Сегерлинд Л. Дж. - Применение метода конечных элементов (1051193), страница 33

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 33)

Как мы видели, в аналогичной ситуации в случае линейного элемента конвективные потери тепла делились поровну между его узлами. Этот, результат выглядит интуитивно верным, так как элемент имел два узла. Казалось бы, что в случае элемента с тремя узлами следует ожидать распределения по узлам в отношении '/ч, '/~, '/э, но вместо этого получаем распределение в отношении '/з, з/з, '/а.

Не пытайтесь предугадать результаты интегрирования, когда имеете дело с элементами высокого порядка. Они не будут совпадать с вашей физической интуицией. Все сказанное относится также к двумерным и трехмерным элементам. 54,8 0 0 0 0 142,4 — 46,2 0 0 109,6 — 46,2 3,9 142,4 — 46,2 Скмметрично 64,8 Т Т, Т, 8220 ~ 8930 415 . 2000 900 233 Элементы высокого порядка. Одномерный элемент 13.3. Естественная система координат. Преобразования координат.

Матрица Якоби Естественная система координат обладает определенным преимуществом прн рассмотрении двумерных н трехмерных элементов, так как она позволяет деформировать границы этих элементов. Безразмерная система координат может быть также введена и для одномерных элементов. Однако упомянутое преимущество здесь фнг 13,4. Естественная система координат для одномерного квадратичного элемента. носит главным образом академический характер. Оно упрощает иллюстрацию самого понятия локальных координат и некоторых вычислительных операций.

В этом разделе будет рассмотрена естественная система координат для одномерного элемента как необходимое введение к обсуждению двумерных и трехмерных элементов, которому посвящены следующие главы. Естественной системой координат для одномерного элемента служит относительная длина, определяемая как — 1<1<1, (13.26) где ~ — координата. Начало отсчета ~ выбрано в средней точке элемента, как показано на фиг. 13.4. Функции формы У могут быть определены с помощью формулы (13.14), если только ( выражены теперь через $ вместо х. Функции формы для линейного, кубичного и квадратичного элементов приведены на фиг. 13.5.

Читатель сам может убедиться в их правильности. В этом разделе будет проиллюстрировано вычисление матрицы элемента. Если вернуться к гл. 5, то мы увидим, что каждое из приведенных там соотношений, определяющих матрицы элементов, содержит производные от функций формы по переменным х, у и а. В случае одномерной задачи теории поля, например, выражение для коэффициентов матрицы теплопроводности содержит производную с(Уз /г(х: (й~~(1 = ~ К„"Р '"т г(У, Д=1, /, й, у=1, 1, й. (13,27) Для дальнейших выкладок нам потребуются формулы преобРазования координат вида х=К$) (13.28а) Глава )3 или (13,28б) 1=фх). Функции Я) и д(х) предполагаются взаимнооднозначными.

Соотношение преобразования координат (13.28) может быть записано с помощью функций формы, приведенных на фиг. 13.5. Проиллюстрируем это на примере квадратичного элемента. Интер- а) Линейный б) Кеач)аа)ичный в) Кубичный )Знт, 1Зть Естественные фуннннн формы для одномерных элементов. 1 1 а) Н вЂ” (1 — Р. (Н)= — (1+ ЗН 2 ' ! 2 б) м — — (1 — $), м (1 + 2) (! — Р, кв — (1+ $)! $ $ 1 2 поляционное соотношение для скалярной величины, скажем для температуры, имеет вид т=ы,т,+ Цт +И„те, (13.29) где У)= — — (1 — $), $ 2 Элементм еэтеокого нередка Одномерный элемент л'»= 2 (1+$). $ формулу преобразования координат можно записать, используя такую же комбинацию функций формы, но только в качестве узловых параметров нужно взять координаты узлов: х=У,Х, + И,хэ+//»Х„ (13.30) где й/ — те же функции формы, что и в формуле (13.29).

Вычисление НУВ/Их теперь не представляет труда, если вспомнить, что (13.31) Щ И~ д$ Обращая последнее равенство, имеем дВ 1 дВ. дк/~$ (13.32) дх ЙЧ; дУ~ дУт (/]= — = — Х~+ — Х,+...+ — ' Х. (13.33) да = ~ф т,Ц Э,Ц т Применение формул (13,32) и (13.33) лучше всего проиллюстриро- вать на конкретном примере. Пример 128.

Требуется выразить производные еЦ/~/е/х, е]Ур/Ых, е/У»/е(х в местной системе координат в случае одномерного квадратичного элемента, который имеет следующие узловые координаты: Х~= —, Х =1 и Х»= —. 1 . 3 В соответствии с формулой (13.32) — =],/]-» —, ]1=1, / /е. д'" — В дх ~$ Прежде всего составим матрицы [/] и [/1-'. Используя формулу (13.33), получаем 4Ф~ йту НУ» х,+ — х,+ — х„.

,6 3 Д$ э $ Величина НхЩ называется матрнцей Якоби преобразования коор- динат [21; далее она будет обозначаться через [е'1. Для одномер- ного случая [/1 есть матрица размером 1Х1, которая вычисляется по формуле 257 Элементы высокого порядка. Одномерный элемент Подставив в (13.36) полученные выше выражения, будем иметь — 1+2$ — 4э 1+2$ 1( — 1+2$) ( — 4$) (1+2$)) — г(1, нли ( — 1+ 2$)э ( — 4$)( — 1+ 2$) (1+ 2Ц ( — 1+ 2$) ( — 4$) ( — 1+ 21) 161э ( — 4$) (1+ 2$) (1-1 2$) ( — 1+ 2$) ( — 4$) (1+ 2$) (1+ 2$)э После интегрирования находим 14 — 16 2 — 16 32 — 16 .

2 — 16 14 Этот результат идентичен результату, полученному при использовании формулы (13.15), если величину Ь считать равной единице, как в данном случае. Факт совпадения результатов подтверждает правильность рассмотренной методики. Однако ощутимое преимущество использования естественной системы координат заключается в возможности изменения формы элемента, что иллюстрируется в следующей главе. 13.4.' Применение численного интегрирования при определении матриц элемента В предыдущем разделе удалось продемонстрировать стандартную методику определения матриц элементов в общих чертах на примере с использованием естественной системы координат потому, что все интегралы были вычислены почти без труда.

Но это скорее исключение, чем правило. Обычно матрица Якоби [Х1 является функцией $ и не может быть легко вычислена, так как ее коэффициенты — полиномы. В таких случаях Щ-! никогда не определяется явным образом и для составления матриц элементов используются методы численного интегрирования. При рассмотрении одномерного элемента в предыдущем разделе в численном интегрировании не было необходимости. Однако этот элемент имеет одну очень важную характеристику, которая делает его удобным для иллюстрации методов численного интегриРования: ограниченное число точек интегрирования.

Объем вычислений при этом сокращается настолько, что их можно полностью пРовести для некоторого иллюстративного примера. Глава /З Численно взять интегралы можно одним из двух основных способов. Согласно первому способу, значения подынтегральной функции вычисляются в точках, расположенных на равном расстоянии друг от друга. Если имеется и таких точек, то можно построить интерполяционный многочлен порядка (и — 1), совпадающий в указанных точках с подынтегральной функцией (фнг.

13.6), после чего Ь ах=: Ь-а 5 Фиг. !З.б. Точки интегрирования квадратуры Ньютона— Котеса при а=6. (13. 37) где /.=Ь вЂ” а. В табл. 13.1 даны величины весовых коэффициентов О, для квадратур до четвертого порядка. Согласно второму способу численного интегрирования, точки разбиения области интегрирования не фиксируются заранее, а Таблица /и! Весовые коеффипаенты квадратурноа формулы Ньютона — Котеса до четвертого порадка ив ив 1/ /о о/ вв/', г/в /в /в %о % о/ гв/ /в вв/ /во интегрирование выполняется точно. В результате применения такой процедуры получаются, например, формула трапеций при и=2 и формула Симпсона при и=3. Такой способ численного интегрирования известен как квадратура Ньютона — Котеса. Значение интеграла получается суммированием значений подынтегральной функции в точках интегрирования, умноженных на весовые коэффициенты: Элементе! высокого порядка.

Одномерныа элемент подбираются с целью достижения наибольшей точности вычислений. Это означает, что при выборе л точек рассматриваются 2л неизвестных [ и х; следовательно, порядок интерполяционного многочлена теперь равен (2л — 1). После построения ннтерполяционного многочлена интегрирование выполняется точно. При таком подходе, известном как квадратура Гаусса — Лежандра, должны быть решены дополнительно некоторые уравнения, после чего значения [ н х записываются в таблице.

В табл. 13.2 представлены коордиТаблица 732 Координаты узлов н весовые коэффициенты для квадратуры Гаусса — Лежандра до четвертого порядка и, -!-0,86!!36 ~0,339981 0,0 -!-0,538469 ~0,906180 ~0,577350 0,0 .+-0,774597 0,347855 0,652145 0,568889 0,478629 0,236927 1,00 8/9 5/9 [й!е!]=К„„А ~[В]т [0] [В] [с[е[[,7] [![5+ Р[г ~ []т]г [г[е1 [7] ]Л, (13,38) — 1 ! [7!е!! =Р)гТ ~~ЯТ [г[е1 [/][![5, — ! где функции формы и преобразование координат те же, что даны в (13.29) и (13.30).

наты точек интегрирования и весовые коэффициенты Н для квад* ратуры Гаусса †Лежанд до четвертого порядка [11. Расположение точек разбиения, соответствующее интервалу интегрирования от — 1 до 1 для случаев л=2 и п=3, показано графически на фиг. 13.7. При расчетах методом конечных элементов применяется квадратурная формула Гаусса — Лежандра, так как она требует меньшего числа точек интегрирования, чем это необходимо при использовании метода Ньютона — Котеса для достижения одинаковой степени точности. Ниже используется только способ Гаусса — Лежандра. Теперь вернемся к нашей главной задаче — использованию методов численного интегрирования при составлении матриц элемента.

Характеристики

Список файлов книги