Сегерлинд Л. Дж. - Применение метода конечных элементов (1051193), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Определение этих матриц и вычисление приведенных выше интегралов — главная цель этой главы. 212 Глава Гх 12.1. Теория упругости. Одномерный случай (12.5) Производные от функций формы вычисляются легко, так как г[;=1 — —" и Л[з= — ".
Дифференцирование дает в„„=+-1 П(и]=[В[Щ. (12.6) Матрица градиентов [В] теперь определена, так что можно при- ступить к составлению матрицы жесткости. Подставляя [В] и [В] в формулу (12.1) и предполагая площадь поперечного сечения по- стоянной, получаем [А 1= [В[г[0[[В[ У= АЕ [ ' [[ — 1 Ц о[х, (12,7) о Простейшая одномерная задача является удобной отправной точкой для дальнейшего изложения, поскольку только она позволяет проиллюстрировать все выкладки для конкретного числового примера. В двумерном и тем более в трехмерном случае объем вычислений слишком велик для этого.
Так как обсуждение, проводимое ниже, относится к отдельному элементу, верхний индекс в обозначениях всех величин, за исключением [(вач] и ([1в4], будет опускаться. Предполагая, что одномерное упругое тело ориентировано вдоль оси х, будем иметь только одну компоненту тензора напряжений о„„н соответствующую компоненту тензора деформаций е„,.
Запишем закон Гука о„„=Е ((е) — (е,)). (12.3) Формула (12.3) в матричном виде записывается как (о) = = [В] ((е) — (ео]), поэтому [.О] =Е, где Š— модуль упругости. Начальную деформацию обычно связывают с тепловым расширением аГзТ, где а — коэффициент теплового расширения, а ЬТ вЂ” отклонение температуры от некоторого равновесного значения. Для одномерного элемента функция перемещения имеет вид и=У,У, +ЛЩ =[У[ (Ц, (12.4) где У; и 0; — перемещения узлов 1 и 1 в направлении оси х.
Деформация е„связана с перемещением формулой Механика деформируемого твердого тела. Теория яругоети 213 или (йгг) (12.8) Соотношение (12.8) идентично по форме матрице элемента, полученной в одномерном случае переноса тепла. Интегралы, определяющие вектор нагрузки, вычисляются также просто. Интеграл, связанный с тепловым расширением, записывается как — (В)т(П) (ео) ~((Т= —" А(аТ)! '1 (' (х= — мЕА(~2) 1 11.
(12.0) 1! о Интеграл от объемных сил имеет вид ( х ) Я~)т (э) (т 1тА ~ г(х= — — ~ ~. (!2.10) ЖАй 111 2 — Р (Ф)той= — Р„А~ (12.12) Полная система уравнений, определяющих элемент, имеет вид — = сгАЕ ((аТ) + +А;р, + Алак + 2 . (12.13) Все объемные интегралы должны быть вычислены заново, если площадь поперечного сечения меняется по длине элемента. В случае линейного изменения площади величину А в формулах (12.8) — (12.10) можно заменить средней площадью А=1Аг+А;)/2. Это выражение сразу же получается после замены А на А= Из поверхностных нагрузок в одномерном случае остается только р„и она должна быть сосредоточена в одной из узловых точек. Предполагая, что р, приложена в т-м узле, вычислим поверхностный интеграл Р)т (р '1 г(8 р г(8 р А (12 11) 3 5 где нижний индекс 1 обозначает номер узла.
Матрица функций формы сводится к (,' ), потому что нагрузка сосредоточена в узле. Если она приложена в 1-м узле, поверхностный интеграл записывается как Глава 12 =У1А;.+М1А1 и вычисления интеграла. Подобное выражение может быть использовано для температуры, если она меняется линейно по длине. Нелинейные изменения учитываются с помощью интерполяционных полиномов, обсуждаемых в гл. 13. На следующем примере показано, как видоизменить определяющие элемент соотношения, чтобы они соответствовали линейному изменению площади элемента. Пример 108.
Нужно вывести и решить систему линейных уравнений для узловых перемещений в конусообразной детали конструкции, один конец которой жестко закреплен, а другой подвержен действию нагрузки в 42000 Н. Площадь поперечного сечения меняется линейно от 12 см' на левом конце до 6 см' на правом. Кроме того, деталь конструкции испытывает тепловое расширение вследствие повышения ее температуры на 20 равномерно по всей длине а=7Х Х10-в 1/'С. Для аппроксимации рассматриваемой части конструкции следует использовать три элемента длиной 30 см каждый.
Площадь поперечного сечения в узловых точках имеет значения А1=12 см', Аа=10 см', Аз=8 см' и А4=6 см'. Первые три элемента свободны и от объемных, и от поверхностных нагрузок, поэтому матрицы этих элементов и векторы нагрузки определяются соответственно соотношениями 112.8) и (12.9). гаю и и, К задана 108.
Механика деформируемого твердого тела. Теория уяругоети 215 Дчя первого элемента имеем о Ае ! 1 ы.6 7,10в 1 — 1 в~ 246 2461 ~ — 2,46 2,46~ (Тп>)=аАЕ(!г7) [ ~ =7 10-' 6,7 10' 11 20~ ~=~ [ 11 ' Ы ~ 10318)' Уравнения, определяющие этот элемент, имеют вид 2,46 — 2,46 и, — 10318 Первый и второй элементы различаются только размером площади поперечного сечения. Для второго элемента средняя площадь равна 9 см'.
Определяющие уравнения для второго элемента записываются как 2,01 — 2,01 !тг — 8442 Третьему элементу соответствуют уравнения, полученные с помощью соотношений (12.8) и (12.9), а также (12.12), поскольку этот элемент нагружен на конце. 10е ' + 7000,6 Соотношения включения: для первого элемента: г=1, 1=2, для второго элемента: г=2, 1=3, для третьего элемента: 1=3, 1=4. Суммируя уравнения, определяющие элементы, получаем 2,46 — 2,46 0 0 (уг и, (ге и, — 2,46 0 0 4,47 — 2,01 0 — 2,01 3,57 — 1,56 0 — 1,56 1,56 — 10318 1876 1876 ' 48566 10' Первый узел расположен в неподвижно закрепленной точке, поэтому 17г=О, и приведенная система уравнений должна быть изменена с тем. чтобы учесть это граничное условие.
В результате 216 Глава 12 имеем 2,46 о о о о о о 4,47 — 2,01 0 — 2,01 3,57 — 1,56 0 — 1,56 1,56 У, и, Уз Ув 0 1876 1876 48566 10' Приведем решение этой системы: (У)г=(0, 0,0207, 0,0450, 0.0753), см. Теоретическое решение этой задачи получается путем интегриро- вания деформации по длине. После выполнения этой процедуры получаем следующие значения для узловых перемещений: У,=О,О см, У,=0,046 см, У,=0,021 см, У,=0,078 см. Перемещения, определенные методом конечных элементов, хоро- шо согласуются с торетическимн значениями.
Еще более точные значения были бы получены при использовании элементов мень- ших размеров. 12.1Л. Напряжения в элементах Определение напряжений является важной частью решения большинства задач теории упругости, потому что эти величины используются инженерами для расчета различных элементов конструкций. Результанты элемента, связанные с напряжениями, могут быть определены, как только вычислены деформации внутри элемента. Для одномерной задачи деформация в„дается формулой (12.6). Нормальное напряжение получается из закона Гука в форме (12.3). Так как производные постоянны по элементу, деформация внутри отдельного элемента не меняется, что влечет в свою очередь в соответствии с законом Гука неизменность внутри элемента напряжения. Узловые значения о„„могут быть рассчитаны с помощью теории согласованных результантов элементов, представленной в гл.
6. Это делается аналогично тому, как было описано ранее. Компоненты тензора напряжений являются результантамн элемента. Теория согласованных результантов элементов может быть использована также для определения узловых значений компонент тензора деформаций. Механика деформируемого твердого гела. Теория уяругоети 217 Пример второй элемент: е — ' ' — — 0,00081, — ив+ив — 0 0207+ 0 0460 третий элемент: е„— ' ' — — 0,00101. — и,+и, — о 0460+0 0762 Напряжения в элементах даются формулой О„„=Е億— аЕ (ЬТ) =6,7 10вехх— 7,10 — в.б 7,10в.20 б 7.10ве — 938 Подставляя значения е„, получаем первый элемент: 001=3685 Н/смв, второй элемент: о„'„1=4480 Н7смг, третий элемент: 0~~~=5820 Н/смв.
Уравнения теории 'согласованных ~результантов для элементов лмеют вид де 脄— вычисленный результант для конкретного элемента, а пг и о; — узловые значения о„соответственно в узлах г и 1. Запишем эти уравнения для каждого элемента отдельно: первый элемент:— 6 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 второй элемент:— 1 6 1Г третин элемент:— 6 109. Для детали конструкции, рассмотренной в предыдущем примере, нужно рассчитать узловые значения о , используя тео. рию согласованных результантов элементов. Запишем вычисленные ранее узловые перемещения (Я)г 10 0 0207 0 0450 0 0753) Определим теперь деформацию элементов: первый элемент: е„= †( — и,+ У,)= ' 1=0,00069, 1 0,0207 ! 2!8 г тг Объединим эти уравнения, используя метод прямой жесткости: 1 8 !о!г=!3558, 3935, 5222, 61321, Н/смв Теоретические значения напряжения о„в узлах получаются делением величины приложенной нагрузки на площадь поперечного сечения в соответствующей узловой точке.
Три множества значений о„„приведены в следующей таблице: Метод конечных влемеитов теоретическое виачение п„=рМ, Нт в Номер утка согласованное напрнженне, Н(смт иапрнжение, постоннное по элементу, Нтсмв 3500 4200 5250 7000 3558 3935 5222 6!32 Значения о„, вычисленные по теории согласованных результантов, определенно лучше значений напряжения, постоянных по элементу, но они все же еще недостаточно близки к теоретическим значениям. Дальнейшее улучшение значений о„„может быть достигнуто путем применения элементов меньших размеров. 12.2. Двумерные задачи теории упругости Двумерные задачи теории упругости намного сложнее одномерных, поскольку в случаях плоского напряженного или плоского деформированного состояния может иметь место анизотропия материала.
Каждому из этих двух состояний соответствует своя матрица упругих характеристик [Р1. В плоских задачах теории упругости применим треугольный симплекс-элемент с шестью компонентами узловых перемещений 2 1 О О 1 2 1 О О 1 2 ! О О 1 2 Эта система имеет следующее решение: 1842,5 4087 5159 2914,5 Маканова дгформиругмого твердого тела. Теория упругости 219 (фиг, 12.1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
