Сегерлинд Л. Дж. - Применение метода конечных элементов (1051193), страница 5
Текст из файла (страница 5)
2Т Дисяретизииия области по одной неизвестной величине, или значения 20 и 44, если в каждом узле рассматриваются две неизвестные величины. Правильная нумерация узлов в этом примере сокращает машинную память более чем на 50$. Нумерация элементов представляет собой простую процедуру. В этой книге номер элемента будет заключаться ~в круглые скобки с тем, чтобы избежать путаницы с номерами узлов. Элемент (1) на фиг. 2.11,а содержит узлы с номерамн 1, 2 и 8. Нумерация элементов не влияет на вычислительные аспекты задачи. 2.4.
Заключение При решении задач методом конечных элементов используются разнообразные элементы, Некоторые наиболее важные из них введены были в этой главе в связи с,рассмотрением дискретизации сплошного тела. В следующих десяти главах наше ввнманне будет сосредоточено на симплекс-элементах. Эта группа включает лн~нейный одномерный элемент с двумя узлами, л~и~н~ейный преуголвник с тремя узлами и л~и~ней~ный тетраэдр с четырьмя узлами. Упор на этн элем~виты делается по нескольквм причинам. Онн подросты в теоретнческом опношенцн, что дает возможность легко проиллюстрировать их применение. Треугольный н петраэдальный элементы могут быть использованы для аппроксимации границ сложной формы, потому что они могут быть ориентированы как угодно. Другой ~важной причиной является то, что во м~ногих имеющихся, вычислительных программах используются эпи элементы.
В гл. 18 представлена программа ОЙ1П сеточного разбиения, определяющая номера узлов и координаты треугольных симплекс- элементов в произвольной четырехугольной обласпи. Читатель может воспользоваться этой программой для решен~ия задач, помещенных ~в конце этой главы, н для получения исходных да~нных элементов в задачах нз глав прикладного характера. Задачи 1. Разбейте треугольную область на 16 элементов, пуонумеруйте узлы н вычислите определенную выше шири~ну полосы, предполагая ~наличне двух степеней свободы в каждом узле.
2. Разбейте четырехугольник на 24 элемента, используя пять узлов вдоль одной пары сторон и четыре узла вдоль другой пары. Пронумвруйте узлы так, чтобы получить минимальное значение :величины Я. 3. Разбейте сэрямоугольный треугольник примерно на 60 элементов, предва~рительно выделив две треугольные и одну четы. Глава 2 рехуголыную подобласти. Поместите наименьшие по ~размерам элементы вблизи прямого угла. 4. Разбейте консоль ~на ливемные треугольные элементы. На закреплввной пра~ннце ~размеспите вдвое больше узлов, чем иа свободном конце. Укажите с помощью празнятых обозначений неподвижно закреллвгзные узлы.
К задаче 3. К задаче 4. 5. ~Несколько электрических кабелей проложено внутри тротуара. Кабели могут ,.раосматрлватвся .как ~источники, ~размещеи- К задаче 5. (Электрические кабели проложены на глубине 4 см от позерхностн. Расстояние между их центрами 4 см.) Дискрегивация области ные,в узлах. Выберите пригодную для а~налива область н разбейте ее иа треугольиые элементы. 6. Используя программу ОЯ1Р из гл.
13, определите исходные даеаные элементов для областей, ра~ссмотрониых в задачах 3 и 5. ЛИТЕРАТУРА 1. Оеаа! С. 8., АЬе! Л. Р., !п!гобиспоп 1о !Ье Р!пйе Е!егпеп1 МИЬод, Уап !Чоа1гапб Ее!пьо!б Со., !Ч. Т., 1970. Глава 3 ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ПОЛИНОМЫ Метод конечных элементов основан на идее апцроксимацни яецрерывной функции (температуры, давления, перемещения и т. д.) дис«рваной моделью, которая строится иа множестве кусочно-непрерывных функций, определенных иа конечном числе подобластей, называемых элементами.
В качестве функции элемента чаще всего применяется полином. Порядок полииома зависит от числа используемых в каждом узле элемента данных о непрерывной функции. Классификация конечных элементов .может быть проведена в соответствии с порядком полиномиальных фун«ций этих элементов. При этом ~рассматриваются три следующие группы элементов: симплекс-, комплекс- и мультиплекс-элементы 14!.
Симплекс- элементам соответствуют пол~вномы, содержащие константу и линейные члены. Число коэффициентов в таком поли~номе яа единицу больше размерности координатного пространства. Поливом ~р=а, +а,х+а,у (3.! представляет собой оимплеконую функцию для двумерного треугольного элемента. Этот полипом ли|ивен по х и у и содержит три коэффициента, потому что треугольник ямеет три узла.
Комплекс-элементам соответствуют полиномиальные функции, содержащие константу, линейные члены, а также члены второго, третьего и более высокого пцрядка, если это необходимо. Форма комплекс-элементов может быть такой же, как и у симплекс-элементов, но комплекс-элементы имеют дополнительные граничные узлы и, «роме того, могут иметь также и внутренние узлы. Главное различие между симплекс- и комплекс-элементами, состоит .в том, что число узлов ~в комплекс-элементе больше величины, ~равной размер~поспи координатного пространства плюс единица.
Интерполяцион~ный полипом для двумерного треугольного комплекс-элемвнта имеет вид ~р =а + аэх+ аау+ а4хэ+ а,ху+ а,уа. (3.2) Это соотношение включает шесть коэффициентов, поэтому рас- сматриваемый элемент должен иметь шесть узлов. 31 Линейные ингерноляционные нолиномы Для,мультиллекс-элементов также используются полиномы, содержапзи~е члены высокого порядка, но границы элементов при этом должны быть параллельны координатным осям, что необходимо для достижения непрерывности при переходе от одного эле- Фиг.
3.1. Прямоугольник, двумерный мультиплекс-влемент. мента к другому. Границы симплекс- и .комплекс-элементов не подвергаются такому ограничению. Прямоугольный элемент иа фиг. 3.1 — отличный пример,мульпиплекс-элемента. Здесь будут рассмотрены симплекс-элементы. Комплекс- и мультиплекс-элементы наряду с изопараметричесюими элементами обсуждаются после прикладных разделов книги.
3. !. Одномерный симплекс-элемент Одномерный симллекс-элемент представляет собой прямолинейный отрезок длины Е с двумя узлами, по одному на каждом конце отрезка (фиг. 3.2). Узлы обозначаются индексами» и ), узловые значения — через Ф» и Ф; соответственно. Начало оисте- Ф, е»=а +а х ! г Фу ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! л Фиг. 3.2.
Одномерный симплекс-элемент. Глава 3 мы координат располагается вне элемента. Полиномиальная функция ср для скалярной величинып имеет вид ср =ах+ а,х. (3.3) Эти узловые условия пршводят к системе двух уравнений Ф,=,+а,Х„ Ф =а,+а,Хс, решение которой дает ФсХС вЂ” ФСХс ах= (3.4а) Ф! — Фс аз= с'. (3.4б) Подставляя майденные значения ас и аз в формулу (3.3), полу- чаем для'ср выражение (ФсХС вЂ” ФсХс) ~ ФС вЂ” Фс ) которое может быть переписано в виде ср= ( — '" ) Ф, + ( " ' ) Фс. (3.5) Линейные функции от х |в формуле (3.5) называются функциями формы или интерполяционнымн функциями. Эти функции всюду обозначаются через ссС. Каждая функция формы должна быть снабжена нижним индексом для обозначения узла, к которому она относится.
Произвольную функцию формы будем обозначать через ЛСз. В соопношеиие (3.5) входят следующие функци,и формы: Х.— х х — Хс и о Буква ~р используется для обозначения произвольной скалярной величины. Буквы С и р применяются соответственно для обозначения температуры и давления, когда речь идет о конкретных приложениях. Коэффициенты ас и аз могут быть определены с помощью условий,в узловых точках: ср=Ф, при х=Х, и ср=Фс при х=Х;. 34 Глава 3 Данные элемента: Хг=1,5 см, Т,=120'С, Х,=6,0 см, Т;=90 С, х=4,0 см, (,=Х! — Х!=4,5 см, Подставляя ~нехолодные да|нные в формулу для температуры, полу- :чаем т=( ' ' )120+( 45' — )90= 2(!261 + 2,5(эо) 533ч ).50 105ЗЗ.С 4,5 4,5 Для Праднвнта температуры имеем к! ! ! 1 90 — !20 — 30 — 6,67 еС вЂ” = — — Т,+ — Т = — (Т вЂ” Т)— ах 5 Е 5 4,5 4,5 см 3.2.
Двумерный симплекс-элемент Двумерный симплекс-элемент показан ~на фиг. 3.3. Это треугольник с прямол~иней~ными сторонами ~и тремя узлам~и, по одному в каждой вершине. Необходима лопическая нумерация узлов эле- ~х., «,) Фнг. 3.3. Двумерный снмплекс-элемент. мента. В этой книге,используется последовательная нумерация уэлен против часовой стрелки, начиная от некоторого 1-го узла, который выбирается произвольно. Узловые значения скалярлой веаичииы гр обозначаются через Ф;, Ф, ~и Фм а координатные пары трех узлов — через (Хг, У;), (Х;, У;), (Хн, Ун). Линейные ингернояяционные нояиноиы Интерполяцион~ный полипом имеет вид у=а»+а с+а,у. (3.7) ц узлах выполняются следующие условия: <р=Ф1 при х=Хн у=Ум <р=Фе при х=ХЛ у=У1 Ф,=а»+а Х, +аз['ы Ф;=а +а»Х1+аз[еи Ф» — — аз+ а,Х»+ а»У», (3.8) решая которую получаем а»= ~л [(Х1У» — Х»у'1) Фе+(Х„у'е — Х1У») Фе+ 1 + (Х,['1 — Х,.)'1) Ф»[, с з= зе [( [УФ»+(» [ез) Ф1+( з ) 1) Ф»[ 1 а,= — [(Х» — Хе) Ф, + (Х, — Х») Фт+ (Хе — Х,) Ф»[.
1 Определитель системы связан с площадью треугольника А соот» ношением х, [', Х у'з х у» (3.9) Подставляя значения аь аз и аз з формулу (3.7), можно преобразовать,вь»ражение для ф к виду, подобному (3.6). Это соопношение, определяющее элемент, содержит три функции формы, по одной для каждого узла: % =ЖзФз+ й1Ре+ 1У»Ф», (3.[0) где а,=Х У» — Х У, и Ьз — — у" — у'», с,=х — Х; Уз — — зл [а +Ь~х+с~у[ ! <р=Ф» при х=Х», у=['».
Подстановка этих условий в формулу (3.7) приводит к системе уравнений 36 Глава 8 Ут — — ~ ~ [а;+ Ь;х + сту1 )у = — „(а + Ььх + сьу) = — (Х1)'ь-Хь)1+) 1Х, — УьХ, +Ха),— Хт) 1) 1 Выражение в скобках представляет собой величину определителя н формуле (3.9), поэтому в узле с номером 1 )У, = — (2А) =1. Предлагаем читателю показать, что У~ равно нулю во втором н третьем узлах, так же как н во всех точках прямой, проведенной через эти узлы. Скалярная величина ~р определяется внутри элемента функ- пнями формы, линейными по х и у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
