Сегерлинд Л. Дж. - Применение метода конечных элементов (1051193), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Если распределение температуры в теле определялось с помощью метода конечных элементов, средняя по элементу температура может быть пробита на перфокартах вместе с информацией, предназначенной для упругой задачи. Такой способ применим, если только разбиение области на элементы при решении задачи переноса тепла совпадает с разбиением, используемым для решения задачи теории упругости. Определение напряжений в элементе обычно сопровождается вычислением главных напряжений, так как эти величины представляют интерес при расчете конструкции.
При решении двумерных задач можно, рассматривать плосконапряженное или плоскодеформированное состояние. Различие при этом заключается только в написании матрицы упругих характеристик 101. Оба случая могут быть объединены в одной программе использованием условного оператора 1Р, который позволяет выбирать правильную матрицу. Машинная реализация осесимметрической задачи теории упругости почти идентична реализации на ЭВМ двумерной задачи. Поскольку ни плоская деформация, ни плоское напряжение не имеют отношения к осесимметрическому случаю, матрицу упругих констант здесь выбирать не приходится.
Координаты элемента в осесимметрической задаче должны быть отнесены к глобальной системе координат. Для одномерной, двумерной или трехмерной задач координаты элемента могут быть отнесены либо к местной, либо к глобальной системе координат. В гл. 18 представлена учебная программа, позволяющая исследовать плосконапряженное состояние упругого тела. Применение этой, программы иллюстрирует следующий пример.
Мекаиика деформируемого твердого тела. Теории упругости 235 12.5.1. Постановка задачи Требуется определить коэффициент концентрации напряжений, вызванной круговой выточкой, при осевом нагружении детали конструкции, показанной на фиг. 12.4. Ширина детали меняется от 8 до 4 см, толщина всюду одинакова и равна 0,50 см. Нормальное л00000/сит 2г000 и 0= гнм Н/онт р=о,гз 1= 0,5см Фиг. 12.4.
Осевое натружснис нетели конструкции с ниточкой. напряжение в точках сечения, расположенного справа от выточек на достаточно большом расстоянии, достигает величины 44 000 Н/см'. Деталь сделана из стали с модулем упругости 2 1О' Н/см' и коэффициентом Пуассона 0,25. 12.5,2.
Решение на ЭВМ Исходные данные об элементах могут быть получены с помощью программы СИР. Предварительное разбиение на зоны и размещение узлов для программы ОВ10 показаны на фиг. 12.5. В силу симметрии исходной задачи далее рассматривается только половина детали. Наличие однородного напряженного состояния на большей части детали позволяет отказаться от построения дискретной модели для всей области и ограничиться участком, левая граница которого удалена на 8 см влево от выточки, а правая расположена на 5 см правее выточки. Теоретический анализ концентрации напряжений показывает, что выбранные размеры участка, вероятно, достаточно велики, чтобы на его границах установилось,равномерное распределение напряжений.
В первой зоне локальная координата $ выбрана параллельной направлению меньшего размера детали с тем, чтобы последовательная нумерация узлов элементов производилась в направлении меньшего размера. Выбор такого направления для $ приводит к наименьшей ширине полосы матрицы системы уравнений. Окончательное разбиение области на элементы показано на фиг. 12.6. В задачах теории упругости глобальная матрица жесткости ~[К~ получается сингулярной, если только в теле не заданы какие- либо перемещения. Задание перемещений должно исключать дви- Глава 12 жение тела как абсолютно твердого, т.
е. смещение и вращение его как целого. В рассматриваемом случае это может быть достигнуто закреплением первого узла и запрещением вертикального движения узла 91. В данном примере необходимо, кроме того, исключить У~< <б 05, 1) ,о! — Ю Фвг. 12.6. Предзарвтельное разбиение области на эоны, используемое програм- мой Ой!1) для получения исходных данных элементов. )з !в !в <б )в возможность горизонтального перемещения точек левой границы области.
Это означает, что Уз=Уз=Уг — — Уз=О. Вертикальные пеемещения точек этой границы определяются из решения задачи. сь симметрии (нижняя граница области) должна совпадать с осью х, поэтому точки этой границы не могут перемещаться в вертикальном направлении (~иаралленьио оси у). Вообще в рассмат- 45 б 11 16 2! 26 5! 56 61 бб 71 Уб В! 66 9! Фнг. 12.6. Окончательное разбиение на элементы и номера граничных узлов Ф,ззв, з. )вз) <в.ввб.
в.бвб) <т,'втв, '!,'втб) <в )вв,' здзи <),в. 4.0) 5 94 95 92 Механика деформир иного твердого тели Теория упругости 287 риваемом случае фиксированы 20 узловых перемещений, каждое. из них равно нулю. На правой границе области приложена нагрузка интенсивности р„=44000 Н/см'. Эта нагрузка равномерно распределяется по четырем элементам. Площади сторон, подверженных действию внешней нагрузки, в каждом из этих элементов одинаковы и равны 0,25 см'.
Узловые значения нагрузки для каждого элемента соответствуют по величине (0,25 смзХ44000 Н/смз)/2, или 5500 Н. В следующей таблице приведены номера узловых перемещений и значения узловых сил, предназначенные для ввода в качестве исходных данных. Номер уллоюго иерсмииевмя Уаловвя сала, Н ЯОО 11000 11000 11000 8800 181 183 188 187 189' В результате вычислений для горизонтальных перемещений в узловых точках правой границы получаем одинаковые значения, равные 0,0247 см. Это дает основание считать, что область однородной деформации, а следовательно, и напряжения достигнута и что была выбрана приемлемая длина дискретной модели.
996' 977 993 Оту 99О гг гг Фнг. 12.7. Узловые значения о~ в зоне выточки н на концах детали. Компоненты напряжения, соответствующие решению задачи, постоянны для каждого отдельного элемента. Узловые значения этих величин могут быть получены с помощью теории согласованных результантов элемента, рассмотренной в гл. 6. Узловые значения наибольшего главного напряжения в зоне выточки представлены на фиг. 12.7. Максимальное значение имеет место в 65-м узле и равно 64576 Н/см'. Коэффициент концентрации напряжений, определяемый как отношение 'максимального напряжения к на- Глава П грузке (44000 Н/см'), составляет 1,47, что хорошо согласуется с величиной 1,42, приведенной в работе !1] (табл. 13.1). Этот при- мер опять будет рассмотрен в гл. 16.
Задачи 110. Ниже приведены координаты узлов и узловые перемещения для некоторых из элементов, изображенных на фиг. 12.6. Определите напряжения в элементах, если Е=20 10' Н/см', 1»=0,25. Координаты и перемещения даны в сантиметрах. Толщина элементов равна 0,5 см. 116. Вычислите поверхностный интеграл ~ .(У1'( «')~!о в случае поверхностного нагружения, схематически показанного ниже.
111. Х» — — 2,4 у,=о,о Ум-»= 0,00272 У,=О,О 112. Х,=3,6 У,=з,о У„,= О,ООЗ88 Ум — — — 0,00109 113. Х,=6,6 'г,= 3,26 У„, = 0,00676 Ум= — О,ОО1З2 !!4. Х,=9,0 У', 00 Ум, —— 0,01215 у„=о,о 1!5. Х,=!1,О У» — — 1,8 Ум ~ — 0,01592 У„= — 0,00079 Х! — 1,2 У,=1,0 У»»-»= 0,00134 й= -о,ооозз Х» —— 2,4 Г» — — 4,0 Ум,— 0,00262 У .= — 0,00!27 Х;= 6,87 У~ — — 4,0 Ум,—— 0,00637 Уц — — — 0,00139 Хт — — 8,53 1';=0,95 У„,= О,О111З У, = — 0,00025 Х,=1О,О У» — — 1,875 Ум,— — 0,01354 Ум — — — 0,00061 Х»= 1,2 у,=о,о У„,=0,00135 у„=о,о Х„=2,4 1«~= 3,0 У,„,= 0,00261 У, = — О,ОО099 Х =6,0 У„= 4,0 Ум, =0,00594 У = — 0,00148 Х»=8,0 у,=о,о У,„= 0,01044 у, =о,о х„= !о,о У»=1,5 У»» д — — 0>1366 У໠— — — 0,00042 Механика деформируемого твердого тела.
Теория упругости 239 начини К задаче 117. К задача 116. Се з1 К задача 118. К задаче 119. П00ЮН тепаи К задаче 120 1лаеа !2 зоаюя К задаче 121. К задаче 122. Во внутренней полости поддерживаются давление 350 Н/смз и температура 50'С. Решите задачу о плоском напряженном состоянии. воя К задаче 123. твердая сиееко 7еердоз ооенко Механика деформируемого твердого тела.
Теория упругости 241 117. Вычислите поверхностный интеграл в задаче 116 для случая нагрузки, показанной на рисунке. 118. Составьте матрицу жесткости для осесимметричного элемента, изображенного на рисунке. 119. Вычислите поверхностный интеграл в задаче 116 для переменной поверхностной нагрузки, приложенной к горизонтальной поверхности осесимметричного элемента.
120 †1. Определите распределение напряжений в одном из представленных выше тел. Получите исходную информацию об элементах с помощью программы разбиения Огх1Р. 124. Вычислите узловые значения компонент напряжений в одной из задач 120 †1. Напряжения в элементах должны быть отперфорированы программой БТКЕВВ с тем, чтобы затем ввести нх в программу СОХВТК. 125.
Измените программу 5ТКЕБ$ так, чтобы ее можно было использовать для решения осесимметрических задач. ЛИТЕРАТУРА 1. Рипа У. С., Роипданопв о1 Бо!Ы Месйап!са, Ргепнсе-Нан, Епя!ечоод СИИв, !Ч. 7., 1966. 2. 8!пяег О. 1, 6!геня!и о! Ма!епа1в, 2-пг! ег!., Нагрег апд дою, !Ч. У., !962. ЛОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА Сосне й. О., Сопсерм апг! Аррнсапопв о! Р1ппе Е!егпеп1 Апа!ув1в, тнеу, 1Ч. Т., ! 974. Магнп Н. С., Сагеу О. Р., !и!годиспоп Иг Р1п1!е Е!егпеп! Апа!уз!в, МсбгачгНИ!, Х. У., 1973.
21епЫеги!сг О. С., ТЬе Р1пне Е!егпеп1 Менгод 1п Епя!пеег1пя Яс1епсе, МсОгачгНИ!, 1.опдоп, 1971; есть русский перевод: Зенкевич О., Метод конечных элементов в технике, над-во еМнр>, М., 1975. Глава 13 ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА. ОДНОМЕРНЫЙ ЭЛЕМЕНТ В шести предыдущих главах прн обсуждении различных областей применения метода конечных элементов использовались симплекс-элементы. Другой подход к прикладным задачам состоит в применении элементов высокого порядка, т.
е. комплекс- нли мультиплекс-элементов. Напомним, что число узлов в таких элементах превышает размерность решаемой задачи более чем на единицу При таком подходе для достижения заданной степени точности решения требуется меньшее количество элементов, что приводит к сокращению числа перфокарт с исходными данными об элементах, а это в свою очередь уменьшает вероятность ошибки при обработке данных.
Применение элементов высокого порядка не всегда, однако, ведет к сокращению полного времени счета на ЭВМ. Для составления матриц элемента необходимо использовать методы численного интегрирования, которые требуют выполнения большого числа арифметических операций и, следовательно, увелнчнвают полное время счета, затрачиваемое на обработку одного элемента.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
