Сегерлинд Л. Дж. - Применение метода конечных элементов (1051193), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Это можно также сделать, исключая из уравнения (11.22) с помощью формулы (1!.20) члены, содержащие (Ф)г. Такой способ приводит к уравнению (1К[+ —,!С)1 [Ф]*= —,[С! [Ф)о — [Р)'. (11.24) 207 Неетаиионарнме задачи теории иояя Т йтО'С К задаче 104. Матрица [К1 была рассчитана в задаче 59; она имеет вид 58 — 43 Π— 43 116 — 43 Π— 43 116 ΠΠ— 43 ΠΠΠΠΠΠΠΠΠΠ— 43 О 116 — 43 — 43 116 Π— 43 ΠΠΠΠ— 43 68 [К) =л Независимо от того, используется формула (11.23) или (11.24), окончательная система уравнений имеет вид [А) [Е)„„=[Р) [Ф)„„— [Г). (11.25) Матрица [А1 является комбинацией матриц [С] и [К1 и зависит от шага по времени М. Если Ы и параметры материала не зависят от времени или от (Ф), то матрица [А) во все моменты времени одинакова. Если М или параметры материала изменяются в процессе решения, то матрицу [А) следует вычислять каждый раз заново, проводя суммирование по всем элементам и затем триангуляризацию.
Эта процедура значительно увеличивает объем вычислений, но она неизбежна при переменном еат или в случае, когда К„и т. д. являются функциями температуры. Объем численных расчетов даже для несложной задачи слишком велик, чтобы можно было здесь привести полностью какой-то числовой пример. Однако в следующем примере приведено вычисление матрицы [А1. Пример 104. Требуется составить матрицу [А| из формулы (11.25) для стержня (задача 59), предполагая, что ср=15 Дж/(ом К). Шаг по времени считать равным 1 мин.
Стержень и расположение узловых точек показаны ниже. 208 Глава 11 Матрица демпфирования элемента определяется формулой (11.13): Подстановка числовых значений А и Ь дает ьо 18а.Р 1,8 [2 1! [7,5 3,75~ [1 2~ [3,75 7,5 Объединяя матрицы элементов в соответствии с методом прямой жесткости, получаем [С! =и Матрица [А! получается сложением матриц [С! и [К[: [А! [К[+ — [С!. В размерности коэффициента тенлопроводности время выражается в часах, поэтому М должно быть выражено в часах, т. е.
о!=1160, и [А! равно [К!+120[С!, или 958 407 407 1916 407 407 1916 407 407 1916 407 407 1916 407 407 968 11.4. Численная устойчивость и колебания Конечно-разностная схема, используемая для временной области, построена на основе центрально-разностной схемы Кранка— Никольсона, которая является безусловно устойчивой [1]. Безусловная устойчивость означает, что если распределение температуры во времени преобразовать по Фурье в частотную область, то коэффициент усиления для каждой частотной компоненты будет затухать во времени. При этом могут возникать и обычно возникают колебания числовых значений искомых величин даже тогда, когда ме- 7,5 3,75 0 3,75 15,0 3,75 0 3,75 15 0 0 3,75 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 375 0 15 3,75 3,75 15 0 3,75 0 0 0 О.
3,75 15 Оеетационарнме задачи теории ноля тод счета сам по себе устойчив. Размах колебаний зависит от свойств материала, размеров элемента, величины временнбго шага и от значений фурье-компонент температурного распределения, соответствующих началу временнбго шага. Поскольку свойства материала обычно известны, переменными, которые можно варьировать, являются только размеры элемента и шаг по времени. Фурье-компоненты начального распределения температуры могут быть изменены путем изменения размеров элемента.
Одновременное уменьшение размеров элемента и временнбго шага будет существенно снижать размах колебаний. Но изменение только одной из этих переменных, когда другая остается фиксированной, не всегда улучшает ситуацию. Типичной ошибкой является сочетание грубого сеточного разбиения области на элементы и малого шага по времени.
Такая комбинация иногда приводит к результатам, которые противоречат физическому смыслу задачи. Грубое разбиение области обычно является результатом утомительной работы по подготовке исходных данных элемента там, где программа, генерирующая сеточное разбиение, неприменима. Большие трудности возникают при такам виде температурного распределения, когда значения температуры в граничных узлах значительно выше (или ниже), чем внутри тела.
При такой ситуации граничные элементы испытывают большие температурные градиенты. Общее правило состоит в том, чтобы использовать малые элементы при наличии значительных градиентов температуры. Использование малых элементов будет. уменьшать размах колебаний числовых значений, которые могут возникнуть в связи с резким изменением температуры. 11.5. Решение задач на ЭВМ Составление и решение уравнения (11.24) во многом аналогичны процедурам, которые обсуждались в предыдущих главах, но все же отличаются от них. Построение матрицы [А] осуществляется по общей уже рассмотренной методике. Должны быть составлены две матрицы элементов, на основе которых строятся матрицы ["А] и [Р], соответствующие по форме либо (11.23), либо (11.24).
Далее осуществляется триангуляризация '[А], а затем используется подпрограмма, которая вычисляет искомые узловые значения (Ф) в нужные моменты времени. Методика решения уравнения (11.24) зависит от того, имеются ли по условиям задачи какие-либо заданные узловые значения. Если ни одно нз значений (Ф) не задано заранее, то уравнение (11.24) решается так же, как любая другая система уравнений. Произведение [Р] (Ф)о вместе с (Р) образует вектор-столбец, который разлагается параллельно с триангуляризацией [А], после чего решение получается обратной прогонкой.
216 Глава 11 Если некоторые компоненты (Ф)е заданы, они должны оставаться неизменными во времени. Это означает, что заданные значения (Ф)о следует восстанавливать после каждой итерации. Необходимость восстановления заданных значений требует запоминания этих значений вместе с соответствующими им номерами узлов. В программе должна содержаться информация о числе итераций и шаге по времени Аг.
В некоторых программах предусматривается выборочная печать результатов только для определенных итераций вместо того, чтобы делать это после каждой итерации. Программа с такой выборочной печатью должна содержать дополнительную информацию, связанную с указанием момента печатания результатов счета. Задачи 10б. Проверьте матрицу демпфирования элемента, представленную следующими соотношениями: а) (11.13), б) (11.14), в) (11.15), г) (11.16), д) (11.17). 106. Выведите уравнение (11.24), которое определяет (Ф) в средней точке временнбго шага. 107.
Используя у!равнение (11.24), рассчитайте (Ф) для задачи о брусе (задача 104). Вектор-столбец (Р) приведен в задаче 59, а приведенная к треугольному виду матрица [К) +2/А((СЛ дана ниже. Рассмотрение во времени ограничить тремя минутами. 958 407 1743,09 407 1820,97 407 1825,03 407 1825,23 407 877,24 ЛИТЕРАТУРА 1. Вопее Л., Оп йе Асспгесу о( Рйие Е)егиеп1 зо!п11опв 1о йе Тгвпяеп( Нее1- Сопйпсноп ЕЧпецоп, 1и!егл.
1. )ог Л(итег(са( Мейойв 1п Епи(пеег(пй 8, 103— 11О (1974). ЛОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА Вгись 1. С., Зг., Еуеа1оем О., Тгепяеп( Те о-В)гиене(опе! Нее1 Сопйисцоп РгоЬ1егпв Бо!еей Ьу йе Р!пне Е!егиеп1 Мейой, 1игеоя !. )ог Л(итвг1са1 Мсйойв )л Еия!исег!лк, 8, 481 — 494 (1974). КоЫег йг., РИ1г 1., Се!си!е1!оп о1 Тгепяеп1 Тетрегеплге Р!е!йв енй Р)пце Е!егаепев 1п Бресе епй Типе Випепяопв, 1пссгп. 1. 1сг Еитегсса! Л1сясйг !и Епеглееилк, 8, 626 — 631 (1974). г!еп!г!ея(сг О.
С., Расе!гЬ С. 1., Тгепяеп1 Р)еш Ргоыете: Того-В)гпепяопе! епй ТЬгее-Випепе1опе! Апе!уяе Ьу !еорегегпе!Нс Р)пие Е1егпеп1е, 1л1егл. 1. (ог Л(итепса! Мейойв !п Епи1певг!пн, 2, 61 — 71 (1970). Глава 12 МЕХАНИКА ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА. ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ Применения метода конечных элементов к задачам механики деформируемого твердого тела очень обширны. Сюда относятся задачи теории упругости, задачи теории пластин и оболочек, задачи расчета конструкций, составленных из пластин и оболочек, анализ упругопластического и вязкоупругого поведения материала, динамические задачи, расчет составных конструкций.
Данная глава посвящена задачам теории упругости. Другие области механики деформируемого тела рассматриваться не будут. Мы обсудим здесь общие случаи одномерных, двумерных и трехмерных задач теории упругости, а также специальный случай задач с осевой симметрией.
Кроме того, будет рассмотрена машинная реализация задачи о плоском напряженном состоянии. Теоретическим введением к этой главе служит материал, представленный в гл. 5, где рассмотрена минимизация потенциальной энергии упругого тела. В процессе минимизации получаются интегралы, которые входят в уравнения для элементов. Эти интегралы имеют вид [ь(е)] ~ [В(е)]Т [Т)(е)] [В(е)] (]]Т )> д(е) [](е)) [ [Л((е)]Т ~(е) (]]/ [ [В(е)]Т [Г)(е)] [е(е)) (]]/ ет(е) (12.1) р(е) ~ [>У (е)]Т р(е) ((В [Р) (12 2] 5 (е) где [В(')1 — матрица градиентов, связывающая деформации и перемещения; [0(е)1 — матрица, описывающая механические свойства; (е(е'] — начальнаЯ дефоРмациЯ элемента; [)У(е>1 — матРица функций формы;]Ж(е), ~(е>, Ж(е) — объемные силы, фе), р(", р",>— поверхностные нагрузки и (Р'1 в вектор-столбец узловых сил.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
