Сегерлинд Л. Дж. - Применение метода конечных элементов (1051193), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Проверьте программу, решив задачи 59 и 62. 82. Модифицируйте программу ТВНЕАТ, представленную в гл. 18, так, чтобы она могла обрабатывать более одного набора характеристик материала. Используйте модифицированную программу для определения распределения температуры в теле, изо- браженном ниже. К задаче 76. В= 15 Втф Т йпй ВмАйм К! К задаче 77. На внутренней границе цилиндра температура 140 'С. Внутренний диаметр цилиндра 2 см.
Наружный диаметр цилиндра 8 см. К задаче 78. Всюду на внешней границе температура 20'С. Температура внутрп полости !00'С. 165 Перенос тепла эа счет тенлонроеодноста а коне«кина 88. Рассмотрите изменения, которые должны быть внесены в программу ТРНЕАТ с тем, чтобы можно было анализировать анизотропные материалы. Внесите конкретные изменения в програм- и =за 8 /( 'и), т = го "с Изоля — — 6 А(ал!ирана I. К -Ктт- !Ваг((сы- и) Маиериал г: К =гру = !О Ва4си ° К) К задаче 82. му, связанные с включением в нее формул преобразования координат. ЛИТЕРАТУРА 1.
Кар!ап %., Орега1!опа! Ме!Ьог)в 1ог Ь!пеаг Зуз1егаз, А661воп-ТГ(ев!еу, )1еад!пд, Маза., 1962. 2. Кпей Г., Рппс)р!ев о! Неа1 Тгапв!ег, 3-гд ей, 1п1ех1 Еаиса1!опа! РиЬИвЬегв, )Ч. У., 1973. ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА Меуегв О. Е., Апа!упса! Мейоив !п Сопдисиоп Неа1 Тгапмег, Мсбгачг-Н!!1, )Ч. Т., !97!. '»г!ввег Тч'., А Г)ппе Е!егпеп1 Мейоа 1ог Ое1егпппаноп о1 )Чоп-51аиопагу Тегпрега!иге Р(в(г!Ьи(!оп апд ТЬеггпа! Ре!оппа1!опв, Ргос. Соп!. оп Ма1пх Ме1Ьодв !п 5!гис(ига! Месиап!св, А!г Гогсе 1пз1. о1 Тесина!оиу %г!дЫ Ранегзоп Агг Гогсе Вазе, Оау1оп, ОЬю, 1965. 'йт!!воп Е.
1., )Ч!с)ге!! Е. Е., Арр!ка!юп о! йе Г!и!1е Егегпеп! Ме!Ьод 1о Неа1 Сопаис!!оп Апа!уыв, 77ас!еаг Епя!пеег!пп апг( Ренин, 4, 276 — 286 (1966). г!епмеи)сг О. С., Г!и!!е Е!егпеп1 Мейер !п Епи!пеег!пи Бсгепсе, МсОгагч-Н!!1, Ьопаоп, 1971; есть русский перевод: Зенкевич О., Метод конечных элементов в технике, изд-во «Мир», М., 1975. Глава 9 ГИДРОМЕХАНИКА, БЕЗВИХРЕВОЕ ТЕЧЕНИЕ Безвихревое течение идеальной жидкости рассматривается достаточно широко потому, что при этом могут быть решены многие важные физические задачи, такие, как обтекание углов, плотия, несущих поверхностей самолета, различных конструкций.
Идеальное безвихревое течение представляет собой некоторое приближение к реальному физическому процессу. При этом предполагается, что между жидкостью и обтекаемой поверхностью нет трения (идеальная жидкость) и вращательное движение частиц жидкости отсутствует (безвихревое течение). Поток воды в грунте также может быть достаточно тщательно изучен в предположении безвихревого течения. Анализ течения грунтовых вод является важным аспектом в региональном планировании, поскольку снабжение водой многих районов внутри страны полностью или частично связано с грунтовыми водами. Течение грунтовых вод через дамбы и под ними, так же как и по подпочвенным дренажным каналам может быть изучено с помощью этой теории.
Все задачи, включающие рассмотрение безвихревого течения, могут быть решены с помощью метода конечных элементов, так как этн задачи описываются квазигармоническим уравнением (5.!) с граничными условиями (5.2) и (5.3). 9Л. Двумерный случай течения грунтовых вод Дифференциальное уравнение в частных производных для ограниченного водоносного слоя с течением в горизонтальной плоскости (х,у) имеет вид (9.! ) где К „и К„„— коэффициенты фильтрации [мЧ(сут м') или м/сут1; е — пьезометрический напор, измеряемый в метрах от нижней границы водоносного слоя; Я вЂ” потери воды (м'/сут).
Выкачивание воды соответствует отрицательной величине Я. Граничные условия записываются как % =(Рв (9.2) Гидромеканина, деввикревое течение н (нли) (9.3) у(е)) ~[[)[(е)[т ~) у ~[рГ(е)[т [3 з(е) и(е) Используя результаты, полученные в гл. 8, можно сразу же за- писать Ь Ь) Ь)Ь» Ь)Ь» Ь;Ь Ь Ь„ Ь Ь„ с,с, с)с) с,с с)с) с с с с» с,с» в)с» с»с» [й(е)[ кк 4А (9.4) где А — площадь элемента.
Вектор нагрузки для элемента имеет внд )= з [ ') з (9.5) В первом слагаемом (9,5) предполагается, что выкачивание нли потери воды постоянны по элементу. При изучении водоносного слоя обычно рассматриваются площади больших размеров (порядка квадратных километров), что делает возможным локализовать насос в узле н трактовать его как линейный источник. Результаты обсуждения линейных источников в равд.
8.6 применимы н для рассмотрения выкачивания грунтовых вод. Второй член в (9.5) связан с просачиванием воды в элемент илн нз него наружу. Просачивание может наблюдаться вдоль лю- Слагаемое «[ в формуле (9.3) представляет поток воды, движущейся нз области через границу. Единицей измерения этого количества просочившейся воды является м'/сут. Приведенные выше уравнения идентичны уравнениям, которые попользовались прн рассмотрении кручения и переноса тепла.
Поэтому в данном случае применимы матрицы, полученные в предыдущих главах. Из-за отсутствия члена Ь(«р — «рв), описывающего конвекцню в формуле (9.3), определяющие элемент соотношения в задаче о грунтовых водах менее сложные, чем подобные соотношения для задач переноса тепла. Матрицы элемента составляются с помощью формул [Ь())=~[В(е))т [О«)[[В )[ а (е) 168 Глава 9 бой из сторон элемента, поэтому существуют три формы записи поверхностного интеграла: по одной для каждой из сторон треугольного элемента. Форма записи, представленная формулой (9.5), соответствует стороне элемента между узлами 1 и 1', длина которой равна 2п, Две другие в точности совпадают с теми, что даны в (8.49).
Во многих задачах о течении грунтовых вод граница водоносного слоя предполагается водонепроницаемой. Это обстоятельство влияет на решение таким же образом, как наличие теплоизолированной границы в задаче о переносе тепла. Если при этом для решения используется метод конечных элементов, то никакого специального рассмотрения не требуется, так как условие непроницаемости границы дфдп=О входит в функционал, который минимизируется для получения окончательной системы уравнений. Анизотропные материалы учитываются точно так же, как это делается в разд.
8.5. Соотношения для элемента должны быть получены при использовании связанной с элементом системы координат, оси которой параллельны главным осям инерции. Результанты элемента содержат компоненты скорости течения: х «х д ~3(~ (9.5) У = — К 89 ° где У, и Ув — скорости в направлениях х и у соответственно. 9.2.
Рассмотрение задачи о течении грунтовых вод с помощью ЭВМ Решение двумерной задачи о течении грунтовых вод с помощью ЭВМ можно провести в соответствии с блок-схемой, представленной на фиг. 7.3, без каких-либо изменений. При этом нет необходимости включать в программу вычисление компонент вектора нагрузки для элемента по формуле (9.5), потому что это легко можно сделать вручную и приписать их значения соответствующим узлам в процессе модификации окончательной системы уравнений. Программа вычислений для решения двумерной задачи о течении грунтовых вод представлена в разд.
18.6. Эта программа была использована для решения следующей задачи о водоносном слое. 9..2.1. Постановка задачи На фиг. 9.1 изображен небольшой региональный водоносный слой. Это прямоугольник со сторонами длиной 1500 и 3000 м, ограниченный вдоль длинных сторон водонепроницаемым материа- 169 Гидромеханина, беаеихрееое течение лом. Просачивание воды в область с левой и правой границ достаточно велико, чтобы поддерживать вдоль этих границ постоянное значение пьезометрического напора величиной 200 м.
Вода из реки просачивается в водоносный слой со скоростью 0,24 м'/сут по Фиг. 9.1. Региональный водоносный слой. длине потока. Кроме того, два насоса, расположенные в, точках (2000, 830) и (1100, 600), выкачивают воду из водоносного слоя. Коэффициенты' фильтрации равны К„„=40 м'/(сут.ма) и К„„= =20 ме/(сут-ма). Мощности насосов Р,=1200 ма/сут и Р,= = 2400 ма/сут.
1 Требуется определить линии постоянного потенциала; считая течение установившимся. '1 9.2.2. Решение с помощью ЭВМ Разбиение области на элементы было выполнено с помощью программы ОК1Р, генерирующей исходные данные об элементе. Расположение узлов, которые были использованы при этом для задания базисных областей, показано на фиг. 9.2. Окончательная сеть элементов и номера их узлов представлены на фиг.
9.3. Река была использована как граница между базисными областями для получения элементов. Так как обычно в задачах о течении грунтовых вод не встречается значительных изменений величины Ф, во для разбиения были использованы элементы ббльших размеров.. Прежде чем приступить к решению задачи, необходимо вычислить два множества узловых величин: узловые значения количе- 170 Глава У ства просачивающейся воды из реки и узловые значения для количества воды, выкачанной насосами. Длина реки составляет "1'(2000 — 1000)з+1500з=1802,8 м. Полное количество просачивающейся воды равно 0=1802,8.0,24=432,67 мз/сут. Вдоль реки рас- 5ООД !500) 2000 !500 10,!500) (500, 1500) 0юо, 1500) гооо, о) (гбю, о) Раао о) .о Фиг, 9.2. Четырехугольные зоны, используемые программой схй!11 для разбиения области на треугольные элементы.
стояние между узлами одинаково и просачивание между соседними узлами характеризуется величиной 432,67 ~7= — — ' — = — 108,17 мз/сут. 4 При этом на каждый узел приходится половина этой величины. Величина 432,67 распределяется по узлам, расположенным вдоль реки следующим образом: узел 21: 54,08 ма/сут, узел 22: 108,17 мз)сут, узел 23: 108,17 мз/сут, узел 24: 108,17 мз/сут, узел 25: 54,08 ма)сут.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
