Сегерлинд Л. Дж. - Применение метода конечных элементов (1051193), страница 13
Текст из файла (страница 13)
6.2). Крутящий момент пропорционален объему, охватываемому этой поверхностью, а сдвнговые напряжения связаны с углами наклона касательных к этой поверхности'> в плоскостях хг и уа. Уравнение (6.2) обычно записывают в виде — + д, +260=0. (6.5) о Это так называемая мембранная аналогия (см. (3), стр. 309).— Прим. ред. Ы уравнение (6.2) как параметры входят модуль сдвига материала сг.[Н/смз) и крутка (угол закручивания на единицу длины) 6 (рад/см). При такой постановке задачи дифференциальное уравнение не содержит приложенного крутящего момента Т (Н ом1.
Величина Т вычисляется после решения уравнения (6.2) по фор- муле Кручение стержня ненругового сечения 91 Вариационная формулировка задачи о кручении стержня связана с рассмотрением функционала Х=~[ 2 ( дх ) + 2 ( ду ) 266(р1 (]]', (6.6) (Риг. 6.2. Поверхность функции напряжений (р и со- ответствующее сдвиговое напряжение. который в соответствии с изложенным в гл. 5 может быть записан в виде (6.7) где дх д!р ду Вектор-столбец (д) соответствует сдвиговым напряжениям, матрица' ]01 становится единичной, так как К,=див=1.
Минимизация Х по (Ф) приводит к системе линейных уравнений ~~~ ~ ]В(е)]т Р(е)] ]В( )] ((]( (Ф) ~~1 ~ ~ ]й((е)]т (2<)6) с]]т (6 8) е=! (е) е-! „(е) где [У(е)1 определена в формуле (4,1), а 1В(е)1 — матрица градиентов, определенная в формуле (5.39).
К решению системы (6.8) приступают после того, как выбрана форма сечения и это сечение разбито на элементы. 92 Глава 5 6.2. Построение матриц элементов Чтобы показать, как определяются матрицы элементов и каким образом с их помощью формируется система линейных уравнений, рассмотрим стержень с поперечным сечением в форме квадрата (фиг. 6.3,а).
В связи с наличием четырех осей симметрии можно рассматривать только 'й квадрата. Разобьем эту часть сечения на четыре элемента, как показано на фиг. 6.3,б. Четырех Оси саммелрои гтлощодь сеченая ~сна 5=00. ~от И/см' д= гана lддсм а Т 0,25см 0,25см ф 1 ф 0,25 см 0,25 см Фиг. 6.3. Разбиение области на элементы в задаче о кручении стержня квадрат.
ного сечения. элементов мало для получения приемлемой точности решения, но вполне достаточно для иллюстрации техники получения необходимой системы уравнений. что является нашей целью. Глава а Произведение [Во)1т[ВО)! равно ΠΠ— 4 О 4 О О !В[1)!т !В(1)1 [6.13) Матрица жесткости элемента представляет собой интеграл от [6.13). Так как произведение матриц [Во)!т[В(1)! является постоянной величиной, оно может быть вынесено из-под интеграла, что дает !й(')1 !В(ы)т !В(1)1 ~ Л !Всо)т !В(')1 А()) г(1) Толщина элемента предполагается при этом единичной. Восполь- зовавшись формулой (6.13) и тем, что А(') = 1/32, получаем 1 — 1 ΠΠΠΠ— 1 2 Π— 1 ΠΠΠΠΠΠΠΠΠ— 1 О 1 О О ' О О О О О О О О О О О О !й")!=в 2 [6.14) Объемный интеграл [!")! =~ 2(л")Π— 4 4 ΠΠΠΠ— 4 О 4 О О 16 — 16 ΠΠΠΠ— '16 О О О О 32 Π— 16 О О ОО ООΠ— 16 О 16 О О О О О О О О О О О О '"Мп) 1 Ж!" О Л([о 0 О Кручение стержня некругоеого сечения вычисляется просто, если воспользоваться системой Е-координат, рассмотренной в гл.
3: Е1=/)/)В, Ея=й/1П, Ев=Ц(1. (6.15) Объемный интеграл запишется как У )=~2а( Е (6.16) Предполагая толщину элемента единичной и применяя интеграль- ную формулу (3.43), находим (1 1 )/<11) = 2(((110А(11 0 О Подстановка значений (г((>, 6 и А<'1 дает'> (6.17) (6.18) Таким образом, система уравнений для первого элемента имеет вид.
[/г(1)] )ф) )/(1) ) 1 2 (6.19а) о В качестве единиц размерности выбраны Н/см'для (т,смвдляАо(н рад/см лля О. О=к/180Х1/100 нри закручивании стержня на !' на длине 100 см. 1 — 1 — 1 2 0 0 0 — 1 0 0 0 0 Е1 Ея 0 Еа 0 0 0 29,07 ~' (о 0 0 0 0 0 — 100 0000 0 1 0 0 0 0 0 0 0000 ф ! Ф, Фа Ф Ф, Фв 29,07 29,07 0 29,07 0 0 Глава б Аналогично можно получить систему уравнений для любого другого элемента. Окончательные выражения для матриц остальных элементов приводятся ниже: [й'з'] (Ф) =(11з1), 0 0 0 1 0 — 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 — 1000 20 — 10 0 0 0 Π— 1 0 1 0 0 0 0 0 0 29,07 29,07 (6.19б) 0 29,07 0 (ь1з1) (Ф) (в(з) ) 0 0 0 0 0 1 0 — 1 0 0 0 0 Π— 1 0 2 0 0 0 — 1 0 0 0 0 1 2 (6.19в) (йы1) (Ф) = (!01), 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 — 1 0 0 — 1 2 — 1 0 0 — 1 1 (6.19г) Окончательная полная система уравнений получается алгебра. ическим суммированием уравнений для отдельных элементов.
Она имеет вид 0 0 0 — 2 0 0 0 — 1 0 4 — 2 0 — 2 4 — 1 0 — 1 1 1 — 1 0 — 1 4 — 1 0 — 1 2 0 — 2 0 0 0 — 1 0 0 0 ! 2 (6.20) Величины Фз, Фв и Фв равны нулю, так как соответствующие им узлы расположены на внешней границе. Преобразуя систему 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 — 1 0 1 0 0 0 Ф, Фз Фв Ф, Ф Фв Ф, Ф, Ф, Ф Ф, Фв Ф, Ф, Ф, Ф, Ф, Ф, 0 29,07 0 29,07 29,07 0 0 0 0 29,07 29,07 29,07 '29,07 87,22 29,07 = 87,22 87,22 29,07 97 Кручение стержня некругоаого сечения уравнений (6.20) и решая ее, получаем Ф,=218,16, Ф,=О, Ф,=160, Ф,=О, (6.21) Фа=123 63 Фа=О Преобразование системы уравнений (6.20) обсуждается в следующей главе, где рассматривается реализация метода конечных элементов с помощью вычислительной машины.
Поверхность тр, соответствующая полученному множеству узловых значений, представлена на фнг. 6.4. Определение узловых значений — главный шаг в решении задачи. Однако в большинстве случаев бывает необходимо вычислять еще целый набор величин для каждого элемента. Такие ве- Ф-о Фиг. 6Л. Узловые значения функции напряжений в задаче о кручении стержня, вычисленные для четырех- элементной модели. личины ниже будут называться результантами элемента, В рассмотренной задаче, например, интересно знать такие результанты, как значения сдвиговых напряжений в каждом элементе и крутящего момента Т, который вызывает закручивание стержня на угол 6. Методика ~вычисления результантов элемента обсуждается в следующем разделе.
98 Глава д 6.3. Стандартные реэультанты элемента В задаче о кручении стержня важными величинами являются производные функции ор, поскольку они просто связаны с напряжениями сдвига: дч> гх до, и т дчо ов дх ' Значения сдвиговых напряжений легко вычислить, так как матрица градиентов для каждого элемента уже определена. Матрица градиентов для первого элемента представлена в формуле (6.11): дчо дх =[В"') [Ф), (ац>) = де ду — 232,6 Поэтому т~'~= Е = — 145,4 Н/смв, т,",,'= — д =232,6 Н/см'. дх Компоненты тензора напряжений для других элементов вычисля- ются аналогично; элемент 2: т, =0 Н/см', т,„=639,4 Н/см', элемент 3: т,„= — 145,4 Н/смх, т,„=494,0 Н/смх, элемент 4: т,„=о Н/см', т,„=494,0 Н/см'. Эти значения схематически п™оказаны на фиг.
6.5. Сдвиговые напряжения получаются постоянными в каждом из элементов потому, что интерполяционные полиномы для элементов ~Ь"> Ь<о О Ьп> О О (Воц>] ~ о о о злц> ~с(о с(» 0 с,"> 0 0 С учетом формул (6.12) и (6.21) получаем 2 18,16 160,0 1" — 4 4 0 0 0 01, 0 0 — 4 0 4 0 О) 123,63 о о Ф> Ф, Фз Фв Ф, Фо Кручение стержня ненругового сечения взяты линейными по х и у: Невозможность получения переменных по площади элемента производных является недостатком использования симплекс-элементов. Колгпоненмы положиаельныие сйвиговнл напряжений 1 г з Фиг.
6.5. Сдвиговые напряжения в задаче о кручении стержня, вычисленные для четырехзлементной модели. Все значения выражены в ньютонах на квадратный сан- тиметр. Уточнить значения напряжений внутри стержня, полученные в данном примере, можно тремя способами. Во-первых, можно увеличить число элементов, используемых при разбиении области поперечного сечения. Так как при этом размеры элементов уменьшаются, вычисленные значения.
напряжений оказываются более близкими к действительным. Во-вторых, можно использовать треугольный элемент с ббльшим числом узлов, а в интерполяционные полиномы включить квадратные и кубичные члены. Тогда в результате дифференцирования будут получаться градиенты, являющиеся функциями координат. Третий подход заключается в применении теории сопряженной аппроксимации. Эта теория позволяет определять напряжения в узловых точках, а также напряжения внутри элемента как функции координат х, у. Применение этой теории обсуждается в следующем разделе. Другим заслуживающим внимания результантом является крутящий момент Т, который представлен формулой (6.4): Т=2 ~ Чнг'А, где Х вЂ” площадь поперечного сечения стержня. Глава в Этот интеграл эквивалентен следующему: Е т='~ ~2ф (А, в=1 Х где ф(4> определяется формулой (6.9).
Начнем ного элемента: (6.22) рассмотрение с пер- Ф, Ф, Фз Ф, Ф, Фв 2~ф")((А=2~(Л)(1) Ж$1) 0 !У(1) 0 0) ((А, (6.23) л(1) л(1) или 2 ~ф(1)((А 2(Ф)г ~((У(1))т ((А (6.24) л(1) л(1) (! ! 0 1 0 0 м» 3 (Ф1+Фв+Ф4). 2 ~ф(1)((А= (Ф!т 2А('> 3 вн> (6.25) Подстановка узловых значений дает 2А(') 2А(') 2 ~(р" >((А= (218,16+160+123,63)= — (501,79). л(1) Аналогично находим для остальных элементов 2А(4), 2А(4> 3 ( 4 4 4> 3 л(4) 2 ~(р"'((А= (Ф>+ Фа+ Ф4) = — (283,63), ,1(4> 2 ~ф~'~е(А = — (Ф4+ Ф, +Ф,) = З (123,63). (4) Последнее выражение идентично интегралу в (6.16).
Можно сра- зу сделать вывод, что !0! Кручение стержня некругового сечения Суммируя эти соотношения и замечая, что площади элементов одинаковы, получаем Т=~~, ~2!р"г!А= — (501,79+160+283,63+123,63), е=! (е) Т = — (1069,05) = —. 3 ' 3(16) Поскольку на элементы .разбивалась только '7а области попереч- ного сечения, полный крутящий момент М равен М=8Т=8 4 — — 178,16 Н.см. Это означает, что крутящий момент величиной 178 Н.см вызывает закручивание на 1о стального стержня длиной 100 см и с поперечным сечением в форме квадрата со стороной в 1 см. Однако точность этого результата весьма сомнительна вследствие выбора грубой сетки разбиения. В самом деле, теоретическое значение '1 момента равно 196,3 Н см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
