Сегерлинд Л. Дж. - Применение метода конечных элементов (1051193), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Запишем компоненты вектора деформаций (е): (12.29) Компоненты вектора напряжений (о) должны располагаться в той же последовательности. Матрица упругих характеристик [д)) для трехмерного изотропного материала имеет вид НТ(1 — и) Р/(1 — и) 1 н!(1 — н) 1 О О О О О О 1 — 2Н 20 — н) О 1 — 2Н 2 (1 — н) О О О 11)1 Я(1 — н) (1 + НН1 — 2Н) Симметрично 1 — 2Н 2 (! — н) (12.30) -ь,. о О с, о о с, Ь, (, о о (, о ь,о о ь, О О с! О О (,О О д,О О с! Ь! О сл ь, г( О ь с( с, О И! с! О ооь, сг О О о(,о Ь О с, О Ь, д, !(и с„о о о- с, О О д, ь, о о ь,.
А Сг Глава 12 Вектор начальной деформации (а) =ассТ (12.31) Вычисление интегралов, определяющих матрицы элементов, не составляет труда, поскольку 1В) и,,[.0) содержат только постоянные члены и, следовательно, могут быть вынесены за знак интеграла. Для матрицы жесткости элемента имеем ржи — )~в~ ~оав~су=~в1 ~о~~в1~сс=~в1 ~о1~в1с Оввс~ Перемножение матриц выполняется ЭВМ.
Вектор-столбец Я<с>~ представляется суммой трех интегралов, после вычисления которых имеем (~(с) )— зца +— 3 (12.33) Из первого вектор-столбца видно, что объемные силы распределяются поровну между четырьмя узлами элемента. Второй вектор- столбец, соответствующий тепловому расширению материала, сохранен в виде произведения матриц, которое будет вычислять ЭВМ. Как видно из последнего вектор-столбца, поверхностные нагрузки распределяются поровну между тремя узлами стороны элемента, к которой прилажены эти нагрузки. В формуле (12.33) предполагается, что указанная сторона определяется узлами 1, 1 и й, а 5сгв — ее площадь.
Последние три члена в вектор-столбце равны нулю, потому что они связаны с интегралом 1' №НЯ, а № равно нулю на этой стороне. Расположение нулевых членов в столбце Х У Ж Х У +«~~н(дТ) (В)г 1 — 2в У Я к У Ж Р* Ра Рс Р» Рв Р, Р* Ра Рс О О О Механика деформируемого твердого тела. Теория уяругоети 229 зависит от того, к какой стороне элемента приложены поверхност- ные нагрузки. Если поверхностные нагрузки действуют более чем на одной стороне элемента, в выражении для (1(е)) появятся до- полнительные вектор-столбцы. 12.4. Осесимметрические задачи теории упругости [о[т=[о озэ о т„[, деформаций [е[т=[е„еее е„т„[. [12.35) между деформациями и перемещениями име- [12.34) компоненты вектора Соотношения связи ют вид ди е =— де ' '**=де' еэз= —, тв= дг+ дя [12.33) дв и ди дв Схематически компоненты тензора напряжений показаны на фиг.
12.3. Заметим, что кольцевое нормальное напряжение оээ и деформация еаэ также используются в расчетах. Предполагая материал изотропным, запишем матрицу упругих характеристик О 1 — и 1 1 — и И 1 — и р 1 — и р Е (1 — р) (1 + р)(1 — 2р) 1 — 2(х О О О 2 (! — р) Важный класс задач теории упругости включает задачи, в которых рассматриваются тела вращения при осесимметричном нагружении.
Хотя такие тела и являются трехмерными, но ни их геометрия, ни условия нагружения не зависят от азимутальной координаты. Поэтому при решении может быть использован тот же подход, что и к двумерным задачам. Осесимметричный треугольный элемент, полученный вращением треугольного симплекс-элемента, образует треугольный тор. Уравнения для элемента составляются почти так же, как в предыдущих трех разделах. Необходимо записать несколько новых соотношений, потому что удобнее использовать компоненты тензоров напряжения и деформаций в цилиндрической системе координат. Здесь представлены основные величины [1]: компоненты вектора на~пряжений Глава 12 и вектор начальной деформации, вызванной тепловым воздействием, 1 (а )= б7' 1 О Поле перемещений внутри элемента аппроксимируется соотношениями, идентичными (12.14), за исключением того, что функции Фиг.
12.3. Компоненты напрнженна н осесимметрических задачах. формы теперь выражаются через г н я, а перемещения обозначаются буквами и и сн. Итак, для перемещений имеем (12.37) се О У, О л11 О Ул Дифференцируя (12.37) и используя соотношения связи между деформациями и,перемещениями (12.36), получаем Механика деформируемого твердого тела. теория уиругости 231 (уа-.х и„.
[~хг-т Ум и ( о ь, о ь,. о У; г о ь, с,. о о 1 Г Ь, сг е е еьв 7 1 2А (12.38) Черта над [В] указывает на приближенное значение. Формула (12.39) приближенная, но она дает приемлемые результаты, если разбиение на элементы согласуется с ожидаемым распределением напряжений, т. е. в области с большими значениями градиентов напряжений используются малые элементы и т. д. Вектор-столбец, связанный с тепловым расширением, определяется точно так же, поскольку под интегралом стоит матрица [В].
Приближенное соотношение получается вычислением [В] по значениям г и я для данного элемента. Приведем окончательный результат: ]м] аЕ(ДТ1 — т и =(1 21[В[ 2игА. (12.40) Объемный интеграл от объемных сил может быть проинтегриРован точно с использованием ь-координат или приближенного Матрица коэффициентов в (12.38) соответствует [В], так как (.) = [В] (и). Вычисление интегралов, определяющих матрицы элементов, не- сколько сложнее, чем это было в одномерных, двумерных и трех- мерных задачах. Матрица [В] содержит теперь коэффициенты, являющиеся функциями координат, и не может быть вынесена за знак интеграла. Матрицу жесткости можно определить, вычислив [В] по зна- чениям г и я в центре элемента.
Такой способ позволяет выносить матрицу [В] из-под интеграла: [Ь(е)] [В]т [Р] [В! ~ с[[l У Учитывая, что объем элемента дается формулой [Г=2игА, где А — площадь поперечного сечения элемента, получаем для [Ь<'>] окончательное выражение: [й" ] = [В]т [Р] [В] 2ягА. (12.39) Глава 12 метода.
Этот интеграл выражается через С-координаты следую- щим образом: ГГ., 0 0 ГЕв г 0 0 ГЬв ГЬв О 0 ГЬв Я 2ЫА, (12.41) где Ы)Г заменено на 2ягНА. Радиальное расстояние г также может быть выражено через 1.-координаты: г= й~Ав+ о11в+ 11вг в. (12.42) Подстановка выражения (12.42) в (12.41) приводит к произведениям типа 1.1 или 1.;1.ь которые вычисляются с помощью формулы (3.43). Окончательно получаем (21г; + )т1+ )Ц Я (2й, + )т1+ 1Ц,3г (1с, +2)г1+Р„) Я (Р, + 21с1+ )тв) Я ()т,. + )г1+ 2)св) Я (% +%1+2% Ж 12 Я 12 (12.43) ГЦ 0 О ГЦ 0 гйв абг1 ГУ.
0 2аМб, (12.44) 0 ГЦ где Н5=2япЖ. Соотношение (12.43) подобно (10.29). Оно показывает, что компоненты объемной силы Я или Ж не распределяются в данном случае поровну между тремя узлами элемента. Большая часть приходится на узлы, наиболее удаленные от оси вращения. Интеграл, включающий поверхностные нагрузки, вычисляется с помощью Е-координат. Этот интеграл имеет вид [У)" сЖ, где р, и р,— компоненты поверхностной нагрузки в направлениях г и г.
Рассматривая сторону между узлами 1 и 1, вдоль которой №=О, будем иметь Механика двформир вмого твердого тела Теория унругоети 333 Последний интеграл вычисляется с помощью формулы (3.42) пос- ле подстановки выражения (12.42): ~ (2!с;+Юг)р, (2Р, + )г;)Р, Р;+ Жг)Р, (Я, + 2йг)Р, 0 0 (12.45) Рг Р Р. Рг 0 0 (12.46) Формула (!2.46) показывает, что компоненты нагрузки поровну распределяются между узлами. Этот результат идентичен тому, который получен для двумерной задачи. С другой стороны, если рассматривается горизонтальная поверхность, Р;чьВь и тогда на наиболее удаленный от осн вращения узел будет приходиться ббльшая часть нагрузки. Две другие формы записи (12.45) получаются приравннваннем нулю Л1 (для стороны 1й) или Ьг (для стороны Й) в 'формуле (12.44) и последующим интегрированием.
Напряжения в элементах вычисляются по закону Гука: [и! =[Р] [е! — [Р! [ев!. С учетом формулы (е) =(В)(У) напряжения могут быть выраже- ны через узловые перемещения: (12.47) Записывая подробно равенство (12.47) илн просто рассматривая (12.38), можно убедиться, что нормальные напряжения зависят от величины евв, которая является функцией г и а, так как от г и а зависят коэффициенты матрицы [В!.
Таким образом, можно вы- Кп по-прежнему обозначает длину стороны между узлами 1 и 1. Соотношение (12.45) обладает тем же самым свойством, что и (10.34), а именно оно применимо к поверхности, ориентированной произвольным образом. Если рассматривать вертикальную поверхность, то й~=Р;=Р, числить напряжения во многих различных точках внутри элемента. Компонента напряжения сдвига, однако, не зависит от еаа и ока- зывается постоянной внутри каждого элемента.
12.5. Решение с помощью ЭВМ Представленная на фиг. 7.3 блок-схема вычислений применима с незначительными изменениями к решению двумерных задач теории упругости для изотропного материала. Изменения касаются ввода средней температуры каждого элемента, когда это необходимо для анализа. Эти исходные данные вводятся перед началом цикла, в котором составляются глобальные матрицы. Осуществление указанной модификации в программе должно сопровождаться некоторым целочисленным переменным параметром, который указывает на необходимость ввода температурных данных или исключает его. Средняя по элементу температура вычисляется путем усреднения узловых значений температуры для каждого элемента, если только температурное распределение известно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
