Сегерлинд Л. Дж. - Применение метода конечных элементов (1051193), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Величины положительны, потому что в (9.5) стоит знак минус. Насосы представляют собой точечные источники, причем ни один из них не располагается в узле. Выкачанная насосом вода распределяется по узлам элемента, в котором, размещается насос. Это распределение может быть определено с помощью соотношений, приведенных в гл. 8.6. В эти соотношения в качестве весовых Гидроиеханика, безвихревое течение 171 коэффициентов входят значения функций форм данного элемента, вычисляемые по координатам точечного источника. Первый насос расположен в точке (2000, 830) внутри элемента, ограниченного узлами 18, 13 н 12.
Используя локальную систему координат, как показано на фнг. 9.4, получаем ~ 376 ~' ! !6 и 6 б! 36 3! 96 2 Фиг. 9.3. Область регионального водоносного слоя, разбитого на злементы; указаны номера узлов. у гб Зтби Фиг. 9.4. Местная система координат; указаны размеры 19-го элемента. В указанной системе координат точке расположения насоса соответствует пара чисел (125, 80). Подстановка этих координат в функции формы дает й!за=О 595 й!та=О 191 н й! =0,213. 172 Глава 9 Значениям узловых сил соответствуют значения функций формы, умноженные на скорость выкачивания воды: узел 18: 1~ =0,596 ( — 1200) = — 715,2 мз/сут, узел 13: 9=0,191( — 1200)= — 229,2 мз7сут, узел 12: 1~ =0,213 ( — 1200) = — 255,6 ма7сут.
Отрицательные значения выбраны потому, что вода выкачивается из водоносного слоя. Насосу, расположенному в 45-м элементе, соответствуют следующие узловые значения: узел 34: Я= — 549,6 ма(сут, узел 29: Я= — 410,4 ма!сут, узел 28: Я= — 1440 мз!сут. Узловые значения, связанные с количеством воды, просачивающейся из реки и выкачанной насосами, подставляются непосредственно в вектор-столбец (г).
Эти значения и только они являются ненулевыми членами (г). Окончательная система уравнений должна быть преобразована с учетом заданных граничных значений в узлах с 1 по 5 и с 41 по 45. Фиг, 9.5. узловые значения и линии постоянных значений чз в региональном водоносном слое. Решение преобразованной системы уравнений приводит к узловым значениям для (Ф), указанным на фиг. 9.5, где изображены также линии равного уровня для гр. В связи с тем, что насосы были расположены не в узловых точках, для гр получились значения, которые не отражают действительного положения в точке разме- .
17о Гидронвканика, безвикревое течение щения насоса. Как видно из анализа результатов в окрестности точки Р„наименьшее значение !р имеет место в узле 28, т. е. в уз- ле, на который приходится наибольшая порция воды, вытекающей из Ря. г00 г00 Фиг. 9.6. Узловые значения и линии постоянных значений ~р, соответствующие разбиению области иа элементы, при котором насосы располагаются в узлах.
На фиг. 9.6 представлено решение, которое получается при таком разбиении области, когда насосы располагаются в узловых точках. Наименьшее значение чр в окрестности насоса оказывается при этом в точке расположения насоса. 9.3. Безвихревое течение идеальной жидкости Безвихревое течение идеальной жидкости можно рассмотреть, используя функцию тока тр или функцию потенциала скоростей чр. Уравнение для функции тока имеет вид дзчр дачр — -+ — =О. дх' дуа Скорость течения выражается через чр!х, у) формулами (9.8) г00 э гао юб !90 иб !05 779 жд !07 Глава У Объемный расход жидкости определяется разностью значений функций зрг н зрт, соответствующих двум соседним линиям тока: "с=зра — фх.
(9.9) Здесь Я вЂ” расход жидкости на единицу глубины в направлении г. Линии тока характеризуются также тем, что в перпендикулярном к ним направлении отсутствует течение жидкости. При обтекании тела идеальной жидкостью считается, что жидкость не проникает в тело и не отходит от него, образуя пустоты. Фиг. 9.7. Оатекание цилиндрического тела. Это приводит к следующему условию на граничной поверхности: компонента скорости течения жидкости, нормальная к граничной поверхности, совпадает со скоростью поверхности в этом направлении (2) П.
Для неподвижной границы приведенное условие означает отсутствие течения, перпендикулярного к этой границе, поэтому на неподвижной границе перпендикулярная к ней компонента скорости течения равна нулю. В связи с вышеизложенным можно заключить, что неподвижные границы являются линиями тока, поскольку в точках линий тока скорость течения направлена по касательной к ним. Линия симметрии, параллельная направлению течения, также будет линней тока. Определение значений зрь фз, ...
для различных линий тока иллюстрируется далее на примере задачи обтекания цилиндра (фиг. 9.7). Числовые значения ф, соответствующие граничным линиям тока, должны быть при этом определены до решения задачи. Задача о безвихревом течении может быть сформулирована с использованием потенциала скоростей. Дифференциальное уравнение примет вид дзф даф — + — =О. дха дрз (9З О) о Си. также П. Г.
Лойцкнский, Механика жидкости и газа, нзд-ао «Наука», М., 1973. — Прим. ред. 175 Гидромеканина, беввикревое течение Компоненты скорости определяются следующими формулами: (9.1 1) Компонента скорости, нормальная к неподвижной границе, Р= — =0 дф дн или — 1+ — 1 =0 дф дф дк к ду (9.12) 9.3.1. Постановка задачи Определить линии тока для течения вокруг цилиндрического тела диаметром 40 мм, центр которого расположен посередине между двумя параллельными стенками. Расстояние между стенками равно 80 мм.
На достаточном расстоянии от цилиндра однородный поток жидкости имеет скорость 40 мм/с. 9.3.2. Решение на ЭВМ На фиг. 9.8 показано разбиение области на три базисные подобласти, которое было использовано для получения исходной информации об элементах. Окончательное разбиение иа элементы и номера узлов показаны на фиг. 9.9. Задание граничных условий на линиях тока не представляет труда.
Горизонтальная ось симметрии и верхняя граница области где 1„ и 1и — направляющие косинусы единичной нормали. Соотношение (9.12) идентично условиям непроницаемости для водонепроницаемого слоя при рассмотрении грунтовых вод или для тепло- изолированной границы при изучении переноса тепла. Это соотношение уже использовалось в вариационной постановке задачи.
При решении уравнения (9.10) с граничным условием (9.12) возникает дополнительная трудность. Решение уравнения (9.!О) не единственно. Матрица (т(1 системы сингулярна. Эта трудность может быть преодолена выбором одного узла и заданием значения ф в этом узле. Так как скорости определяются дифференцированием функции ф, то значение ф в выбранном узле всегда можно брать равным нулю. Применение метода конечных элементов прн рассмотрении безвихревого течения идеальной жидкости иллюстрируется на задаче обтекания цилиндра (фиг.
9.7). Применение вышеизложенных понятий при решении задачи обтекания многих тел обсуждается в работах [1, 3]. 17б Глава 9 01 275) (20 , 20) 10,0) )Ю, 0) С20,0) СЮ, 0) 140, 0) Фиг. 9.8. Четырехугольные зоны, используемые программой ОК111 для разбиения области на треугольные элементы. 40 47 1б 21 б 1 54 55 41 42 45 44 Фиг. 99. Область, разбитая на элементы, в задаче о безвихревом потоке; указа- ны номера узлов.
177 Гиоромеханика,оезвихревое течение являются линиями тока. Действительно, в направлении, нормальном к этим линиям, отсутствует течение. По тем же соображениям граничная поверхность цилиндра также является линией тока. Числовое значение зр вдоль линий тока может быть выбрано произвольно, так как объемный расход жидкости зависит от разности числовых значений тр, соответствующим двум линиям тока. га Ю Фиг. 9.10.
Узловые значения Ф и линии тока. Пусть линии тока, образованной осью симметрии и поверхноностью цилиндра, соответствует значение зр=0. Эту линию назовем нулевой линией тока. Числовое значение зр для верхней границы может быть любым, отличным от нуля числом (нулевое значение будет означать отсутствие течения). Выберем, однако, величину, имеющую определенный физический смысл. Рассмотрим полный объемный расход жидкости: Я=)Г,А=(40 мм/с)(40 мм')=1600 мма7с. Если задать на верхней границе ф, равное 16, то разность значе ний зр, соответствующих двум произвольным линиям тока, умно. женная на 100, будет давать объемный расход жидкости.
Результаты расчетов, соответствующие такому выбору гранич. ных -условий, представлены на фиг. 9.10 в виде узловых значений зр. Здесь изображены также линии тока, соответствующие ф=0, 2, 178 Глава р 4, 8, 12 и 16. На левой вертикальной границе области не получена однородная картина течении, что обьясняется недостаточным удалением этой границы от цилиндра вверх по течению. Пытаясь применить конечную модель для решения неограниченной задачи, нужно выбирать достаточно большую область для анализа.
9.4. Заключение Метод конечных элементов широко применяется при рассмотрении задач течения жидкости и те две задачи, которые приведены в этой главе, служат всего лишь иллюстрацией того, как этот метод может использоваться. Более полный обзор исследований в этом направлении представлен в трудах международной конференции по использованию метода конечных элементов при решении задач течения жидкости 14]. Метод конечных элементов применяется также при рассмотрении течения газа, течения по поверхности н для решения уравнений Навье — Стокса.
Другой важный класс задач, которые могут быть решены этим методом, включает задачи со свободной поверхностью, такие, как обтекание плотины или грунтовой поверхности в случае грунтовых вод. Для решения таких задач требуется итерационный процесс, который включает модификацию сети .разбиения области на элементы после выполнения каждой итерации. Задачи Используйте программу Р1.РМСН, представленную в гл. 18, для анализа следующих задач.
К задаче 84, 1=300 и на достаточном расстоянии от насоса. 179 Гидромеханиха, беаеихревое течение 84 — 88. Определите понижение уровня воды в точках расположения насосов и постройте графики эквипотенциальных линий для изображенных ниже областей. бм Юз К задаче 85. К„=Ке,=45 мlсут. Мощность насосов: 600 м'/сут (насос 1), 400 мз/сут (насос 2). 86 — 88.
Постройте графики линий постоянных значений ~р и (или) чр для изображенных ниже областей. 10м К задаче 86. К задаче 87. К задаче 88. ЛИТЕРАТУРА 1. деЧг1ез б., Ыогг!е О. Н., ТЬе АррВса(1оп о1 1Ье Г!пйе-Е!егпеп1 ТесЬп1г)ие 1о Ро!епВа! Г!оиг РгоЫегпз, Тгапз. А5МЕ, 5епез Е, А Арр1. Месдал1ся, 38, 798— 802 (197!). 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
