Сегерлинд Л. Дж. - Применение метода конечных элементов (1051193), страница 25
Текст из файла (страница 25)
При несимметричном распределении температуры в осесимметричном теле задачу нельзя считать осесимметрической. Граничные условия для уравнения (10.17) выражаются формулой (10.2) и следующим соотношением: К„д 1,+К д~~ 1,+д+й(ф — ф )=О. (10.18) Вариационная формулировка задачи (10.17) и (10.18) связана с рассмотрением функционала Х=~ 2 !'К-(д, ) +'К**( д,') — 2'Еф1АГ+ + ] урд5+ ] — (ф — 2фф — ф' ) ЫЯ. (10.19) Интегралы, которые входят в основные соотношения, определяющие элементы, в точности совпадают с теми, что выведены в гл.
5 [формулы (5.ЯО) и (5.21)], если только определить теперь 10] как !в~=[' - ], (10.20) а Я заменить на произведение гЯ. Подобие между осеснмметрическими и двумерными задачами упрощает решение осесимметрических задач. При использовании одного из способов решения К,„, К„„и Я в двумерной задаче заменяются на ГК„„, ГК„и гЯ и далее используется та же самая про- 189 Радиол»яме и осесиииетрические вадачи теории коля где Л1, = — 2А (а,.+Ь,г+С1г), 1 Л 1 АА (а! + Ьзг + С18) ! У» = — (а» + Ь»г + с»з). 1 Константы а, Ь и с определены в соотношении (3.10). Объемный интеграл в [й1в11 дается формулой Ьвь, Ьвьз Ь,Ь„ ) ~в1 ~сов~=2"в» [ 2ивсдвв 4А с с с;с свс» С,С; С»С; С;С» С,С, сто! С„С, (10.22) Здесь через й обозначено произведение маврин — 1 й= — „[й, й, й») (10.23) ибо объемный интеграл сводится к виду ) гс(У после того, как по- стоянные члены выносятся за знак интеграла.
Действительно, учи- тывая зависимость с(У=2пМА, запишем гдУ =2а ~ гвдА. (10,24) А Радиальное расстояние г может быть выражено в 1.-коор1аинатах: Г й йс+3 йт+в йы (10.25) грамма вычислений. При этом г означает расстояние от оси симметрии до центра элемента, а произведения гК и т. д. должны быть вычислены для каждого элемента. Этот приближенный способ дает достаточно точные результаты, если размеры элементов малы. Сочетание большого элемента и большого г может стать источником ошибки, но вряд Ли эта ошибка будет существенна. Полевая функция ~р определяется соотношением У=У,.Ф;+ Л1»Ф1+Л!»Ф», (10.21) 190 Глава !О а величина га тогда может быть представлена произведением ! Р, )с! (10.26) г»=1Р» Р! Р»1 Выполнив интегрирование с помощью интегральных соотношений для ?.-координат из гл.
3, получим (10.23). Если, следуя приближенному способу, заменить гК„и гК„на константы гК и гКаа то длЯ объемного иктегРала в [й1»11 бУдем иметь 0,Ь, Ь!Ь, Ь!Ь ь ь! ь!ь ь ь С,С; С,.С! С,С, с,с! с!с! с;с» С,С» СЗС„ ѻф юг Кгг 4А (10.27) В этом случае г=(14»+14!+14»)/3. Формулы (10.22) и (10.27) совпадают с точностью до замены К на г. Приближенная формула (!0.2?) будет содержать ошибку, если рассматривается большой элемент и большое число г. Однако, как показывает следующий пример, ошибка эта, вероятно. несущественна. Пример г =513,78 см' 91. Ниже показан треугольный элемент, используемый в некоторой осесимметрической задаче теории поля. Представлены радиальные координаты его узлов.
Сравните матрицы теплопроводности элементов, вычисленные по формулам (10.22) и (10.27). Поскольку соотношения (10.22) и (10.27) совпадают с точностью до замены Я на г сравнение указанных матриц можно провести, рассматривая вычисленные значения г и 1»! »г»+Р!+Й» 20+25+23 22 87 3 3 Радиальные и осесимметрические задачи теории поля 191 25 = Р = —, [20 25 23] то=514,83 см'. с5см Ис=с0СМ К задаче 9!. Определим относительную величину расхождения в процентах: х 100=818,та — 814,88 х100= 0 204от8.
р 514,83 Объемный интеграл 1 тд(Л)т Л. который входит в (11е>), может быть аппроксимирован следующей зависимостью: тс,т Я~~~Д)т сЯ/=~д')~2п г1 ДА, У л сез (10.28) Составляя произведения тт.» с помощью соотношения (10.25) и ин. тегрируя, получаем 192 Глава т'0 Точно так же, как при рассмотрении интеграла (10.16), отсюда можно заключить, что тепло от источника внутри элемента распределяется неравномерно по узлам элемента, как это имело место в двумерном случае, представленном формулой (8.47). Фнг. 10.2. Осеснмметрнчный треугольный элемент. Поверхностные интегралы в задачах переноса тепла вычисляются относительно просто. Начнем с поверхностного интеграла, который входит в [Й<'~], и рассмотрим сторону элемента между уз- лами 1 и й (фиг. 10.2) 0 Ц 10 Ц з.з) 2нгсЖ= з(л. (10.30) Используя соотношение (10.25) для г, составляя соответствующие произведения и интегрируя с учетом формулы (3.43), получаем 0 0 0 О (т,+йз) (К,+йз) О (Л,+из) Р,+ зяз) (10.31) где л1л — длина стороны между узлами 1 и й.
Существуют еще две формы записи соотношения (10.31), соответствующие двум ~й рот щ дс 1з 2 1з Ь (У)т (У) сЮ = з1» =2 Й)~ 0 0 0 0 ГЕ„Ь, г7.,7., 0 ГЕ-з1-з ГЕ.зу-з 193 Радиальные и осесимметрические задачи теории молл другим сторонам элемента. Для сторон между узлами 1 н / и меж- ду узлами 1 н й соответственно имеем (зг,+Лт) (Я,+Л,) О (г,+)Ц (г,+зг,) О о о о )е~ег щсе=~",ел[ зп (10.32) (3Л,+г„) О (Л,+г,) о о о (Л,+г,) О (г,+зд„) )" е ~М ~В ез- ~',е —" ~ зм (10.33) Поверхностный интеграл в ((че4) имеет вид тЦ г1.е Ш = 0 ~ лср„[Ф]т с(Б =2ий~р, юп МО 2ияоау 6 (10.34) Аналогичные формулы для двух других сторон легко получаются изменением положения ненулевых коэффициентов матрицы в формуле (10.34). Двойки при этом всегда остаются на диагонали.
Соотношение (10.34) интересно тем, что оно применимо как для вертикальной, так н для горизонтальной поверхностей соответствующих сторон элемента. Для вертикальной поверхности (фнг. 10.3,а) сс;=)сз=)ч и Мы видим, что конвектнвный приток тепла так же, как н в двумерной задаче, распределяется равномерно по узлам вертикальной поверхности элемента. С другой стороны, если с(с и )с; находятся на горизонтальной поверхности (фиг. 10.3,б), то ьст=)сев — )чт и ='7- (2)с;+)1т) ) Ър„р)т Ю= ~ ()ч; — Рз) (%+2Жт)' 50 0 Теперь конвектнвное тепло, характеризуемое произведением 2тсЬр Хст/6, распределяется неравномерно по узлам.
Ббльшая часть этой величины приходится на узел, наиболее удаленный от оси симметрии. 194 Глава 10 Аиы г А -птцо0ь поверлесгпп Ай~> г ) '= г Гь =)Ь(гр, +и„) .=1ь!я, +гяг и1зм Иь-Пв) 3 б) Фиг. 10.3. Узловые компоненты (ро) длн горизонтальных и вертикальнык поверк- ностей сторон элементов.
Пример 92. Составьте уравнения, определяющие элемент, для осесимметричного треугольника, показанного ниже. 9,5; 4) К задаче 92. 195 Радио*оные и осесимметричесяие задача теории оояя Матрица теплопроводности [й(е>) выражается в виде суммы двух интегралов: объемного интеграла, представленного формулой (10,22), и поверхностного интеграла из (10.31). Запишем числовые значения констант, входящих в эти формулы: 2А= =1,О, ь,=г; — л =о, ь,.=г,— 2,.=1, Ья=2,-2,= — 1, с, =Ля — И3 —— — 1, с;=)чс — )чя=0,5, ся =Я~ — йт — Р, =0,5, = — [8 8,5 7,5) 12 2лИК„2яб4,04.40 8047 5 2яьКее 4А 4 О!2) ' 4А Подставив результат вычисления в формулу (10.22), получим + 8047,5 8047,5 — 4023,75 — 4023,75 — 4023,75 10059,38 — 6035,63 — 4023,75 — 6035,63 10059,38 Поверхностному интегралу в (й"'), вычисленному по поверхности стороны 1й, соответствует выражение 0 0 0 О (зг,+Л„) (г,+й„)1, О (Л +Л„) (Кт+ 3Л ) Х~„—— 8,5 — 7,5=-1 см, Ю~ —— 8,5 и 17е = 7,5.
(В)т (Р)(В) сУ 8047 5 У 1 8 3 1 8,5 4 1 7,5 4 с 8 8,5 =64,04, 7,5~ 1 — 0,5 — 0,5 — 0,5 0,25 0,25 — 0,5 0,25 0,25 196 Глава 1О Подстановка этих величин дает ф~1 = 0,262 Матрица теплопроводности получается сложением двух вычислен- ных матриц: 8047,5 — 4023,75 — 4023,75 — 4023,75 10068,03 — 6031,44 . — 4023,75 — 6031,44 10067,5 Поверхностный интеграл, входящий в (Ге4), записывается следующим образом; Ч 6 или (у(е>~ 2л'! 1!2 ЗОО 6 Окончательные уравнения, определяющие элемент, имеют вид 8047,5 — 4023,75 — 4023,75 — 4023,75 10068,03 ' — 6031,44 — 4023,75 — 6031,44 10067,5 Фт = 3848,4 . 10.3. Машинная реализация Решение радиальных и осесимметрических задач теории поля на ЭВМ мало отличается от машинной реализации одномерных и двумерных задач теории поля, рассмотренной в гл.
8 и 9. Про- 0 0 0 0 33 16 0 16 31 0 У'~) = 3848,4 . ~3691,4~ 0 0 0 0 8,65 4,19 0 4,19 8,12 197 Радиальные и осесимметрические задачи теории ноля грамма для осесимметрического случая проще соответствующей двумерной программы, потому что в первом случае отпадает необходимость в координатных преобразованиях. Главные оси инерции должны быть параллельны координатным осям г, г, ибо в противном случае задача перестанет быть осесимметрической. В теле, составленном из нескольких материалов, оси инерции для всех материалов также должны быть ориентированы по оси симметрии. Программы для ЭВМ составляются так, чтобы их можно было использовать для двумерных или осесимметрических задач теории поля. Переход от одного типа задач к другому в таких программах обычно осуществляется с помощью приближенного метода, рассмотренного в предыдущем разделе.
Величины К, и К„„заменяются на гК и гКаи Любая программа такого типа должна содержать операторы, которые позволяют выбирать соответствующие формулы для поверхностных интегралов. При решении осесимметрических задач указанные интегралы содержат радиальное расстояние, и формулы, определяющие эти интегралы, не так просто приспособить для двумерного случая. Так, соотношение (10.34) в случае двумерной задачи будет давать правильные результаты, если оно используется для вертикальной поверхности, но будет давать ошибочные значения при рассмотрении горизонтальной поверхности. Задачи 93. Убедитесь в эквивалентности функционала (10.7) дифференциальному уравнению (10.4) с граничными условиям~и (10.6) (см.
приложение А). 94. Металлическая труба, для которой К„=70 Вт/(см К), окружена изоляционным материалом с К„„=5 Вт/(см К). Жидкость, движущаяся в трубе, имеет температуру 573 К. Температура снаружи изолятора равна 320 К. Размеры трубы: внутренний дна. метр 2 см, внешний диаметр 4 см. Внешний диаметр изолятора 8 см. Используя четырехэлементную модель, вычислите темпера. туру срединной поверх~ности трубы, внутренней поверхности тру.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
