Сегерлинд Л. Дж. - Применение метода конечных элементов (1051193), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Та же методика преобразования может быть использована также в случае, когда [К1 хранится в виде прямоугольного массива. Логика программирования, однако, при этом более сложная. Другой метод, применяемый некоторыми исследователями, состоит в том, что диагональный коэффициент, соответствующий заданному узловому значению Фв, умножается на очень большое число, скажем на 10'з, а Ра заменяется на (10'з) ФЗ.
Это равносильно приближенной замене коэффициентов вне главной диагонали нулями. Такой способ очень легко реализовать на ЭВМ, но он неприменим, если заданное значение Фз очень мало. Именно с таким случаем сталкиваются при решении задач механики твердого деформируемого тела, когда заданные перемещения малы по величине. Первый метод, рассмотренный выше, всегда будет давать правильные результаты там, где мы сталкиваемся с малыми заданными величинами Фз. 7.2.2. Решение системы уравнений Одним из наиболее эффективных методов решения системы уравнений, которые получаются при использовании метода конеч- ных элементов, является известный.
вариант метода исключения Гаусса [1). Матрица системы преобразуется к треугольному виду, после чего решение получается обратной прогонкой. Проиллюстрн- руем сначала метод на примере решения простой системы уравне- ний, а затем проведем обобщение, обсуждая вопросы, которые име- ют отношение к методу койечных элементов. Рассмотрим систему уравнений 8Ф,+2Ф,+ Ф,=б, 2Фз+6Ф,— Фз=4, 17.9) Ф,— Ф, + 4Ф,=2. Реализация метода конечных элементов на ЭВМ 113 Матрица этой системы симметрична, причем наибольшие ее коэффициенты расположены на главной диагонали.
Метод исключения основан на том, что любая неизвестная может быть исключена из всех уравнений, следующих за тем, в котором эта неизвестная находится на главной диагонали. Например, неизвестную Ф~ можно исключить из второго и третьего уравнений, а затем исключить Фа из третьего уравнения.
Чтобы исключить Ф, из второго и третьего уравнений, решим первое уравнение относительно Ф~.' Ф,=0,75 — 0,25Ф, — 0,125Ф,. Подставив это выражение во второе уравнение, получим 2(0,75 — 0,25Фа — 0,125Фэ) + 8Фэ Фэ = 4, или 5 5Фэ — 1 25Фэ = 2 5. Подстановка в третье уравнение дает (0,75 — 0,25Ф, — 0,125Фэ) — Ф, + 4Ф, =2, или — 1,25Ф, + 3,875Ф,=1,25. В результате система уравнений принимает вид 8Фт+ 2Фа + Фэ = 6 5 5Ф.
1 25Фэ =2 5 — 1 25Фэ+ 3 875Фэ=1 25 (7.10) Подставляя это значение Фэ во второе уравнение, и решая его относительно Фь получаем Ф 2,5+1,25Фэ 0 5595 2 Поскольку Фа и Ф, известны, из первого уравнения имеем Ф =0,544. Мы видим, что метод включает два этапа. Первый состоит в превращении исходной матрицы в треугольную.
На втором этапе Повтовим процедуру, исключая Ф, из третьего уравнения: 8Ф, 1-2Фа +Ф, =6, 5*5Фэ — 1 25Фэ =2 5 (7.1 1) 3~59!Фа=! 818 Эта система может быть решена обратной прогонкой. Из третьего уравнения получаем Глава 7 114 решается полученная система уравнений. Первый этап обычно называют разложением матрицы, поскольку матрица жесткости переходит в более простую матрицу.
Второй этап решения называют обратной прогонкой. После того как мы подробно познакомились с методом, рассмотрим систему уравнений более общего вида. Снова предположим, что система уравнений симметрична и доминирующие члены находятся на главной диагонали. Кроме того, допустим, что матрица системы ленточного типа. Имея это в виду, рассмотрим приведенную ниже систему уравнений: КмФ1 + КмФЗ+ КьзФз =г„ К21Ф1 + К22ФЗ+ КззФз+ К24ФЗ =Р„ КзьФ1+ КззФЗ+ КззФз + КзьФ4+ КзьФь =Ез К42Ф2+ К4зФз+ К44ФЗ+ К44Фь =гь КЗЗФЗ+ К34Ф4+ КЗЗФ1 =Еь.
[7.12) Ширина полосы матрицы, очевидно, равна трем. Нулевые коэф- фициенты здесь не показаны. После исключения Ф) имеем (7.13) где коэффициенты расширенной ') матрицы выражаются через ис- ходные коэффициенты следующим образом: К(п К К„к 11 ' Кзз Кзз К91 33 99 91 К ~3 ~2 К21 91 К ~з ~з Кз1 К 11 Верхний индекс (1) используется для обозначения первого исключения, или редукции. Общее соотношение для произвольного коэффициента после первой редукции имеет внд 11 " Расширенная матрица для системы уравнений [К) (Е)) =(Е) получается присоединением к матрице [К] вектор-столбца (Е) [!). К11 К12 0 К,",) зз О Ко,) 0 0 К„О 0 Рь К[9) К(),' 0 ЕД> ' К(п К(п К()) е(п ЗЗ 34 зЬ 3 К[),) К(!) КР,) Е() ' К[), Кь„) К(,) Е( Реализация метода конечных элементов на ВВМ Редукции с номером п соответствует общее соотношение вида „и — !) (л) (л — и (л — 1) тюл< Кп =К(! — К(л — ",„— „, !',1 > и.
(7.14) Аналогичные формулы получаются для вектор-столбца Я( г)(н =г",— Км —, > 1, 11 ' Р(л — !) Р< =г"< — К(л (л и, 1>л. (л) (л — 1) (л — 1) л лл (7.15) Из соотношения (?.14) можно извлечь важную информацию. Прежде всего очевидно, что симметрия в коэффициентах после операции исключения сохраняется. Это легко увидеть, сравнивая, например, коэффициенты К,",' и К,",' в матрице (7.13). Так как в исходной матрице Км=К!з й Км=Кзь из вышеприведенных формул следует, что К))з) =К(414).
Поскольку симметрия сохраняется после каждой редукции, то К<",— "=К<.„"— ') и матрица (7.11) может быть переписана в виде К(л) К(л — 1) К(л — 1) л( чт ! ~$ К(л 1) (7.16) Разложение матрицы таким образом может быть проведено с использованием только коэффициентов, находящихся на главной диагонали и выше ее, так что нет необходимости запоминать полную матрицу. Еще одну важную особенность можно обнаружить при рассмотрении матрицы (7.13): если К<„"') или К<„" ')равно нулю, то К<,",'= =К',.",. ').
Например, коэффициенты в четвертом и пятом столбцах и в четвертой и пятой строках матрицы (7.13) не изменились после операции исключения, потому что К<4=К4,=0 и Кж=КМ=0. на каждом шаге исключения следует рассматривать только те коэффициенты в пределах ширины полосы, которые изменяются в процессе исключения. Если система из 100 уравнений имеет матрицу с шириной полосы 15, только 15 уравнений этой системы видоизменяются после каждого отдельного исключения. Это приводит к экономии машинного времени при рассмотрении систем уравнений большого порядка. Элементы матрицы, находящиеся вне полосы, не влияют на процесс исключения (ибо они равны нулю).
Следовательно, их помнить не нужно. Это обстоятельство позволяет хранить глобальную матрицу жесткости в виде прямоугольного массива шириной, равной ширине полосы матрицы. 116 Получающиеся после разложения коэффициенты К;, содержат достаточно информации, чтобы преобразовать надлежащим образом произвольный вектор-столбец, даже если это не было сделано в процессе разложения матрицьи Последнее обстоятельство позволяет анализировать многочисленные вектор-столбцы (г) и дает определенное преимущество этому методу перед другими процедурами, которые применяются при рассмотрении отдельного вектор- столбца.
Если (г) не модифицируется вместе с [К], рассматриваемый метод сводится к следующей трехшаговой процедуре: 1. Матрица коэффициентов 1К1 преобразуется в верхнюю треугольную матрицу. 2. Вектор-столбец (г) модифицируется обращением и раз к формуле (7.15). Этот процесс называют прямым разложением. 3. Решение получается методом обратной прогонки. Первый шаг обычно реализуется в одной подпрограмме, тогда как второй и третий шаги объединяются в другой подпрограмме. В гл.
18 представлены подпрограммы, которые выполняют все эти действия для матрицы, хранящейся в виде прямоугольного массива. 7.3. Общая блок-схема вычислений Одним из преимуществ метода конечных элементов является то, что многие его этапы являются общими для всех областей приложения метода. Процедура решения задач переноса тепла и течения грунтовых вод включает много тех же шагов, которые встречаются при расчете жестких рам и ферм и при анализе напряженного и деформированного состояний деформируемой сплошной среды. Общая блок-схема вычислений представлена на фиг. 7.3. Эта блок-схема предназначена для симплекс-элементов и пригодна для всех областей применения, обсуждаемых в следующих пяти главах.
Блок-схема неприменима в случае изопараметрических элементов, которые будут изучены позже в этой книге. Работа основных блоков схемы будет рассмотрена в общем случае, а не в связи с каким-то специальным примером. Все программы, реализующие метод конечных элементов, должны содержать предварительную информацию о числе уравнений, числе элементов и ширине полосы матрицы.
Сведения о числе уравнений необходимы для того, чтобы в исходном состоянии глобальную матрицу жесткости и глобальный вектор нагрузки можно было заполнить нулями (предварительная чистка матриц), поскольку в процессе счета эти матрицы составляются путем суммирования. Сразу после чистки матриц следует циклическая операция, выполняемая для каждого элемента. Эта операция включает ввод исходной информации об элементе, составление матриц элементов !17 Реализация метода конечных элементов на ЭВМ Печамь исходных донных об эпеменпм Вычоспение ьююрвц месм- космо и сил дпя элеменюа Конец цокло по элеменмом Османов Конец цокла по племенном Фиг.
7В. Общая блок-схема паограммы, реализующей метод конечных элементов. Считваное чапо уровненоа, чоспа элеменвов', швроны полосы маприцы, Харокмгрмтюм маюгршю Засылка нулей в глобальные мопроцымесмкаспо и мг— груэки Цикл по эпеменпюм Счимывпнве номера эпеменпю,номеров узлов, узловых коордонпю, уьазамеля харакмерькпюк маюервала Засылка основных донных об элема взе на могномную пеплу, диск и м.д Вкпюченве моюпиц для злеменпюв в глобальные момрои,ы Счимывамю значенио узловых сол и добавление иг к гпобалыюб мамрице нагрузки Стоывание заданных узловых значение искание велочоны и модиукноция гппбапьнод момроцы месмкосми Разломеное глобальных ммпрвц и реюение сисмемы ура вненид меми7пм абрамкой и огонко Цокл по элене нмом Счоюьюоние исходных дон- ных об элеменме с пеуро— корю или с изгнанной лепим Вычисление и печаюь зноченво резульпюнпкп злеменмов 118 Глава 7 и включение их в глобальные матрицы. Конкретная информация об элементе включает в себя номер элемента и номера узлов.
Сюда могут быть отнесены значения координат узлов элемента. Послед- ние могут быть введены независимо и вызываться нз машинной памяти с помощью номеров узлов элемента. Если используется последняя процедура, все узловые координаты должны быть введе- ны перед началом работы цикла. Вся важная информация об элементе должна быть выведена на печать где-либо внутри указанного цикла. Вывод исходных дан- ных на печать позволяет убедиться, что эти данные правильно от- перфорированы и введены в нужном порядке. Неверная исходная информация об элементе — главный источник ошибки в програм- мах, реализующих метод конечных элементов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
