Сегерлинд Л. Дж. - Применение метода конечных элементов (1051193), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Если говорить более подробно, данные, которые вводятся в программу, составленную для решения задачи о кручении бруса, будут сильно отличаться от исходных данных, которые вводятся в программу, связанную с задачей переноса тепла, если даже обе программы основаны на одной и той же системе уравнений. Мой собственный опыт показывает, что трудно написать набор программ, способных генерировать все исходные данные для задач переноса тепла„в которых конвекция происходит только на некоторых граничных элементах.
В гл. 18 предста~алена программа, генерирующая исходные данные элемента. 7.4. Решение задачи о кручении бруса с помощью вычислительной машины Блок-схема вычислений, представленная на фиг. 7.3, составлена не для какой-либо определенной задачи, а дает общую схему реализации метода конечных элементов. При рассмотрении конкретных областей применения должны быть введены незначительные изменения. Мы будем комментировать эти модификации в конце каждой главы прикладного характера. Начнем с нескольких замечаний о машинной реализации задачи о кручении, рассмотренной в гл. б.
Реализация этой задачи на ЭВМ отличается от общей блок-схемы на фиг. 7.3, потому что внешняя нагрузка — крутящий момент — не входит в расчетные формулы до тех пор, пока не определены узловые значения. С другой стороны, приложенный крутящий момент обычно при расчете конструкции известен и требуется определить максимальное сдвиговое напряжение, вызываемое этим моментом. Одна из процедур получения правильных значений сдвиговых напряжений состоит в следующем. Задача решается в предположении, что торцевые сечения повернутся относительно друг друга на единичный угол закручивания. Это эквивалентно следующей ве.
123 Реализация метода конечных элементов на ЭВМ личине угла закручивания на единицу длины: Вычисляются крутящий момент, который вызовет такое закручи- вание стержня, и соответствующие ему напряжения н элементах. Засыпая нулев е ою- ральнме мамроцм зтеспаосаи и нпгрузко и ло злеменпюи разлаюве глодапьнмт мппуюц и ушата акме»и нюэненио сдромтп вогааОй Счиппгвпное номере элемента, номеров узлов,узлпвмх ноорпннат Цикл' Ли Печаль исход«ах Йинмх элеменма Считьапние номера элементе,тавров узлов, увозы аир- диииа Ви вславе кплгЗва теоавспи и иагруьш для меиеюю Вкпю чанги матриц для элемента о гподальиие мотрици утин цапало эамемяа» конец цокпа лп маме«ива сиение круаяаего маписи,оютюиствраягго зок чиванию сечения ии мйи и о Ыадтатт Оггтявяи т утс Фиг. 7В. Блок-схема программы решения задачи о кручении стержня.
Истинные значения напряжений могут быть определены посрормуле 7 ист тис 7' трьсч' (г.19) Рвсч с ам кьв и па явою Няю вы ьц теменное,аороим понося пацвысмтпат камрмишэ са„авт влткявкруцаавего паивиа чвоа ото шммеатю ила«веют ННИХ УВЮ- вих значввэ искаькю пело«и«И и маутришация гляагмиям мацяши теса квит ление пя зива*киюв нп дюаениа, сптпветтаую— Ь У их во коучоюною сечения не н гринго и определение вю змог .«юяеичю вин з„фвл 124 Глава 7 где Т„„— заданная величина крутящего момента, Тр„„тр„,— расчетные величины крутящего момента и сдвигового напряжения, соответствующие единичному углу закручивания. Истинное значение угла закручивания равно т ° Грзсч так как первоначальная величина угла закручивания предполагалась единичной. Фиг.
7.6. Значения т„, в задаче о кручении стержня квадратного сечения, вычис- ленные для модели из 64 элементов. Описанная выше процедура решения требует запоминания всех величин, которые зависят от отношения Тяст)Траст. Масштабирование величин в соответствии с формулой (7.19) производится после завершения последнего этапа работы программы, изображенной на фиг. 7.3. Блок-схема программы для задачи о кручении представлена на фиг.
7.5. Заметим, что вывод узловых значений также !25 Реализация метода конечных элементов на ВВМ отодвинут на более поздний этап работы программ, ибо эти значения тоже должны быть умножены на отношение ТнсчгТвасч. В гл. 18 представлена и рассмотрена программа, которая может быть использована при решении задачи о кручении, сформулированной в гл. 6. Эта программа была использована для расчета напряжений сдвига в стержне с квадратной формой сечения (фиг. 6.3), причем разбиение на элементы соответствовало фиг. 7.6.
На 47 Фвг. 7.7. Согласованные значения т„, для стержня квадратного сечения, фиг, 7.6 также показаны значения т,„по элементам. Максимальное значение те„, Равное 892 Наема, бы™ло полУчено в элементе, ближайшем к узлу„,расположенному в середине стороны квадрата. Это значение отличается от теоретического на 6,6%. Расчетные значения соответствуют крутящему моменту, равному 196,3 Н.см. Расчетные значения могут быть уточнены путем использования теории согласованных результантов элементов, рассмотренной в эт~ чав еи Фиг. 7.8. Согласованные значения т„„полученные с помощью 23 элементов.
Фиг. 7.9. Согласованные аначения т„„полученные с помощью восьми элементов. Реализация метода конечных элементов на ЭВМ 127 гл. б. Узловые значения т„„вычисленные с использованием этой теории, представлены на фиг. 7.7. Значение 905 Н/см', которое встречается в угловом узле, на 4,2% меньше теоретического значения, равного 945 Н/смв. Наибольшее сдвиговое напряжение т„,= =915 Н/смв получено в узле, первом из тех, которые расположены выше узла в середине стороны квадрата. Это значение на 3,2% Фяг. 7.10.
Область влияния, соответствующая в=0,7. отличается от теоретического максимума. Однако положения рас. четного и теоретического максимумов не совпадают. Теория согласованных результантов элементов приводит к системе уравнений, порядок которой совпадает с порядком системы, используемой для определения (Ф). Это представляет определенное неудобство, когда в рассмотрение включается большое число узлов. Приближенный метод составлении согласованных результантов ограничивается анализом элементов, расположенных в районе с наибольшим результантом элемента.
Это приближение называется аобластью влияния> [2]. 128 Глава 7 Два примера, которые иллюстрируют концепцию области влияния, приведены на фиг. 7.8 и 7.9. Первый включает 23 элемента и 19 узлов. Результаты очень хорошо согласуются со значениями, вычисленными с использованием всего набора элементов; исключением является внутренняя граница области. Даже при выборе меньшей области, которая включает восемь элементов и девять узлов, максимальные значения снова получаются эквивалентными тем, которые получаются при использовании 64 элементов. Один из способов определения области влияния состоит в том, что выбирается число, меньшее единицы, скажем 8=0,7, и включаются все элементы, результанты которых больше, чем максимальный результант, умноженный на е.
Область влияния, соответствующая 8=0,7 в задаче о кручении, показана на фиг. 7.10. Преимуществом использования концепции области влияния является сокращение требуемого числа уравнений. Выбор правильного значения е — довольно спорный вопрос, но все же результаты на фиг. ?.9 показывают, что очень ограниченное число элементов может дать результаты, достаточно точные для инженерных расчетов. Задача о кручении будет вновь рассмотрена в гл.
16 и 18. Задачи 45. Ниже приведены сокращенные матрицы элементов для четырехэлементной модели в задаче о кручении, сформулированной в гл. 6. Используя метод прямой жесткости, постройте глобальные матрицы. К задаче 48. К задаче 45. 1 — 1 0 †! 2 — 1 0 — 1 1 1229 Реализация метода нонечнык зеементое на ЭВМ 29,07 ]7~'~]=]1'м]=био]=(~"']= 29,07 29,07 46. Для тела, разбитого на три элемента, ниже даны. сокращенные матрицы жесткости. Используя метод прямой жесткости, постройте матрицу 1К]. В каждом узле рассмотрите по одной неизвестной.
Узел 1 для каждого элемента помечен звездочкой. 12 — 4 — 8 ]й< ~]=!И~] = — 4 12 — 8 — 8 — 8 16 12 — 8 — 4 — 8 16 — 8 — 4 — 8 12 1ыа)] 47. Сокращенные матрицы элементов для двухэлементной задачи теории упругости даны ниже. В каждом узле рассматриваются по два перемещения. Используя метод прямой жесткости, постройте матрицу 1К~. Узел 1 для каждого элемента помечен звездочкой.
К задаче 47. К задаче 49. ]йп >] 162 0 0 — 216 — 162 216 0 0 — 216 432 — 144 0 — 144 768 0 0 0 288 144 — 768 216 †4 144 †2 — 162 216 144 — 432 — 768 144 216 — 288 930 — 360 — 360 720: Глава 7 1за 0 — 144 — 216 0 — 162 144 216 — 432 ' 162 0 0 432 — 768 144 216 — 288 930 — 360 — 360 720 — 162 216 144 — 432 768 0 0 288 — 768 216 144 — 288 0 — 216 — 144 0 [й(в)) 48. Постройте матрицу [К1 для четырехэлементиого тела по данным сокращенным матрицам элементов.
В каждом узле одна неизвестная, а узел 1 помечен звездочкой. 4 — 2 — 2 [Й(в'1 = — 2 6 — 4 — 2 — 4 6 6 — 4 — 2 — 4 12 — 8 — 2 — 8 10 [й(м) 1 — 1 0 [й"') = — 1 2 — 1 0 — 1 1 3 0 — 3 0 6 — 6 — 3 — 6 9 [й(з>) 49. Выполните следующие преобразования приведенной ниже системы уравнений с симметричной матрицей: а) Приведите матрицу [К) к треугольному виду и одновремен- но разложите Щ.
б) Используя только матрицу [К) треугольного вида, разложи- те вектор-столбец 1Р)т= [6, 12, 12, 61. Убедитесь, что для выпол- нения указанного разложения достаточно информации, которая хранится в матрице треугольного вида [К). в) Решите полученную систему уравнений для вектор-столбцов, соответствующих случаям а) и б).
4У,+2У, =4, 2У,+8У,+2У, =8, 2У, + 8У, + 2У~ = 8, 2У,+ 4У4=4. ® У,=3; [11) У,=4, У = — 1; (П7) У,=О, У,-1, 60. Преобразуйте и решите систему уран|пений [6.20), используя метод, изложенный в этой главе. 61. Преобразуйте и решите одну нз представленных ниже систем уравнений, когда задано одно из следующих условий: Реализация метода конечных элементов на ЭВМ а) 12У + 6У,— 4У +У =40, 6У,+18У,+ 6У,— 4У,+У, =75, — 4У,+ 6У,+24У,+12У,— 4У =120, ӄ— 4У,+12У,+18У,+ 6У,=75, У,— 4У,+ 6У,+12У,=40.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
