Сегерлинд Л. Дж. - Применение метода конечных элементов (1051193), страница 26
Текст из файла (страница 26)
бы-изолятора и срединной поверхности изолятора. Определите теп. ловой поток для каждого элемента и выясните, почему он не постоянен по элемента~м. 95. В качестве теплообменника используется ряд тонких круговых пластин, насаженных на круглую трубу, по которой течет жидкость. Пластинки считаются тонки~ми, так что изменением температуры по их толщине можно пренебречь. Предполагая температу~рное поле радиальным, вычислите поверхностные интегралы, связанные с передачей тепла от пластины в окружающую среду. Теплообменом по торцевым частям пластины пренебречь. Гва Гааза 1О К задаче 95.
96. Выведите определяющие элемент уравнения, необходимые для расчета средней массовой температуры тела. Средняя массор ур р,д ф р у.ге=)~~ьу~~а~)га, д ЫМ вЂ” элементарная масса. Выполните расчеты для следующих случаев: а) радиального переноса тепла; б) осесимметрнчного переноса тепла. 97. Вычислите объемный интеграл гав[У)ЯУ без применения какой-либо аппроксимации. Используя элемент из задачи 91, сравните вычисленное значение с результатом, полученным по формуле (10.28).
98. Вычислите поверхностный интеграл ~йТ 'рч)1тЖ вдоль стороны между узлами й н 1 треугольного элемента. 99. Составьте вектор-столбец Щ для изображенного ниже элемента. 100. Составьте матрицу теплопровод~ности 1в<'>) для элемента, используемого в задаче 99, если К„=2К„=80 ВтКсм К). 101. Обсудите способ расчета теплообменника в виде ряда тонких круговых пластин, насаженных на сплошной круговой цилиндр.
Используйте элементы обоих типов, рассмотренные в этой главе. 102. Измените программу Р).РМСН так, чтобы ее можно было использовать для решения задач, включающих радиальный поток воды к скважине. Проверьте программу, решив задачу 90 из этой главы.
Радиальные и осесимметрические задачи теории полн йк К задаче 99. 103. Модифицируйте программу ТРНЕАТ так, чтобы ее можно было использовать для решения осесимметрической задачи пере~носа тепла. Используйте зту программу для определения распределения температуры в теле, показанном ниже. Температура внешней Фсм К задаче 103.
Всм ЛИТЕРАТУРА 1. Кнеж Р., Рг!пс!р!ез о! Неа1 Тгапыег, 3-гд ед., !п1ех Едпсацопа! Рпы1зйегз, Ь!. У., 1973. ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА с1епЫею!сх О. С., Тйе и!ппе Е1егпеп1 Ме1йод 1п Епи!пеемпя Зс!епсе, МсОгачгНП1, Ьопдоп, 1971, СЫ 15; есть русский перевод: Зенкевич О., Метод конечных элементов в технике, иэд-во еМирэ, М., !975.
Глава 11 НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПОЛЯ В задачах теории поля, которые рассматривались в двух предыдущих главах, предполагалось, что к моменту, когда предпринимается аналиа, в теле уже достигнуто установившееся состояние. Другой важный класс физических задач представляют задачи, учитывающие изменение искомых величин во времени. В некоторых из них имеет место так называемый переходный период между началом физического процесса и достижением установившегося состояния. Встречаются задачи, в которых установившееся состояние вообще не достигается и переходный период составляет весь физический процесс.
С нестациояарными задачами очень часто сталкиваются при исследовании явления переноса тепла и течения грунтовых вод. Динамическое поведение различных конструкций также представляет пример переходной задачи, но оно не будет рассматриваться в этой книге. Наше обсуждение ограничивается переходными задачами теории поля в тех областях, которые были рассмотрены в предыдущих главах. 11.1. Соотношения, определяющие элементы Многие физические задачи описываются, рассмотренным в пятой главе квазигармоническим дифференциальным уравнением, включающим член, который содержит частную производную по времени. При этом получается нестационарное уравнение с граничными условиями, выраженными формулами (5.26) и (5.27).
Величина Х в уравнении (11.1) представляет собой некоторый параметр материала или комбинацию таких параметров. Все коэффициенты уравнения К, К„„, К„и Х, также как и Я, могут изменяться со временем. При использовании метода конечных элементов для решения уравнения (11.1) член с частной производной по времени рассматривается как функция пространственных координат в каждый фик- аоа 1'ливи 11 так как [У<в) является только функцией координат и не зависит от времени.
Подстановка выражений (11.6) и (11.7) в (11.5) дает х,=~ Йл [й< !) [Ф) [й/ ) — "Ф' — [й/ ) [Ф) д) ар. (И.8) а <<< Эта сумма интегралов должна быть минимизирована по (Ф). Дифференцируя по (Ф), получаем — [/</<е!)г <~су [ ~~~~~ Л [/у<м[гт[й/<м[ <[[1) [ 1 (11 9) дто Г д[Ф)! д1 е ! а 1 << Второе соотношение в (5.42) должно быть заменено соотношением (11.9). После объединения (11.9) с результатами дифференцирования остальных интегралов из (1!.3) процесс минимизации приводит к следующей системе дифференциальных уравнений: [С[ — ",, ) + [К[ [Ф) + [Р) =0.
(11.10) Вклад каждого элемента в матрицы [К), [С] и (Р) выражается формулами [с<'!) = ) Л [/</[~ [й<[ с[[1, « <л <=)<в« иПв<ю ~[ь<л< <и<а <или< [1"')= — ~Я[й/[г с[[г+~<) [Ж)г <[Я вЂ” ~ 6Ф [/</]г Ж. (11.11в) У Б< 5! (11.11а) Все интегралы в, формулах (11.11а) — (11.11в) берутся по отдельному элементу. Суммирование вкладов отдельных элементов проводится обычным образом.
Соотношение (11.10) представляет собой систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Матрицу [С) в (11.10) иногда называют матрицей демпфирования. Это единственная новая матрица. Интегралы, определяющие [А<в) и (/<'>) в формулах (11.11б), (11.11в), уже рассматривались в предыдущих главах. В случае решения задач переноса тепла величина Л в формуле (11.1) равна произведению рс, где р — плотность, кг/м', а с— удельная теплоемкость, Дж/(м"С).
Величинам К„„, К„„и К„соответствуют коэффициенты теплопроводности, введенные в гл. 8. 204 Глава 11 Считая толщину элемента единичной, вычислим объемный инте- грал (11.11а): :1 [с'е')=Л ~ А (Ьв 1-в 1-в! ((А= 12 (11.14) Соотношение (11.14) идентично интегралу, который встречается в теории согласованных напряжений, если Х полагается равной единице.
Матрица, которая встречается в теории согласованных напряжений, является матрицей демпфирования, поэтому каждое из приводимых в этом разделе соотношений, определяющих элементы, может быть использовано для построения приближенной матрицы в соответствии с теорией согласованных результантов элементов. Например, в (11.14) представлена согласованная матрица элемента для двумерного симплекс-элемента. 11.2.3. Трехмерный симплекс-элемент Функции формы для трехмерного симплекс-элемента, выраженные через объемные 1.-координаты, имеют вид (ее~! =!е в 5в е-в е.в! Подставляя их в формулу (11,11а) и используя объемный интеграл (3.46), получаем 2 ! 1 Г 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 (С(е)! И/ 20 (11,15) ( 2йе) 20йвй(в+ ЗОй'йе 12й(в) (Зй' 5йей + 5й)йе Зй(в) Симметрично (12й) — ЗОй,'й, + 20йтй; '— 2й;')~ (11.16) 11.2.4.
Радиальные и осесимметричные элементы Матрица демпфирования для радиальной и осесимметрической задач определяется соотношением !с(е)! ~г(!()!т !)(1!(ЛГ )е Для радиального элемента (()Г=2лг((г и Л(=1/5[(г — й))(й( — г)]. В результате вычисления интеграла имеем (,) 2ЙХ !С ! 001 в 20о Веста непарные задачи теории поля Матрицу демпфирования для осесимметричного элемента наиболее просто вычислить, если использовать плоские Л-координаты и соотношение (10.25).
Ниже приведены окончательные выражения для коэффициентов симметричной матрицы: си =Р ) 12йте+ 2й»-)- 2йе -)- бй,.й,. + бй;йя+ 2йтйя), см = 0 (Зй,'+ Зй;'+ К -)- 4й,й,"+ 2йй~+ 2йЩ), с, = Р (Зй» + й'; + Зйя+ 2й,й, + 4й йя+ 2йзйя), 11.3. Конечно-ревностное решение дифференциальных уравнений Чтобы получить значения (Ф» в каждой точке временнбго интервала, необходимо, решить линейное дифференциальное уравнение (11.10). Существуют два распространенных метода решения уравнений такого типа. Один из них заключается в приближенной замене частной производной по времени ее конечно-разностным аналогом с применением центральной разностной схемы. Другой метод состоит в использовании конечных элементов, определенных теперь уже не в пространственной, а во временной области.
Этот метод обсуждается в гл. 17 в связи с методом Галеркина. Здесь мы рассмотрим конечно-разностное решение. На кривой у(1) (фиг. 11.1) даны две точки с абсциссами го и Г~ на расстоянии Я=11 — го друг от друга. Для первой производной в средней точке интервала 11 — то имеем приближенное соотношение дв Фт Фе (11.18) дг Ы Если рассматривать узловые значения как функции времени, то можно записать д~ =)Ф) = ат ()Ф)т )Ф)о) (11. 19) Так как (Ф» вычисляется в средней точке временного интервала, в этой точке также должны быть вычислены (Ф» и ()о».
Эти величины определяются по приближенным формулам )Ф)*= 2 ()Ф),+)Ф)о) (! 1.20) (11.17) с„= 0 12йт, + 12й,'+ 2йя+ бй,йт+ 2й йя+ бй>йя), стз = 0 Я + Зй,' + Зйе+ 2й;й~ + 2й,й, + 4й,йя), сзз = 0 12й»+ 2йтт+ 12йя+ 2йтйт+ бйтйл+ бйзйя) где 0=2пАХ/180. Глава л'г [р')* = —,' Ю,+ [р).). (11.21) Подставляя выражения (11.19) — (11.21) в дифференциальное уравнение' (11.10), получаем соотношение —,', [С! [Ф),— + [С! [Ф).+ —,' [К)[Ф),+ + — [К! [Ф)о+ [Р)'=0 (11 22) о Фиг. 11.!. Численное определение первой производной.
Первая производная у в точке А равна (Ф,— Фо)/М которое может быть преобразовано к виду ([К)+ — [С!) [Ф)з=( — [С! — [К!) [Ф)о 2 Щ*. (11 23) Считая исходные узловые значения в момент времени 1 известными, узловые значения в момент времени 1+Л( можно получить, решая уравнение (11.23). Вектор-столбец Яо содержит известные параметры; следовательно, его можно вычислить до решения уравнения (11.23). Так как соотношения (11.18) — (11.20) записаны в средней точке временнбго интервала, то многие предпочитают вычислять (Ф) именно в этой точке. Эти узловые значения могут быть определены путем подстановки результатов, полученных из решения уравнения (11.23), в (11.20) вместе с (Ф)о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
