Сегерлинд Л. Дж. - Применение метода конечных элементов (1051193), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Окончательной аппроксимацией двумеряой иепрерыаной величины ~р(х, у) будет служить совокупяость кусочно~непрорывных поверхностей, каждая из которых определяется иа отдельном элементе с помощью значений 1р(х, д) в соответствующих узловых точках. Важным аспектом метода конечных элементов является возможность выделить из набора элементов типичный элемент при определении функции элемента. Это позволяет определять функцию элемента ~независимо от относительного положения элемента в общей связной модели,и от других функций элементов.
Задание фу~пкпн~и элемента через произвольное м~ножество узловых, значений и координат позволяет ~использовать функции элемента для аппроксимации геометрии области. 1.2. Преимущества н недостатки В яастоящее .время область применения метода конечных элементов очень обширна и охватывает все физические задачи, которые могут быть описавшим дифференциальными уравяенням|и. Наиболее важными преимуществами метода коиечяых элементов, благодаря которым оя широко используется, являются следующие: 1. Свойства материалов смежных элементов яе должны быть обязательно одинаковыми. Это позволяет применять метод к телам, составленяым из яесколькнх материалов.
2. Кр~иволинейная область, может быть аппроксимирована с помощью прямолияей~ных элементов или описана точно с помощью крнволияей~ных элементов. Таким образом, методом можно пользоваться яе только для областей с ахорошей» формой границы. 3. Размеры элементов могут быть переменными. Это позволяет укрупн~ить илн измельчить сеть разбиения области на элементы, если и этом есть необходимость.
Мееод конеемьи влемемгое 4. С помощью метода конечных элементов не представляет труда рассмотрение граничных условий с разрывной поверхностл ной нагрузкой, а также смешанных гра~ничных условий. б. Указанные выше преимущества метода ко~печных элементов могут быть использованы при составлении достаточно общей программы для,решения частных задач определенного класса. Например, с помощью программы для ооеоимметрической задачи о,распростравеяи~и тепла,монако,решать любую частную задачу этого пипа. Факторами, препятствующими ~расширению круга задач,,решаемых методом конеюных элементов, являются ограниченность машинной памяти и высокая стоимость вычислительных работ. Главный недостаток, метода конечных элементов заключается в ~необходимости составления ~вычислительных программ в применения вычислительной темники.
Вычисления, которые требуется проводить при иопользоваяии метода кояечных элементов, слишком громоздки для ~ручного счета даже в случае решения очень простых задач. Для,решения сложных задач необходимо использовать быстродейсввующую ЭВМ, обладающую большой памятью В настоящее время имеются технологические возмож~ности для создания достаточно мощяых ЭВМ. Некоторые коммерческие и управляющие орга~низации располагают обширными комплектами вычислителыных црограмм.
Смягчить овновной недостаток метода коне юных элементов, могут совершенствоваяие,вычислвтелыных программ и создание мощных ЭВМ. 1.3. Структура книги Целью этой книги является обсуждеяие тех аспектов метода конечных элементов, которые связанны с решением задач механики сплопюных сред,,в частности задач переноса тепла, гидромехаиики, двумерных и трехмерных задач теории упругости.,Наряду с основами теории рассматривается, реализация метода иа ЭВМ, так как конечной целью является получение численного решения физических задач. В следующих шести главах раосмат~р~иваются основные аспекты метода ко~вечных элементов: 1.
Д~искретизация области; о~пределеиие узловых точек и элементов. 2. Определение функции элемента для отделыного элемента. 3. Получение из функций элементов кусочио-непрерывной функции, определенной иа всей области. 4. Составление оистемы уравнений путем м~ииямизации функционала, связаююного а физической задачей. б. Решение указанной системы уравнений относительно узловых значений. 6. Вычисление искомых иеличи~н в элементе.
16 Глава ! Главы 8 — 12 посвящены приложениям в,разливных конкретных областях .механики сплош~ных сред: к задачам раоп~ростраяеняя тепла ~н гидродинамнки, осесимметрнческим задачам теории поля, нестационар!ным задачам теори~и поля н задачам теории упдгугости. Для иллюстрации основ теории в гл.
6 приводится задача -о кручении цилиндра некругового сечения. В гл. 13 — 16 рассма-триваются элементы высокого порядка. В гл. 17 обсуждается ме"тод Галетркявна. Гл. 18 содержит некоторые вычислительные про.граммы, которые могут быть использова!ны для;решения задач, рассмотренных в книге. Эта глава должна использоваться совместгно с гл. 2 и гл. 6 — 12. Вычислительные программы в гл. 18 составлены специально для учебных целей.
Они не относятся к общ~им программам, с помощью которых решаются сложенные задачи. ЛИТЕРАТУРА 1. 1упп Р. Р:, Агув 8. К., 1)зе о1 йе 1еяв1 Зяпягев Сгпепоп 1п йе Р!пИе Е!етеп1 Рогпш!впоп, !и!етп. А (от т(итетгса! Ме!вот(з га Еия!изет!ад, 6, 75 — Вз (1973). 2. Ме!овЬ и. !., Ввв)в 1ог Нег)твпоп о( Мапясев 1ог йе О!гес! 8И!!пеев Мейой А Ааг. !пза )от Аетопаинся апг( Аитоиаинсз, 1, 1631 — 1637 (1965). 3.
8хвЬо В. А., Еее О. С., (тептяпоп о1 861!пеев Ма(пеев 1ог РгоЫегпв 1п Р!впе Е!взЫспу Ьу Сгя1егмп'я Мепюй, !пгетп. А о! (т'итет!са! Ме!(гадя и Елйт!веет!пя, 1, 301 †3 (1969). 4. Тпгпег М. д., С!опВЬ И. %., МвгИп Н. С., Торр 1.. Л., 8ИНпевв впй )те1!еспоп Апв!уз!в о1 Сотар!ех 81гпсйгев, 1.
Аетопаи!. Яс!., 23, 605 — 324 (1956). 5. Н!ввег 1У., А ЬТппе Е!егпеп! Ме!Ьод 1ог йе Йе1еггп!пяпоп о1 Хоп-81япопягу Твпрегя!пге О!вйтьпИоп япд ТЬеппа1 Ое1оппвпопв, Ргос. Соп1. оп Ма1пх Ме!Ьодв !п 81гпсйгв! МесЬяп1св, А(г Рогсе 1пзй о1 Тесьпо!опу, Юг!ВЫ Рвцегвоп А)г Рогсе Вазе, (тяу!оп, ОЫо, 1965. 6. ЪЧИвоп Е. 1., Ьпсйеп й. Е., Арр!1свноп о1 йе Р!ппе Е!егпеп1 Мейой 1о Нев1 Сопдпспоп Апв!уив, 7«'ис!еат Епй!пяет!пя апл 0ез!да, 4, 276 — 2В6 (1966).
7. с!епй!егт)сх О. С., СЬеппя У. К., Р1пце Е!егпеп1в!п !Ье 8о!ппоп о1 Р(е14 РгоЬ1етпз, Тая ЕпВ!пает, 507 — 510 (1965). В. с!епк!етт!сх О. С., ТЬе Ечппе Е)етеп1 Мейер !п Епя!пееппя Зс!епсе, МсОгячтНЫ!, ьопдоп, 1971; есть русский перевод: Зенкевич О,, Метод конечных злеиентов в технике, нзд-во «Мирт,М., 1975. Глава 2 ДИСКРЕТИЗАЦИЯ ОБЛАСТИ Разбиение области иа подобласти представляет собой первый шаг на ~пути к решению задачи, и именно этот шаг ие имеет теоретического обоонования. Искусство, разбиения области зависит от имеющихся,и|нжеиерных навыков.
Плохое илн несовершенное разбиение будет приводить к ошибочным ~результатам, если даже остальные этапы .метода осуществляются с достаточной точностью. Д~искрепизация области (тела),включает зада~вне числа,,размеров и формы подобластей, которые используются для построения дискретной,модели, реального тела.
Как инженеры мы сталкиваемся при этом с довольно делика зной ситуацией. С одной стороны, элементы должны быть, выбраны достаточно малыми, чтобы получались приемлемые результаты, а к другой стороны, применение достаточно крупяных элементов сокращает вычислительную работу. Нужно иметь ~некоторые общие соображения об окончательных значениях, с тем чтобы .меж~но было уменьшить ~размеры элементов в тех областях, где ожидаемый, результат может очень сильно меняться (большие величины прадиентов), и увеличить нх там, где ожидаемый результат почти постоянен.
Навыки в дискретизации обласпи приходят с опытом. Однако некоторые общие правила .можно сформулировать. Эти правила и некоторые советы относительно дискретизации и обсуждаются в этой главе. 21. Типы конечных элементов При решении задач методом конечных. элементов используются элементы, различных тиунов.,Некоторые, наиболее общие из иих, обсуждаются в этом разделе. 2.1.1. Одномерные элементы Простейц|им среди элементов является одномерный элемент. Схематически он обычно изображается в виде отрезка (фиг. 2.1,а), хотя и имеет поперечное сечение.
Площадь поперечного сечения может измениться по длине, но во м|нопих встречающихся задачах о~на считается постоянной. Наиболее часто такой элемент исполь- !7 18 Глава 2 зуется в одномерных задачах распрост!ра!кения телла я в задачах строительной механики прои !расчете стержневых элементов конструкций (типа ферм). Простейший одномерный элемент имеет два узла, яо одному иа каждом конце. Элементы более, высокого порядка, трехузловые / / / ! ! / Фкг. 2.!. Некоторые одномер- ные конечные элементы.
/ / к (квадратичные) я четырехузловые (куб!ические), изображены яа фнг. 2.1,6 я в. Од!номеряый элемент может быть криволинейным (фнг. 2.1, в) цря условии, что длина дуги входит в уравнения, определяющие элементы. 2Л.2. Двумерные элементы Для построения дискрет!ной моделя двумерной области используются два основных семейства элементов: треугольники я четы,рехугольники. Старо!ны линейных элементов каждого семейства представляют собой прямые линии (фиг.
2.2, а). Квадратячяые и кубические элементы могут !иметь как прямоли!нейяые, так я криволинейные стороны яли те и другие (фиг. 2.2,6). Возможность моделирования кр!иволинейных границ достигается добавлением узлов в середину сторон элементов. Оба семейства элементов могут быть яспользова!ны одновременно внутри области, если только ояи имеют одинаковое число узлов яа стороне (фиг.
2.2, в). Тозши!на элемента, может быть яли постовняой, или являться функцией жюрдияат. Пиокретиэацин области 19 2.1 3. Трехмерные элементы Наиболее часто встречающимися трехмерными элементами являются тетраэдр,и параллелепипед (фиг. 2.3, а и б). В обоих случаях линейные элементы огра~ничены прямолинейными сторонамн (плоскостям~и), тогда как элементы более ньюского порядка могут иметь ~в качестве границ кр~иволипейные поверхности. При разбиении трехмерного тела трудно наглядно представить расположение Фнг. 2.2. Некоторые двумерные конечные элементы.
элементов в дискретной модел~и, поэтому, верояпно, более желателыным 1из этих двух тынов элементов является параллелепипед. На фиг. 2.3, в показа~и другой вид элементов, которые используются при ~рассмотрен~ми тел цилиндрической формы. Эти элементы подобны двумерному треуголывику и позволяют еще учесть изменение,неизвестной величины вдоль третьей координаты. 2О Глава 2 Фиг. 2.3. Некоторые трехмерные конечные элементы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
