади треугольников, изображенных на фиг,3.9. Площадь Аз треугольника (й 1, й) дается формулой еа А,= 2 (3.35) 48 Глава 3 Площадь А~ заштрихованного треуголын~ика (В, 1, д) равна Ьв А,= —. 2 ' Составим отношение этих площадей Аз з Аг Ь (3.36) 1,=Р75 а Фиг. 3.8. Е-координаты для треугольника.
Фиг. Злх Три площади, связанные с произвольной точкой треугольника. Итак, коаРдгвната 1.г пуедставлЯет собой отношение площаДи заштрихованного треуголывика на фиг. 3.9 к площади всего эле- Линейные интераоляционные полономы мента: Аз 1 Аз ' (3.37) А~налогич~ные формулы могут быть записаны для Ьз и 7.з' (3.38) Так как А1+Аз+Аз=Аь Л/з =з.„ ззз=з.з. Как видно из фиг. 3.8, а, ( 1 в узле с номером з, ~ 0 в узлах 1 и й. (3.40) Подобные соопношения,выполняются также для Ьз и Ез. Кроме того, формула (3.39) позволяет утверждать, что в произвольной точке элемента функции формы всегда в сумме равны единице и, таким образом, выполняется цритцрий сходимости, обсуждаемый далее в этой главе. Наконец, если записать следующие зависимости: х=СзХз+1 Хт+Е.зХз, у =з.з1', + Е.за+ 7.
1'з, 1=7.,+~,+7., (3.41) н .разрешить ~их относительно Еь Ез,и Ез, то,в результате получим соотношения. идентичные (3.10). Первые два уравнения в (3.41) представляют координаты х и у как ф)знкции узловых значений. Эти уравнения справедливы, поскольку х и у представляют собой компоненты расстояния, а мы уже видели, что векторные компоненты могут быть выражены как функциями соответствующих узловых значений.
1., «- ~з+7.з — — 1. (3.39) Уравнение (3.39) связывает между собой три координаты. Уравнения этого типа следовало ожидать, потому что трои координаты в двумерном случае ие могут быть,независимыми. Местоположение произвольной точки может быть полностью описано с помощью только двух координат. Изучение свойств Ь1, Ьз ~и Ез с учетом соотношения (3.39) обнаруживает некоторые интересные сведения. Координатнзяе переменные 7.ь Ьз,и Ьз представляют собой функции формы для треугольного симплекс-элемента: Глава а (чреимуществом использования л.-координат является существование интегральных формул, которые упрощают вычисление н~нтегралов вдоль ~тороп элемента и по его площади [Ц: а1Ь1 (а+ Ь+1)1 (3.42) 2 (3.43) л Использован~не соотношения (3.43) может быть проиллюстрзьровано лри вычислен~ни интеграла вида У,У,л(А, где У; и Уз — функции х и у.
Этот и~нтеграл по площади элемента преобразуется следующим образом: У,.У йА=~ Т.ЧЛЛ(А=,— —,2А= —,= —. 1(НО( 2А А ) 1 а в (1+1+0+2)1 41 12 ' л А 3.5.3. Объемные С-координаты Естественная система координат для тетраэдрального элемента вводится почт~и полностью амалопично тому, как это было сделано в случае плоских С-координат. Четыре относительных расстояния л.ь л.м л.з и Е4 оп~ределяются как отношения ~расстояний от выбранной произвольной точки элемента до одной из его грацией к,высоте, опущенной на эту грань из противолежащей вершины.
Такие Т.-координаты называются объемными (фиг. 3.10). Они связаны между собой соотношением ).,+1.,+Т.,+ 1.,='1. (3.44) Координаты Т.1 и Ев соответствуют функциям формы Уь Уь как показано ~на фиг. 3.8, а. Поскольку У» ме,вошло в поды~нтегральное выражение, показатель степени с у множителя Т,~ приравнен нулю. Соотношение (3.42) используется для вычисления и~нтегралов вдоль стороны элемента. Величина х представляет собой расстояние между двумя узлами рассматриваемой стороны.
Удобства применения формул (3.42) и (3.43) ста~нут очевидны, когда мы перейдем к рассмотрению ко|нкретных задач. Линейные интернояяционные пояиномы Функции формы для линейного тетраэдра представляют собой объемные Ь-координаты: йГ, =Ь» йГ1 — — Е„тт"а=А„)т',=Са, (3.45) Фиг. 3.10. Объемная Е-координата Г.а для элемента в виде тетраэдра.
Использование объемных Е-координат упрощает вычисление объ- емных и~нтегралов, так как а!61смй а е (а+Ь+ +И+3)1 (3.46) 3.6.1. Сходимость Решение, полученное методом конечных элементов, будет схо. циться к точному ~решению с уменьшением размеров элемента прн условии, что, как только узловые зиачеавня оказываются,равными между собой, интерполяцнонные уравнения приводят к по- 3.6. Свойства имтерполяциомного полинома Полиномиальные уравнения (3.3), (3.7) и (3.13) были использованы для аппроксимации скалярных л векторных величин внутри элемента потому, что они обладают ~некоторыми весьма желателыными свойствами.
Они дают правильные результаты, когда узловые значения ~рассматриваемых величин, равны между собой, и, кроме того, обеспечивают еепрерыеность в межэлемвнтных зонах. Глава д стоянным значениям рассматриваемых величин внутри элемента При этом подразумевается, что градиенты бесконечно малы. И~нтерполяцио~н~ные уравнения для элемента должны моделировать постоянные з~начения, если только такие значения встречаются. Эти критерия накладывают ог~раничен~ия иа функции формы. Предположим, что узловые значения элемента, который имеет г узлов, равны Ф;=Ф;=Фа=" =Ф,=С, где С вЂ” постояннаж скалярная величина.
В общем виде выражение для ф записывается в виде ф=ЦФ,+ЦФ,+И„Ф,+."+У,Ф„ откуда ф=Р(~+й(~+11(в+ ' ' '+ЮФе Од~пако, поскольку ф=С=Фо Г ~ 1Ра =1. а л (3.47)ь Складывая их, получаем Х~ — х, х — Х; Хà — Х~ Г й(,+й(,, + Эти функции формы в сумме дают едвницу. Анализируя двумерные ~и трехмерные симплекс-элементы, можно показать, что функции формы для этих элементов тоже удовлетворяют условивэ (3.47) . Наличие постоя~н~ных значений ф (или перемещений и т.
д.) внутрен элемента подразумевает отсутствие градиента ф по любому направлению. Рассмотр~им градиент в направлении оси х: — = — Ф, + — Ф.+ ° ° ° + — 'Ф. дф дФ~ дну дУ, дх дх ~ дх З дх Если Фа равна константе С, то +=ф ~~с-о. (3.48) Итак, сумма з~начен~ий функций формы должна равняться ели~нице в каждой внутренней точке элемента. Есл~и, этот «р~итерий не выполняется, то поливомиалыная аппроксимация ф не будет давать постоя~нных значений даже тогда, когда по условию они должны быть. Запишем функции формы для одномерного элемента: Линейные интериоляционные лолиномы Так как константа С ие обязательно ранна нулю, равенство (3.48) удовлетворяется, если только а-е (3.49) Преобразуя выражение (3.49), получаем ' Х дРГа ду~ дну ду дх дх дх дх — = — + — +" + — '= = — (Лl +У + ° ° +У,)= — ~~~~ Ув 3.6.2.
Непрерывность Дискрепная модель для непрерывной фу|нкции строится на множестве кусочноннепрерывных фу~нкций, каждая из которых определена на отдельно~м элементе. Для ~интегрирования в дальнейшем кусочно-непрерывной функции необходимо сформулировать условие ее непрерывности в,межэлементвой зоне. Интеграл от ступенчатой функции )".(х) определен постольку, поскольку 1(х) остается ограниченной '121.
Чтобы интеграл был определен, функция ч~ должна быть непрерывна вместе со своими производными, до порядка (п — 1) ~включительно, что обеспечивает ~наличие у производной порядка и только конечного числа точек разрыва ступенчатого типа. Соблюдение этого условия означает, что первые частные производные от аппроксимирующей функции должны быть непрерывны иа границах между элементами, если дифференциальное у~равнение содержит частные производные второго порядка, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
